Задача о рандомизированной остановке при среднеквадратичном хеджировании Текст научной статьи по специальности «Математика»

-►

Математическое моделирование: методы, алгоритмы, технологии

УДК 519.2

Г.И. Белявский, Н.Д. Никоненко

ЗАДАЧА О РАНДОМИЗИРОВАННОМ ОСТАНОВКЕ ПРИ СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОМ ХЕДЖИРОВАНИИ

В статье решается задача об оптимальной рандомизированной остановке при аппроксимации конечной последовательности случайных величин / последовательностью стохастических интегралов G(y) процесса 5" в дискретном времени. Для решения данной задачи используется теорема о минимаксе, метод стохастического динамического программирования Беллмана и метод проекции обобщенного градиента. Последовательность /можно интерпретировать как динамическое дисконтированное финансовое обязательство, процесс 5 - как дисконтированную цену рискового актива на финансовом рынке, а последовательность стохастических интегралов G(y) - как дисконтированный процесс доходов стратегии у .

Предварительные замечания

Рассмотрим фильтрованное вероятностное пространство (О,(^)"=0, Р), на котором задан базовый адаптированный процесс 5, причем 5 е Ь2(О, Р). Последовательность стохастических интегралов G(y) = (у), ..., Ом (у)} для предсказуемой последовательности у определяется ра-

N

венствами GN (у) = ^у1.Д51.. Введем определение

=1

рандомизированной остановки.

Определение. Будем называть рандомизированной остановкой вектор ц = [д1, ..., ^},

N

такой, что Е ц1 = 1, ц1 > 0 , рандомизированной

=1

остановкой, отделенной от нуля, назовем вектор

N

ц = ц ^} , где Ец =ц > 8 > 0 .

=1

Рассмотрим аппроксимацию конечной последовательности / = {/1, ..., у} е Ь = Ь2 (О, Р) х х Ь2 (О, Р) х — х Ь2 (О, Р) случайных величин

последовательностью стохастических интегралов при фиксированной рандомизированной остановке ц. Скалярное произведение в

определим равенством

(аЬ) ьN (ц) =Е ц ' (а, ь X

согласованная норма определяется равенством

Ь (ц)

При

=Л ц.

1=1

естественном

допущении У, Д5,- е

е Ь2(О, Р), последовательность С(у) е£ образует в этом пространстве линейное подпространство Н.

Далее предположим, что базовый процесс 5 удовлетворяет условию невырожденности [2]:

(Ер(Д^ _1 ))2 < 8Ер(Д^2/^),8 е (0,1). (1)

Применив доказательство, приведенное в работе [3], можно доказать, что подпространство Н

тN

замкнуто в ь .

Аппроксимация рассматривается в смысле нормы Ь (ц), т. е. необходимо найти

тт||/ - G(у)||ь„ по всем О(у) еН . (2)

Данную задачу можно рассматривать как про-

тN

екцию точки пространства ь на подпространство Н. Пространство Ь является гильбертовым, поскольку декартово произведение гильбертовых пространств есть гильбертово пространство [11], согласно теореме [7] и ее следствию [7]. Подпространство Н замкнуто, поэтому задача (2) имеет решение и притом единственное.

Основной результат

Рассмотрим задачу:

тт тах / - х - G(y)

хеК ^ (у)еНце6(8)11

2

У (ц)

(3)

f - x = Ц - ^ fN - x}

Г N

в( s)HZ q =q 0

где

Интерпретация. Задачу (3) можно рассматривать как задачу об оптимальной 5-рандо-мизированной остановке при среднеквадратичном хеджировании динамического финансового обязательства (последовательность Т), последовательность у — оптимальная стратегия воспроизведения финансового обязательства. Базовый процесс 5" представляет собой дисконтированную цену рискового актива, х = Х0 — начальный капитал портфеля.

Для упрощения решения задачи (13) целесо-образно перейти от задачи на минхмакс и задаче на максимин. Для этого воспользуемся теоремой о минимаксе [8]. Теорема о минимаксе фон Неймана устанавливает следующее равенство: т-птахТ(и,V) = тахт-пТ(и,V), если функция

иеХ уеТ vET иеХ

Т (и, V) непрерывна на произведении выпуклых компактов, выпукла по и е X и вогнута по V е Т.

Введем обозначение целевой функции задачи об оптимальной рандомизированной остановке:

W (x, у, q) = Z qE

( ( f -

АЛ

x+ Zy j д^

v ;=!

уу

Функция ¡V(х, у, н) — положительно определенная квадратичная функция по переменным х и у , следовательно, выпуклая по этим переменным. По переменной н функция IV(х, у, н) - линежая, следовательно, вогнутая. Функция V(х, у, н) - непрерывная функция, опр еделе™ ая на декар товом произведелии С х И х (). Множтсчво + - выт/-клый компакт. Множество С х И выпуклое, но не является компактом. Чтобы прчодолеть эту трудность, применим компактификацию Александрова: воспользуемся теоремой о компакти-фикации [10].

Поскольку С х Ьл является локально ков-пактным хаусдорфовым пространствам и И л+

тЛ

замкнутое линейное подпространство ь , то компактификация осуществляется присоединением к С х И «бесконечно удаленной точки»:

С х И = с х иу (да, да}.

Доопределим функцию в точке (да, да) 1(да, у, н) = 1(х, да, н) = ¡(да, да, н) = да. Поскольку данная функция выпуклая по переменным х, у и решается задача на минимум по данным переменной, то будем считать, что данная точка не влияет на решение задачи.

Таким образом, функция V (х, у, н) непрерывная и выпуклая на выпуклом компакте х . Следовательно, теорема фон Неймана применима, т. е.:

min _ max f - x - G(y) N

(x,G(y))eRxH qeQ(5) (q)

II l|2

= max min f - x - G(y)

qeQ(5)(x,G(y)) eRxH11

(4)

IN)

Решение внутренней задачи При фиксированной стратегии q рассмотрим

задачу:

min I f - x - G(y) L .

(x,g(y))eRxH11 (q)

N f f

=min Z qfip f-

(x,Y) t! v

x + ZY j AS

v j=i

(5)

/у

где y - предсказуемая последовательность. При любом x задача mini\f-x-G(y)|Ln, „ имеет

G(y)eH (q)

единственное решение - проекция f -x на замкнутое подпространство H. Для ее решения применим метод стохастического динамического программирования. Воспользуемся стохастическим аналогом результата, полученного в [4].

Вместо задачи (5) рассмотрим последовательность более простых задач. Определим последовательность функций от случайных величин:

Т к (x)=min Z q<Ep

(6)

се^ Л = 0, ..., Л-0; уЛ+о = (у,)Л= л+о. Если определение (6) корректно, то функционалы (6) удовлетворяют рекуррентным стохастическим уравнениям Беллмана:

Тк (x) = min EP (qk (fk - x)2 +

Yk+1

+ Т k+i( x + Y k+iASk+i)/Fk).

(7)

Является справедливым утверждение. Утверждение. Для всех н е 6(8) задача

N

(

min Z q>EP

Yk+1 i=i

(

(

имеет

т - х +-У,Ы5,

в ,=л+о

в

решение для всех л, определение (6) корректно и Лл (х) = акх2 + Ъкх + ек, причем оптимальное значение

у;+о(х) = 0лх + -Эл , (8)

где ал, Ъл, сл, 0л, е рл .

Доказательство проведем методом индукции назад.

Шаг 1. Покажем, что утверждение верно для I = N -1. Заметим, что aN = ЦN, ^ = -2цN/N,

CN = ЦN (/N ) .

Рассмотрим

Т N-1 (Х) = ЦN т11П ЕР ((А - Х - У N ASN )2 / ^-1 ) .

ТN -1

Непосредственно убеждаемся, что

= х Ер №^-1) + Ер (/,ДS^FN-1) ^ Ер ((ДSN )2/ FN-l) Ер ((ДSN )2/ FN-l). Отсюда 0 = - Ер (ДSN / ^-1)

^N-1 =

Ер ((ДSN )2/ FN-1)' Ер (/, ДSN)/FN-1)

Ер ((ДSN )2/ FN-1)

Т N-1 (х) = aN-1Х + ^-1Х + CN-1 ,

цм

где ак , =---х

"-1 Ер ((ДSN )2/ FN-l)

х(Ер ((ДSN)2 / FN-l) - (Ер (Д^ /FN-l))2);

2ЦN х

К-1 =

Ер ((Д^ )2/ FN-1)

х( Ер (Л -,)Ер (Д^-1) -

-Ер(Л^Е(№)2 /FN-l));

=_ЦN_

CN-1 Ер ((Д^ )2/ FN-1) х х(Ер ((Л )2 / FN-1)Ер ((Д^ )2 / FN-l) --(Ер (Л -1))2).

Шаг 2. Пусть утверждение верно для I = к + 1. Шаг 3. Покажем, что утверждение верно для I = к.

Раз верно для / = к +1, значит, справедливы (7) и (8).

Решим задачу (7), получим:

ер а+1^+1/ ^) -

(9)

У к+1 = - х

Ер а+1^+1)2/ ^)

- Ер (Ьк^^) 2 Ер (ак+l(ASk+1)2/ ^) Подставив выражение (9) в (7), получим рекуррентные формулы для вычисления коэффициентов ак, Ьк, ск:

aN = ^, ЬN = —'2ЦN/N , ^ = ЦN (/N ) , ак = ер (ак+1 (0к ^к+1 +1)2 / ^) + цк,

Ьк = Ер (Ьк+1(0к Д^к+1 +1)/Fk) - (10) -2ц/ + 2^Ер (ак+1(0к Д^к+1 +1)+1 / Fk),

Ск = Ер (Ск+1 / Fk) + ^ Ер (ak+l(ASk+l)2 / Fk) + +-ЭкЕр (Ьк^+1/ Fk) + цк (/к )2,

где

0к =-

ер (ак+1^к+1/^ ) Ер (ак+1^+1)2/ fk): ер (Ьк^+1/Fk)

2Ер (ак+1 (Д^к+1 )2 / Fk)

Рассмотрим формулу (9) для вычисления у . Покажем, что если знаменатели дробей 0к и $к равны нулю, то и их числители равны нулю. Заметим, что знаменатели рассматриваемых дробей совпадают с точностью до константы.

Рассмотрим Ер (ак+1^+1)2 / Ек ) .

Согласно формуле построения коэффициентов (10) ак > 0. Тогда, согласно свойствам математического ожидания, получим, что Ер (ак+1 (Д8к+1 )2 / Fk) > 0 . Поскольку рассматриваем задачу о рандомизированной остановке, отделенной от нуля, то, используя метод математической индукции, нетрудно показать, что все ак > 8 > 0. Откуда, знаменатель Ер (ак+1(Д5k+1)2 / Fk) равен нулю, если Ер ((ASk+1)2/ Fk) = 0.

Рассмотрим \ЕР(Ьк+1ASkFk)|. Для выражения ЕР(\рк+1Д5k+1\/Fk) воспользуемся неравенством Гельдера для условного математического ожидания [5], получим Ер (|Ьк+1Д5k+1|/^к) <

< (Ер (|Ьк+1 ))* (Ер (|м;+117Fk))' . ^ Отсюда Ер (|/к+1ASk+1|/ Fk) = 0. Из неравенства Йенсена [5] следует равенство Ер(Ьк+1Д£к+1/Fk) = 0. Аналогично получим, что Ер (ак+1 ASk+1/Fk ) = 0 .

Таким образом, если знаменатель в (10) равен нулю, то числитель также равен нулю. В этом случае в качестве оптимального значения возьмем ук+1 = 0 и, следовательно, 0 = -Эк = 0 . Тем самым утверждение доказано.

Рассмотрим Т 0( х) = а0 х + Ь0 х + с0

где

а0, Ь0, с0 - константы. Оптимальное значение

х=-

2а

Решение внешней задачи

Рассмотрим задачу:

N (

mахmin

Е ц ЕР

/ -

(

х+Е^, ^

V

/у

(11)

Е ц> = 1, ц> > 8 > 0.

=1

Целевая функция задачи (11)

N Г Г

0(q) = in rnZ q Ep

ЛЛ

УУ

yy

Т - х + —У,

В ,=о

вогнутая недифференцируемая функция, поскольку является максимумом линейных функций [6].

Введем обозначение

( ( ,

X, (н) := ЕР Т - х* (?) + — у, (н)А5,

В В ,с0

где (х* (н), у' (н)) - решение внутренней задачи. Для решения (00) применим метод проекции обобщенного градиента:

н'+0 =П й(8)(н' + ^ (н')), (02)

где Пе(8) (•) проекция на множество 0(8), g(н) обобщенный градиент:

( Хо(н)а

Х2(н)

g (q) =

Xn (q).

X (q) > о.

Шаговые множители удовлетворяют соотно-

да

шению кк ^ 0, — кк = да .

к=0

Отметим, поскольку х, (н) — 0, то из того, что н{ — 8, следует неравенство (н' + к^(н')), — 8. Рассмотрим вектор х: х1 — 8, тогда существует

__х _

такое 8 > 0, что -л1— — 8 . Поэтому (02) транс-

формируется в

Z= xj j=1

q+1 =

q' + h,g (q')

(13)

В (13) вектор I =

r>N

изведение в R .

(I, q' + htg (q'))

Г1Л

, (.,.) - скалярное про-

v 1 у

Случай мартингальной меры

Пусть мера Р такова, что Ер (А5к/Рк-0) = 0. Является справедливым утверждение.

Утверждение. Коэффициенты ак являются константами, коэффициенты 9к равны нулю.

Доказательство проведем методом математической индукции назад.

Шаг 0. Покажем, что утверждение верно для I с Л - 0.

Непосредственно убеждаемся, что

0Л-0 = 0 ал-0 = нл-0 + ал .

Шаг 2. Пусть утверждение верно для I = к +1.

Ш а г 3. Покажем, что утверждение верно для

I с к.

Так как 9к = - Е ^+0^+0/^) = к Ер (ак+0(А5к+0)2/ ^)

с- ак+0 ЕР (А5к+0/ Ек )

Ер(ак+0(А5к+0)2/^) , то 9к = 0. Отсюда и из (00) следует, что

ак = ак+0 + Як.

Тем самым утверждение доказано. Из утверждения следует, что формулы (9) и (00) приобретают более простой вид:

У*+0 = , (04)

ак = ак+0 + нк ,

\ = ЕР (Ък+0/ Ек) - 2нкТк, ск = ЕР (ск+0/ ^к) +

+3/ак+0Ер ((А5к+0)2/ ^) +

+-ЭкЕр (Ък^+0/ ^) + дк (Тк )2,

Ер (Ък^^)

(15)

где Sk = -

2«k+, Ep ((ASk+,)2/ Fk)

Из этого вытекает, что, во-первых, ук не зависят от х; во-вторых, равенство нулю знаменателя приводит непосредственно к Ер ((А5к+0 )2 / ¥к ) = 0, следовательно, к Ер(Ък+0А5к+0/Рк) = 0. Отсюда для мартингальной меры условие 5 - отделимости смешанной остановки может быть снято.

Таким образом, для мартингальной меры вычисления существенно упрощаются.

Пример. Рассмотрим модель (В, 5)-рынка Кокса—Росса—Рубинштейна (биномиальная модель). Базовый процесс эволюционирует по закону

= S-,(1 + a)

1 + b

1 + a

5n e {0,1}.

Безрисковый актив изменяется по закону Bn = 1. Данный рынок является полным и безарбитражным при выполнении условия -1<ж0<й , то есть мартингальная мера существует и является единственной. Мартингальная мера определяется соотношением p = P(5n = 1) = -

a - b

Рассмотрим в качестве финансового обязательства Американский опцион call fn = (Sn - K) + = max{Sn - K, 0}. Заметим, что для биномиальной модели (B, 5)-рынка Американский опцион call и Европейский опцион call совпадают [9]. Следовательно, справедливая цена Европейского опциона вычисляется по формуле

Кокса-Росса-Рубинштейна [9]:

C (N ) = S0 B(k0, N ; p ) - KB(k0, N ; p' ),

_ 1 + b »

где p = --p ,

1 + a

N

B ( j, N ; p) = J CkNpk (1 - p )N-k ,

N0 = 1 +

ln

K

ln

1+b

^ (1 + а)/ 1 + а Сравним результаты решения задачи определения цены хеджирования, используя метод решения задачи о рандомизированной остановке с формулой Кокса-Росса-Рубинштейна.

При начальных данных £0 = 3; К = 4; а = -0,7; Ь = 0,5; N = 10 цена хеджирования, полученная по формуле Кокса-Росса-Рубинштейна С ^) = 2,0739, а при решении задачи о рандомизированной остановке: С (К) = 1,9914 (время работы программы 5,687 с).

Таким образом, цена, рассчитанная по методу рандомизированной остановки меньше, чем

по формуле Кокса—Росса—Рубинштейна в данном примере. Это можно объяснить тем, что задача об оптимальной марковской остановке имеет следующий вид

min X0, при ограничениях

AXt < Yt AS , для всех t почти наверное, Хт > f , для всех ограниченных марковских моментов остановки т.

Следовательно, имеет более «жесткий» вид, чем задача об оптимальной рандомизированной остановке.

В статье представлен метод определения оптимальных стратегий как продавца, так и покупателя для динамических финансовых обязательств. В работах [1, 3] были предложены методы решения данной задачи только для опционов европейского типа, когда стратегия покупателя заранее известна, поэтому полученные результаты существенно обобщают работы [1, 3].

список литературы

1. Bertsimas, D. Hedging Derivative Securities and Incomplete Markets An Epsilon-Arbitrage Approach [Текст]/ D. Bertsimas, L. Kogan, A. W.Lo.// Operations Research. -2001. -Vol.49. -P. 372-397.

2. Schweizer, M. Hedging of Options in a General Semimartingale Model [Текст] / M. Schweizer// Diss. ETHZ. -1988. -№ 8615 .

3. Schweizer, M. Variance-Optimal Hedging in Discrete Time [Текст]/ M. Schweizer // Mathematics of Operations Research. -1995. -Vol. 20. -P. 1-32.

4. Беллман, Р. Динамическое программирование и уравнения в частных производных. [Текст]/ Р. Беллман, Э. Энджел; пер. С.П.Чеботарева. -М.: Мир, 1974.

5. Партасарати К. Введение в теорию вероятностей и теорию меры [Текст] / К. Партасарати; пер.А.В.Прохорова. -М.: Мир, 1983.

6. Пшеничный, Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи [Текст]/ Б.Н. Пшеничный. -М.: Наука, 1980 .

7. Треногин, В.А. Функциональный анализ. [Текст]/ В. А. Треногин. -М.: Наука, 1980.

8. Фон Нейман, Дж. [Текст]/ Дж. Фон Нейман // Матричные игры. -М.: Физматгиз, 1961.

9. Ширяев, А.Н. Основы стохастической финансовой математики: Т. 2. Теория [Текст] / А.Н. Ширяев. -М.:ФАЗИС, 1998.

10. Энгелькинг, Р. Общая топология [Текст] / Р. Энгелькинг; пер. М.Я Антоновского, А.В. Архангельского. -М.: Мир, 1986.

11. Юдович, В.И. Математические модели естествознания: Курс лекций [Текст] / В.И. Юдович. -М.: Вузовская книга, 2009.

УДК 338.57

А.Ф. Зубков, К.Ю. Чех, И.А. Семенов МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ РЬ1НОЧНЬ1Х цЕН

Исследования рынка ценных бумаг показали, висимость повторяется. Модель динамики цены что в процессе изменения цены ее временная за- (рис. 1) является частью более крупной модели