CC BY
38
Keywords: S&T reserves, Public-Private Partnership, federal target programs, program-oriented planning, Government program of arms.
Karine Surenovna Khachaturian, Ph.D., Professor, Department of Finance and Credit, Moscow Vitte University
Alexsey Evgenievich Nikolaev, Ph.D., Associate Professor, Department of Economic Theories and Military Economy, Military University, Moscow
УДК 519.217
ВЫЧИСЛЕНИЕ КОМПОНЕНТОВ ХЕДЖИРУЮЩЕГО ПОРТФЕЛЯ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ПЛАТЕЖНЫХ ОБЯЗАТЕЛЬСТВ, ЗАДАННЫХ В ФИНАЛЬНЫЙ МОМЕНТ ВРЕМЕНИ ФИНАНСОВОГО РЫНКА С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ
СОСТОЯНИЙ
Виктория Викторовна Шамраева, к.ф.-м.н., зам. зав. кафедрой математики и информатики Тел.: 783-68-48 (доб. 4129), e-mail: vshamraeva@miemp.ru, Московский университет им. С.Ю. Витте http://www.muiv.ru
Определение самофинансируемого портфеля, реплицирующего некоторое платежное обязательство f является одним из важнейших направлений исследования финансовых рынков. В данной работе на одной модели рынка с бесконечным числом состояний просчитаны компоненты хеджирующего портфеля для некоторых платежных обязательств.
Ключевые слова: финансовый рынок, бесконечное число состояний, мартингаль-ные меры, ослабленное свойство универсальной хааровской единственности (ОСУХЕ), ослабленное условие несовпадения барицентров (ОУНБ), самофинансируемый портфель, полный капитал, платежное обязательство.
Рассмотрим одношаговый (В,8)-рынок, заданный на стохастическом базисе (Q,F) . Здесь, B - детерминированные цены банковского счета; S - цены акций; Q - счетное пространство элементарных событий; F = (F0,F1) - одношаговая фильтрация (интерпретируется как «поток информацию», доступных на рынке в начальный и финальный момент времени). Отметим, что начальная а-алгебра тривиальна, то есть F0 = (Q0j, а F1 порождена разбиением Q на счетное число атомов Ai, i = 1,2,____(понимаемых как различные состояния рынка). Рассмотрим F-адаптированный случайный процесс Z = (Zk,Fk)k=0, который мы мыслим как дисконтированную стоимость акции ( Z0 = a, Z1 (Ai ) = bi , i e N ). Обозначим через P(Z,F) множество невырожденных мартингальных мер этого рынка, совпадающее с множеством решений следующей системы:
I P = 1
i=1
< I biPi = a
i=1
pt > 0, i e N.
О стратегиях на финансовом рынке, приносящих прибыль при нулевых начальных затратах, говорят, что они имеют арбитражные стратегии. (Б,8)-рынок, на котором отсутствуют такие стратегии, называется безарбитражным. Если любое платежное обязательство (п.о.) реплицируемо, то (Б,8)-рынок называется полным. Будем
В.В. Шамраева
предполагать, что inf Ьг < a < sup Ьг, что гарантирует безарбитражность и неполноту ис-
1 г
ходного финансового рынка.
Рассмотрим на (Q, F) специальные хааровские фильтрации (с.х.ф.) Н = (Ип )" ,
где Н0 = F0, Ню = F1 и у которых каждая а-алгебра Hn порождается разбиением Q на ровно п+1 атом, причем на каждом шагу дробится тот атом, который был получен в результате дробления на предыдущем шаге. Таким образом, каждая такая фильтрация Н интерполирует фильтрацию F. На рисунке представлена типичная схема специальной хааровской интерполяции):
Если для любой специальной хааровской фильтрации Н фильтрации Р соответствующий процесс У п = Ер [|Нп ] допускает единственную мартингальную меру, совпадающую с исходной мерой Р, то будем говорить, что мера Ре Р(2,Р) обладает ослабленным свойством универсальной хааровской единственности (ОСУХЕ). Заметим, что это свойство равносильно ослабленному условию несовпадения барицентров (ОУНБ) [1]. В [2] для рассматриваемой модели финансового рынка найдены достаточные условия того, что рынок обладает мартингальными мерами, удовлетворяющими ОСУХЕ. Там же смоделирован рынок и мартингальная мера на нем с удобными для вычислений
значениями параметров.
Пусть мера Ре Р( Z, Р ) удовлетворяет ОСУХЕ. Покупатель и продавец платежного обязательства (п.о.) договорились исчислять его цену усреднением п.о. по этой мере.
Количество единиц банковского счета обозначим через р рк1А + /зп1в , а количе-
к=1 "
п-1
ство акций в момент времени п через у п = + У^в . Определим портфель п как
к=1 п
двумерную предсказуемую последовательность рп,у п)"=0 , где р)=0 и (у п)=0 предсказуемые относительно Нп последовательности ([4], гл.11, § 1Ь). При этом рп = Р"п = рп+1 =..., уп =у"п = у"п+1 =..., Уп = 0,1,2,3,... Для канонического хеджа получены ([7]) следующие вычислительные формулы компонент самофинансируемого портфеля п:
/ = 0, k=1,2,...,n-1, у
/и ' ' ' ' '/)
Ь — Ь , Ь — Ь ,
п п—1 п п—1
и
с —с ,
—1
ßk = c,, k = 1,2,...,n -1, ßn = с -ynb = с - y"b ,
rn k' ' ?•••? ' Ля n / n n n / n n^
где с,
= к^скл , bn = kZfkPk, а / = Zc,J4 - ограниченное п.о.
ю 1=1
Z p* Z Pk
к=n+1 k=n+1
Процесс x = (xn,H n)= 0 есть полный капитал портфеля n = (ßn,уп) , где Xn = EP[/H n]. Реплицирование п.о. / и полноту интерполирующего рынка Y будет обеспечивать выполнение P -п.н. равенства lim Xn = / (последнее вытекает из общей теоремы 1.17 в [3]).
Возьмем в качестве меры P, b, и а значения из примера, построенного в [2]. А именно, пусть P=(2/3; 1/4;1/16;1/64; ...), b1=1 < a=5/3 <b2=2< b3=4 < b4=8 < b5=16 <.....
/V
В [2] показано, что такая мера P, bt и а, обладает ОСУХЕ. Вычислим bn для n=0,1,2,... Имеем,
b0 =
0 со
ZbkPk 5 ZbkPt л
1=1-= a = ¿1 = 1=1-= ± = 3,
Z Pk
ZbkPk 1
v 13
Z Pk
k = 2
Z bkPk 1/
b =
2
ZPk /12
= = б' b>3 = 1=1-= = 12'
Z Pk /48
bn =
n ю
■• 3 • 4n = 3 • 2n
_1_
V У , " ^ ^ Рк /3 • 4"
к=п+1
Просчитаем компоненты самофинансируемого портфеля ж = (Д, уп )"= 0 для некоторых п.о. (в [6, 7] компоненты таких п.о. приведены в окончательном виде без вспомогательных выкладок).
1. Пусть п.о. f = 1Аъ. Имеем, начальный капитал Х0= рк=1/4к-1, Хп= IА , п=к,к+1,....
Рисковые и безрисковые составляющие портфеля имеют вид:
Уп =Z ^ + ^-1 = k=1
Pk b1 P1' n = 1
Pk-1 J и в1' b2 P1 1 n = 2
Pk—2 J b3 P1 n = 3
Pk-m+1 J bmP1 B"-1' n = m,
P2 J bk-1P1 Bk-2: , n = k -1,
- 1 Jb 3bkP1 Bk- , n = k 1
0, n > k +1
k=1
k=3
k=4
Рп +№*-! =
" = 1
Р1
- Рк± I п = 2
Р1 '
- Рк-21в, " = 3
Р1 2
Р1
.Р2
Р1
Р1 к
-^Л, , " = к-1
вк-2 '
" = к " > к +1
В частности, если п.о. / = IА . Имеем, XскРк ' ^ А1 ' С = -к=_
с0 _ »
X Рк
= Р1 =-
с1 = 0
значит
1 _ о
У1 =
2
23 = -1 и р = С1 -уЬ = 0-(-11з = 3. Поскольку сп = 0, "=2,3,..., то у" = 0,
К - К з - 5 2 3
Ук и Р\ = с1 = 1, ркп = 0, для "=2,3,..., к=2,3,.... Окончательно,
1в , " = т
к=1
2
к=1
п—1
Уп =ХУп1А1 +У"п1вп_1 = к=1
- 1, п = 1 ^ к [3 п = 1
2 ' Рп=ХР+р:1вП1=\2' .
0, п > 2 к=1 |1А, п > 2
При этом начальный капитал Х0=Р1=2/3, Хп= 1А , "=1,2,... Для п.о. = 1а2 , имеем:
да да
, хСкРк „ 1, г ХСкРк Р2 13 3, Сп = 0, п=2,з,.
V" Р2 4 С ^ 1/ 4*1 4
X Рк ХР* /3
Значит
С -С ^ - 7л 13 3 1! 3 3 ^ 6-9 3
у = С1 С0 = /4 /4 =1.3 = £, Р1 = с -уК =---3 =-= —
71 К - К 3 - 5 2 4 8 1 1 1 4 8 8 8
3
и
2 С2 - С 0 - 34 31 1 2 „ ( 1 | 3
у22 = —^ =-^ =----= —, Р22 = с2-у22Ъ2 = 0-|--|б = -.
Ъ2 - Ъ 6 - 3 43 4 2 2 /2 2 ^ 4) 2
Таким образом,
у1 = 3, у2 = -1, у, = 0, Ук<", к=1,2, —, "=2,3,... и р1 = -3, р2 = 2, Рп2 = С2 = 1, 8 4 8 2
ркп = 0, для "=3,4,., У к<", к^2.
Окончательно,
к =1
к=2
Гп =^Г"г1А^1 +Г"п1Еп_1 = к=1
3, п = 1
8 п-1
-11Д, п = 2 , Л = £Лк1А =
4 ^ к=1
п = 1
—1в, п = 2
2 В1
1а,, п > 3
0, п > 3
При этом начальный капитал Х0= р2=1/4, Х1=3/4, Хп= 1А , п=2, 3, ...
2. Рассмотрим опцион-са11 европейского типа с п.о.
+ [2 - 20, если 2 > 20
f = (2 - 2 0) +=^ 1 0' 1 0, [0, если 21 < 20
где контрактная цена К=20=5/3. Поскольку 21(А/)=Ь=2г-1 > 20=а=5/3, г>2, а
ад
21(А1)=Ь1=1<20=а=5/3, то f = £ (Ьг - а) • 1А . В этом случае с1=0, сг=Ьг-а, г>2,
Значит,
£ С,Р, £ в- - а)Рг ад ад ад
> = - = - = £ (Ьг - а)Рг = £ ЬгРг - а£ Рг =
£ Рг £ Рг г=2 г=2 г=2
г=1 г=1
= а - Ь1Р1 - а(1 - Р1) = а - Ь1Р1 - а + аР1 = Р1(а - Ь1),
ад ад ад ад ад
£ СгРг £ (Ьг - а)Рг £ ЬгРг - а£ Рг £ЬгРг
г=п _ г=п
-а
£ Рг £ Рг
£ ьр
ь0 = -м-
0 ад
£ Рг £ Рг
г=п г=п ад
£ ь,Р,
. = а , Ь . = -г=ад-
п-1 ад
£ р>
£ Рг
„1 = С1 - С0 = 0 - Р1(а - Ь1) = Р
У1 , Г 7 "1 '
Ь1 - Ь0
Ь1 - а
„ = 0, к=1,2,.,п-1, и=2,3,...
^ ад А
£ ь,Р,-
--(Л
Ьп - а -
£ Рг
п=2,3,.
„ =
п
Ь - Ь .
п п-1
= 1
£ ьр
Ьп -
пад
£ Рг
Таким образом,
п-1
Л1 = С- А = 0 - Р1Ь1 = - Р1Ь1,
Л=СкЧ/
к=1
п=2,3,...
Ьк - а, к = 2,..., п -1
?... ?
Л = с - г"Ь„ = Ьп - а - Ьп = -а .
/ п п / п п п п
^ к [ Р1з п = 1, п-1
„ = £„Л +„^-1 =[1 п>2 р =£ Лк^ +лп„1в,11 =
к=1
к=1
- Р1Ь1, п = 1,
п-1
£ (Ьк - а)1 Ак - а1вп_1, п > 2.
I к=2
3
г=2
г=п
г=п
г=п
С-1 =
г=п
г=п
г=1
= п
г=п
1 — П
=п
а
п-1
При этом начальный капитал
да
Е cP
Xо = EP [f H0 ] = ^-= Е b - a)pk = Е bp - aE pk =
E pk
k=2 k=2 k=2
pk
k=1
2 5 4
= a-bp -a(1 -pi) = px(a-bi) = 3(3-1) = 9.
Таким образом, с применением процедуры хеджирования платежного обязательства, использующей интерполяцию неполного безарбитражного рынка полным рынком (метод хааровских интерполяций), определены эволюции капиталов некоторых финансовых обязательств и рассчитаны компоненты соответствующих реплицирующих самофинансируемых портфелей.
Литература
1. Данекянц А.Г., Павлов И.В. Об ослабленном свойстве универсальной хааровской единственности // ОПиПМ. - М.: ТВП, 2004. Т. 11. Вып. 3. С. 506-508.
2. Павлов И.В., Цветкова И.В., Шамраева В.В. Некоторые результаты о мартингальных мерах одношаговых моделей финансовых рынков, связанные с условием несовпадения барицентров // Вестник РГУПС. 2012. № 3. С. 177-181.
3. Ширяев А.Н., Чёрный А. С. Векторный стохастический интеграл и фундаментальные теоремы теории арбитража // Труды математического института им. В.А. Стеклова РАН. 2002. Т. 237. С. 7-11.
4. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Факты. Модели. - М: ФАЗИС, 1998. Т. 1. - 512 с.
5. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Теория. - М.: ФАЗИС, 1998. Т.2. - 544 с.
6. Цветкова И.В., Шамраева В.В. Расчёт компонентов хеджирующего портфеля с помощью процедуры хааровской интерполяции // Науковедение: Интернет-журнал. 2013. №3 (16).
7. Павлов И.В., Цветкова И.В., Шамраева В.В. Хеджирование одношаговых (В,8)-рынков с бесконечным числом состояний с помощью хааровских интерполяций (научный доклад) // ОПиПМ, М.: ТВП, 2013, Т. 20. Вып. 2. С. 151-152.
The calculation of components of hedging portfolio for payment obligations fixed at final time moment of financial market with infinite number of states
Finding the self-financing portfolio replicating some payment obligation f is one of important directions of financial market research. The method of the calculation of components of hedging portfolio for several kinds of payment obligations for the model offinancial market with infinite number of states is presented in the article.
Ключевые слова: Financial market, martingale measure, the weakened property of the universal Haar uniqueness, self-financing portfolios, capital of portfolio, contingent claim
Victoria Victorovna Shamraeva, Associate Professor, «Mathematics and Informatics» Chair, Moscow Vitte University
