CC BY
39
Кокса-Росса-Рубинштейна [9]:
C (N ) = S0 B(k0, N ; p ) - KB(k0, N ; p' ),
_ 1 + b »
где p = --p ,
1 + a
N
B ( j, N ; p) = J CkNpk (1 - p )N-k ,
N0 = 1 +
ln
K
ln
1+b
¿0 (1 + а) / 1 + а
Сравним результаты решения задачи определения цены хеджирования, используя метод решения задачи о рандомизированной остановке с формулой Кокса-Росса-Рубинштейна.
При начальных данных ¿0 = 3; К = 4; а = -0,7; Ь = 0,5; N = 10 цена хеджирования, полученная по формуле Кокса-Росса-Рубинштейна С ^) = 2,0739, а при решении задачи о рандомизированной остановке: С(К) = 1,9914 (время работы программы 5,687 с).
Таким образом, цена, рассчитанная по методу рандомизированной остановки меньше, чем
по формуле Кокса—Росса—Рубинштейна в данном примере. Это можно объяснить тем, что задача об оптимальной марковской остановке имеет следующий вид
min X0,
при ограничениях (jg)
AXt < Yt AS , для всех t почти наверное, Хт > fT , для всех ограниченных марковских моментов остановки т.
Следовательно, имеет более «жесткий» вид, чем задача об оптимальной рандомизированной остановке.
В статье представлен метод определения оптимальных стратегий как продавца, так и покупателя для динамических финансовых обязательств. В работах [1, 3] были предложены методы решения данной задачи только для опционов европейского типа, когда стратегия покупателя заранее известна, поэтому полученные результаты существенно обобщают работы [1, 3].
список литературы
1. Bertsimas, D. Hedging Derivative Securities and Incomplete Markets An Epsilon-Arbitrage Approach [Текст]/ D. Bertsimas, L. Kogan, A. W.Lo.// Operations Research. -2001. -Vol.49. -P. 372-397.
2. Schweizer, M. Hedging of Options in a General Semimartingale Model [Текст] / M. Schweizer// Diss. ETHZ. -1988. -№ 8615 .
3. Schweizer, M. Variance-Optimal Hedging in Discrete Time [Текст]/ M. Schweizer // Mathematics of Operations Research. -1995. -Vol. 20. -P. 1-32.
4. Беллман, Р. Динамическое программирование и уравнения в частных производных. [Текст]/ Р. Беллман, Э. Энджел; пер. С.П.Чеботарева. -М.: Мир, 1974.
5. Партасарати К. Введение в теорию вероятностей и теорию меры [Текст] / К. Партасарати; пер.А.В.Прохорова. -М.: Мир, 1983.
6. Пшеничный, Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи [Текст]/ Б.Н. Пшеничный. -М.: Наука, 1980 .
7. Треногин, В.А. Функциональный анализ. [Текст]/ В. А. Треногин. -М.: Наука, 1980.
8. Фон Нейман, Дж. [Текст]/ Дж. Фон Нейман // Матричные игры. -М.: Физматгиз, 1961.
9. Ширяев, А.Н. Основы стохастической финансовой математики: Т. 2. Теория [Текст] / А.Н. Ширяев. -М.:ФАЗИС, 1998.
10. Энгелькинг, Р. Общая топология [Текст] / Р. Энгелькинг; пер. М.Я Антоновского, А.В. Архангельского. -М.: Мир, 1986.
11. Юдович, В.И. Математические модели естествознания: Курс лекций [Текст] / В.И. Юдович. -М.: Вузовская книга, 2009.
УДК 338.57
А.Ф. Зубков, К.Ю. Чех, И.А. Семенов моделирование динамики рыночных цен
Исследования рынка ценных бумаг показали, висимость повторяется. Модель динамики цены что в процессе изменения цены ее временная за- (рис. 1) является частью более крупной модели
5
Рис. 1. Модель динамики цены (общая форма развития волны Эллиотта)
и формируется из таких же более мелких моделей. При этом независимо от ценовых и временных размеров формирующихся моделей, все они имеют одинаковые закономерности: несимметричная ломаная 0-5-с, состоит из подобных ломаных 0-1-2, 2-3-4, 4-5-а, а-Ь-с [1].
Построение модели базируется на допущениях:
1. Для аппроксимации возьмем одиннадцать точек (девять в стандартной волне Эллиотта). Это необходимо для подтверждения одной из гипотез: один цикл сигнала состоит из одиннадцати точек, но определен только до девяти, а остальные отбрасываются, или один цикл сигнала состоит из девяти точек, а подъем правой части обеспечивают волны высших порядков.
2. Аппроксимацию проверим с помощью суммы трех синусоид, двух синусоид и сравним полученные результаты.
3. Значение х измеряется в единицах, кратных 0,0007. Одна минута соответствует значению х = 0,0007.
4. Волны Эллиотта представляем плавными кривыми синусоидами.
5. По оси ординат откладываем значение цены (для валюты цена - это ее курс). На этапе аппроксимации сигнала значение ординаты соответствует форме идеальной волны Эллиотта и измеряется в денежных единицах (д.е.).
Сигнал на рис. 1 представим в виде суммы синусоид:
у(х) = а1 sin(Ь1 х + с1) + а2 sin(Ь2 х + с2) + ^ + а^т(Ь3 х + с3).
Для моделирования сигнала волн Эллиотта определим коэффициенты уравнения (1), используя данные табл. 1.
Результат аппроксимации представлен на рис. 2.
Значения коэффициентов уравнения (1) приведены в табл. 2:
Форма слагаемых результирующего сигнала представлена на рис. 3.
Первое слагаемое задает общую форму, второе слагаемое образует ломаные меньшего по-
_1_I_I_I_I_I_I_I_
0 1 х 10"3 2 х 10~3 Зх Ю3 4 х 10~3 5*Ю"3 6х10"3 7х10"3 БхЮ"3 Рис. 2. Аппроксимация сигнала из одиннадцати точек
Таблица 1
Данные для проверки первой гипотезы
х 0,0007 0,0014 0,0021 0,0028 0,0035 0,0042 0,0049 0,0056 0,0063 0,007 0,0077
у 0 2 1 3 2 4 2 3 1 3 0
Т а б л и ц а 2
Коэффициенты уравнения
Первое слагаемое Второе слагаемое Третье слагаемое
а 2,906 1,8454 0,2483
Ь 810 4394 2876
с -8,15072 -10,5917 5,884
Рис. 3. Моделирование сигнала из одиннадцати точек с помощью трех синусоид
Таблица 3
Данные для проверки второй гипотезы
х 0,0007 0,0014 0,0021 0,0028 0,0035 0,0042 0,0049 0,0056 0,0063
у 0 2 1 3 2 4 2 3 1
рядка, третье вносит несимметричность в данную фигуру и подчеркивает форму, заданную предыдущими слагаемыми.
Рассмотрим вторую гипотезу: сигнал из девяти точек. Для этого определим коэффициенты уравнения (1), используя данные табл. 3.
Результат аппроксимации приведен на рис. 4.
Форма слагаемых результирующего сигнала представлена на рис. 5.
Для аппроксимации используется только верхняя часть волны первой синусоиды, если же рассмотреть результирующий сигнал от одного минимального значения до следующего минимального значения первой синусоиды, то количество волн с одной стороны больше пяти, что не соответствует первоначальной форме сигнала (см. рис. 1). Необходимо определить такие параметры синусоид, чтобы в сумме они составляли требуемый сигнал (пять волн вверх, три волны вниз). Период (расстояние между двумя минимумами (-^/2) и (3п/2) первого слагаемого синуса должен быть от 0,0007 до 0,0063. Ширину сигнала формирует коэффициент Ь1, сдвиг по оси X -
Рис. 4. Аппроксимация сигнала из девяти точек
коэффициент с1 [2]. Таким образом, необходимо решить следующую систему уравнений:
0,0007Ь + с, =--1 1 2
0,0063Ь1 + с1 =
Параметрами ляются корни
первой системы
3п 2
синусоиды уравнений
(2)
яв-
(2),
Бит о! зт
а2 вт(Ь2х + с2)
а1 эт^х + )
я3 зт(Ь3х + с3)
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01
Рис. 5. Моделирование сигнала из девяти точек с помощью двух синусоид
Рис. 6. Моделирование сигнала суммы двух синусоид и наклонной линии
у 3
К = 74 = 1122, с, =- — = -2,3562. В соот-1 0,0007 1 4
ветствии с допущениями зададим начальное значение параметра а например, а1 = 3.
Частота второй синусоиды в четыре раза больше, чем у первой (по количеству волн в исхо-
71
дном сигнале), то есть Ь2 = 4 • К =-= 4488
2 1 0,0007 и, подставив это значение в любое уравнение си-
3п
стемы (2), получим с2 =--= -4,7124 .
Суммы двух синусоид и наклонной линии достаточно для получения аппроксимации требуемого сигнала (рис. 6).
Для моделирования реального сигнала изменения рыночных цен использование наклонной линии неприемлемо. Добавим синусоиду со следу-
Ь п
ющими параметрами: Ь3 = — =-= 897,6,
3 5 5 • 0,0007
с3 =--= -2,1991. Результат представлен на
10
рис. 7.
Данный результат более естественный, третья синусоида вносит отклонения от нормы, описанные у Эллиотта. В то же время, для построения идеальной волны Эллиотта достаточно двух синусоид.
Рассмотрим волны более высоких порядков. Из теории волн Эллиотта известно, что период волны самого нижнего уровня равен 2 мин, следующая волна с периодом в четыре раза больше, т. е. 8 мин, затем 32 мин и т. д. Параметры волн представлены в табл. 4.
В реальных котировках какой-либо валюты существует параметр Объем (Volume). Для рынка Форекс этот параметр показывает количество колебаний в единицу времени котировки. И для минутных котировок этот параметр отличается от единицы [3]. Следовательно, существуют волны ниже порядком (с большей частотой), чем волна первого порядка, описанная в табл. 4. Предположим, что существует еще как минимум один порядок ниже. Для идеальности волны Эллиотта его период должен быть в четыре раза меньше (а частота, соответственно, в четыре раза больше), чем у волны первого порядка, описанной в табл. 4, т. е. равен 30 с. В то же время период волны более низкого порядка составит 7,5 с (~ 8 с.), что равно количеству отрезков ломаной волны Эллиотта. Два отрезка ломаной составляют одну волну Эллиотта, период которой равен 2 с (а частота, соответственно, 0,5 Гц). В результате целесообразно считать период минимальной волны Эллиотта 2 с. Таким образом, обновленная длительность волн Эллиотта представлена в табл. 5.
Данная таблица необходима для аппроксимации реального сигнала котировок валют с помощью суммы синусоид.
Приведенная модель соответствует четырем принципам циклов: суммирования, гармонизации, синхронизации и пропорциональности. Принцип пропорциональности заключается в
Рис. 7. Моделирование сигнала без наклона с помощью трех синусоид
Таблица 4
Длительность волн Эллиотта
Уровень Минуты Часы Сутки Месяцы Годы Частота, мГц
1 2,0 0,0 0,0 0,0 0,0 8,3333
2 8,0 0,1 0,0 0,0 0,0 2,0833
3 32,0 0,5 0,0 0,0 0,0 0,5208
4 128,0 2,1 0,1 0,0 0,0 0,1302
5 512,0 8,5 0,4 0,0 0,0 0,0326
6 2 048,0 34,1 1,4 0,0 0,0 0,0081
7 8 192,0 136,5 5,7 0,2 0,0 0,0020
8 32 768,0 546,1 22,8 0,7 0,1 0,0005
9 131 072,0 2 184,5 91,0 3,0 0,2 0,0001
10 524 288,0 8 738,1 364,1 11,9 1,0 3,17891Е-05
11 2 097 152,0 34 952,5 1 456,4 47,7 4,0 7,94729Е-06
12 8 388 608,0 139 810,1 5 825,4 191,0 16,0 1,98682Е-06
13 33 554 432,0 559 240,5 23 301,7 764,0 63,8 4,96705Е-07
14 134 217 728,0 2 236 962,1 93 206,8 3 056,0 255,4 1,24176Е-07
15 536 870 912,0 8 947 848,5 372 827,0 12 223,8 1 021,4 3,10441Е-08
Таблица 5
Обновленная длительность волн Эллиотта
Уровень Минуты Часы Сутки Месяцы Годы Частота, мГц
1 0,03 0,0 0,0 0,0 0,0 500
2 0,13 0,0 0,0 0,0 0,0 125
3 0,53 0,0 0,0 0,0 0,0 31,25
4 2,13 0,0 0,0 0,0 0,0 7,8125
5 8,53 0,1 0,0 0,0 0,0 1,9531
6 34,1 0,6 0,0 0,0 0,0 0,4883
7 136,5 2,3 0,1 0,0 0,0 0,1221
8 546,1 9,1 0,4 0,0 0,0 0,0305
9 2 184,5 36,4 1,5 0,0 0,0 0,0076
10 8 738,1 145,6 6,1 0,2 0,0 0,0019
11 34 952,5 582,5 24,3 0,8 0,1 0,0005
12 139 810,1 2 330,2 97,1 3,2 0,3 0,0001
13 559 240,5 9 320,7 388,4 12,7 1,1 2,98023Е-05
14 2 236 962,1 37 282,7 1 553,4 50,9 4,2 7,45058Е-06
15 8 947 848,5 149 130,8 6 213,8 203,7 17,0 1,86265Е-06
16 35 791 394,1 596 523,2 24 855,1 814,9 67,9 4,65661Е-07
17 143 165 576,5 2 386 092,9 99 420,5 3 259,7 271,6 1,16415Е-07
18 572 662 306,1 9 544 371,8 397 682,2 13 038,8 1 086,6 2,91038Е-08
том, чтобы период и амплитуду волны низшего порядка привести в соответствие с периодом и амплитудой волны более высокого порядка. Амплитуду возможно измерять в у. е., которым
реальные котировки будут кратны. Таким образом, амплитуда второй синусоиды (коэффициент а2) должна быть в четыре раза меньше амплитуды первой синусоиды (коэффициента а1). При
такой зависимости коэффициентов а, колебания волн низших порядков станут малозаметными на высшей волне (у волны 15-го порядка амплитуда составит 1 073 741 824 у. е., а у волны первого порядка амплитуда 1 у. е.). В то же время, у волны 15-го порядка период ~1000 лет, а у волны первого порядка 2 с. Остальным принципам модель отвечает полностью. Принципу гармонизации отвечает идеальная волна Эллиотта. В реальности гармонизация волн маловероятна.
Сигнал, состоящий из сумы 15 синусоид, представлен на рис. 8.
Полученные результаты позволяют описывать реальные изменения цен.
Моделирование реальных изменений рыночных цен предлагается проводить по следующей схеме.
1. Простой перебор значений а, Ь и с. Можно применять любой метод: от метода наименьших квадратов, до генетических алгоритмов. Цель применения данного способа - в проверке гипотезы о том, что реальная цена состоит из цикличных составляющих и шума (не поддающегося аппроксимации сигнала), при установлении данного факта возможно предсказание движения цены с точностью до шума.
2. Для определения значений а и Ь использовать данные спектрограммы (например, с помощью анализа Фурье или вейвлетов). Цель такая же, как и в способе 1, отличается только способ поиска.
3. Использовать переменное значение, как минимум, параметра Ь (отвечающего за частоту сигнала) с течением времени. На вероятность правильности именно этого способа указывает различное значение параметра «Объем» котировок.
Если частота составляющих сигналов была бы постоянной все время, то значения Объема также были бы постоянными. Разные значения Объема указывают именно на то, что в одно время количество колебаний больше, а в другое - меньше.
При первом способе аппроксимация котировок валют с помощью синусообразных сигналов будет сводиться к подбору таких коэффициентов а, Ь и с, при которых квадрат разности (или модуль разности) сигнала реальных котировок и аппроксимируемого сигнала будет минимален или равен нулю.
На текущем этапе проведенное исследование можно считать законченным.
В результате можно сделать следующие выводы.
Получены значения частоты двух синусоид, составляющих одну волну Эллиотта, с характеристиками 0,0021 Гц (одно колебание за 8 мин) и 0,0084 Гц (четыре колебания за 8 мин). Определены возможные частоты синусообразных сигналов до 15-го уровня
Для моделирования одной идеальной волны Эллиотта необходимо минимум два синусообраз-ных сигнала с периодами, отличающимися в четыре раза.
Для моделирования идеальных волн Эллиотта с помощью суммы синусоид необходимо указать значения коэффициентов а для всех уровней и достаточно указать только один коэффициент Ь для начального уровня.
Определены потенциальные способы моделирования реального сигнала суммой синусоидальных сигналов.
список литературы
1. Мастерство анализа волн Эллиотта [Текст]. -М.: ИК Аналитика, 2002. -348с.
2. Справочник по высшей математике [Текст]. -М.: АСТ, 2006. -992 с.
3. Чех, К.Ю. Волны Эллиотта в моделировании
валютных рынков [Текст] / К.Ю. Чех, Л.П. Никитина // II Междунар. науч.-техн. конф. Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем. Сб. статей. Секция 3: Математическое моделирование экономики. -Пенза. -2007 -С. 108-116.
УДК 004.021; 51.37
Л.А. Хворова
модель теплового режима почвы в пространственно-дифференцированных технологиях точного земледелия
Разработка математических моделей, корректно учитывающих процессы теплопереноса в почве, - сложная и актуальная задача. Соседствующие почвенные массивы (выделенные единицы управления в рамках одного поля) характеризуются различными теплофизическими величинами (параметрами), которые, в свою очередь, зависят от соотношения твердой, жидкой и газообразной составляющих, текстурных и структурных особенностей грунтов, состояния влаги и температуры.
Введение в технологию точного земледелия.
Основные понятия
Точное (ориентированное) земледелие или локально специфическое - это эффективное, рациональное управление процессами роста растений в соответствии с их потребностями в питательных веществах и условиях произрастания с различной степенью дифференциации. Точное земледелие -это система хозяйствования на земле с использованием пространственно-дифференцированных технологий, опирающихся на применение новейших достижений в области информатики, моделирования и техники: компьютерных систем генерации агротехнологических решений, глобальных систем позиционирования (GPS), геоинформационных технологий (ГИС), новейших информационных технологий, современной сельскохозяйственной техники, управляемой бортовой ЭВМ, а также многофункционального программного обеспечения, позволяющего принимать оптимальные решения при управлении сельскохозяйственным предприятием [1, 2].
Урожайность сельскохозяйственной культуры на различных участках одного и того же поля, как правило, различна. На величину урожайности влияют: агрохимическое состояние почвы (обеспеченность растений элементами минерального питания в доступных формах, емкость почвенно-поглощающего комплекса, кислотно-щелочной баланс почвы и содержание в ней гумуса); гранулометрический состав и гидрофизические характеристики почвы; дозы и виды вносимых удобрений; рельеф местности; полезащитные лесополосы; качество семян (посадочного материала); технологии и сроки посева (посадки) и уборки урожая; защита растений от болезней и вредителей; погодные условия и многое др.
Сравнивая определенные характеристики полей с картами урожайности, можно выявить причины неравномерной урожайности сельскохозяйственной культуры на поле. Это связано в первую очередь с тем, что процесс получения продукции растениеводства реализуется в пространстве и во времени на конкретной территории, которая не является однородной даже в пределах одного поля. Ранее в практике отечественного земледелия сельскохозяйственное поле, как правило, принималось пространственно-однородным по большинству его характеристик. Передовые технологии точного земледелия предполагают динамическую оптимизацию при выполнении агротехнических операций для каждого однородного участка поля в зависимости от складывающихся агрохимических, агрофизических, фитосанитар-ных факторов. Другими словами, все технологи-
