Вычисление эллиптических интегралов при помощи цепных дробей Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА имени С. М, КИРОВА

Том 205 1972

2Гт , v ,т (_сЛт

(\ 9 «Л ( '

(1 - = ^-iV М)т-+ Г2п (V) =

ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ ПРИ ПОМОЩИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ

В. Е. КОРНИЛОВ

(Представлена кафедрой высшей математики Томского политехнического института)

В этой статье эллиптические интегралы представлены в виде суммы арктангенсов.

Оценка остаточного члена получена для Re(tc2z2) <4. В дальнейшем применяется сокращенная запись

к-z2 = v; (а)к = а(а+ 1)...(а + /е— 1), (а)„ = 1. (1)

1. Относительно четных ^подходящих дробей следующей степенной функции [1]

«-1 (0,5 - п\ (1 -2 п)

£=о (1-2 п)т

= ^rT+r2n(v), п =lf2f... (2)

Й2п {V)

докажем теорему.

Теорема. Четная подходящая дробь (2) представляется следующей суммой элементарных дробей:

= -Ч-; 11=1,2.... (3,

An

Доказательство. Известно [2], что знаменатели 'подходящих дробей (2) имеют связь с полиномами Чебышева первого рода, а именно:

q2n (V) = Тп( 1 —2:v) = cos [narccos(1 — 2:о)]. (4)

Согласно равенству (4) нетрудно вычислить, что

Я2П (V) = П ( п = 1,2,... (5)

«-I V 4п )

Для доказательства тождества (3) пусть

О . « 2//ХТГ — тг

рт = - Sin----,

An

тогда предположим, что

1:п + + 1:п = Р2п ^ (6)

1+^1 1 + Я2п (V)

Первый коэффициент числителя р2п (V) равен единице, а также сумма п слагаемых, каждое из которых равно 1 :пу равна единице. Ввиду равенств (2) и (6) относительно корней многочлена Цчп (V) справедливы равенства

1-2л (1-2 а)т

= Р1».Р„+.-. + рл-т+|...ря; ю = л-1. (7)

На основании равенств (7) вычислим коэффициенты при vm для

числителя P2n(v)i ПРИ этом в левой части равенства имеем пСп-1 слагаемых, получим

- +...+ Рл-т + 1 ... рл) + ... + ~ (Рх-Рп Рл-т-Рл-О -

я /г

(1 -2/i)m т = 1,..., /г — 1.

На основании последнего равенства и равенства (2) теорема доказана. Ввиду равенств (2) и (3) имеем

(1 _ V)~2 = I V -- + ?2п (V). (8)

» m=l 1 — V Sin2 -

4я

2. Эллепгические интегралы первого, второго и третьего рода ([3], стр. 82) (z = simp, h = n, к2 <01) после замены множителя (1 — ü ^) подынтегральных выражений элементарными дробями (8) и вычисления полученной суммы интегралов равны следующим суммам арктангенсов и остаточных членов:

ка< 1, я = 1,2,... (9)

1 " 1

Е (?,*) = 2я? - - arctg (a„tg X

^ » /Я

m=i

+ «« »А... (10)

4л

П (Т, А, Ж) = PsnkzJ^H . arctg (]/j_+Atgcp)

q2n(-x2:h) Vi + A 2arctg(»mt (A + 1 - «A ) a,

+

/г —- (h 4- 1 — ai * aM

m=1

где

4 = Р2,1(^г г^йг

4 п

о

(V) = [ , 32й (*) = Г" гМ йг

У 1 ~ г'

(I + кг2) VI

Если для эллиптических интегралов заменить множитель (1 —и) 2 подынтегральных выражений элементарными дробями (8), и вычислить полученную сумму интегралов, то эллиптические интегралы представляются в виде следующих сумм логарифмической функции и остаточных членов:

С / Ч 1 ЛЛ 1 / 1 ?т ^ ф , / ч

— 2, г 1п _ г ■ ' ■ +Р2Я-ИИ>

2« 1 -

п= 1,2,...;

п 1 " Рт 5*П ?

*>п 3 я

,п=1 ■г'/п

$1ГТ

^5111« + ^, (и), Л =1,2,...; д2п(1 - к-2)

П Л, «) = У1_ • (уТзт +

«"-г А

1 ^

1-й — V

' о„

2*£ РЗ. + А 1-Рт8Ш

1 4- рт БШ 9 /л .-^—:— + (и),

где

Л>0, = (к2-!);(**+ Л), /г = 1, 2,...;

< (1 — к2) г2 г„ 0 , . 9 2-т и=--—, Р%=к2 -г (1 — К2) БШ2 -

1 — к*г2

4 п

! р2я + 1 («) = ( ; ^ , (и) = I Ггп(и) йг

! .1 — 1»

'2/24

(1 +Аг2)(1_г>)

(13)

(14)

(15)

(16)

3. Докажем теорему о неравенстве модулей многочленов. Теорема. Если корни многочлена (32к+2(г) разделяются корнями многочлена т.е.

вг^гО*) = (* + «,)..^ + (17)

^ = Ч > > К2 >••■> .«к > > «к+1 = рк+1 > О, то для модулей этих многочленов имеет место неравенство

¡\(}2К+2(г)\>\Я2к{г)\ \г + а\, 1,2,...;

I где /?е2>0, = ^ ...рка; а1>а>а/,л.1. (18)

Доказательство. Непосредственным вычислением убеждаемся, что неравенство (18) справедливо в случае к= 1.

Пусть 3,, 1= 1,..., к + 1, тогда на основании неравенств

(17) и (18) при к = 1 и равенств (17) и (18) получим следующие неравенства:

12 + 11 г + а21 > |г +

2 +

З1

«1 > Чт- > «2 ;

2 +

Р/...Р«

Р.-Р« >

1 г + ац+2\>\г + Ц

2 4-

(19)

>Р

| г + ак+11 > 12 + 11 г + Эк

> > р/с >

•к + 1

Перемножая левые и правые части неравенств (19) и сокращая обе части полученного неравенства на равные множители, мы получим необходимое неравенство (18), что и требовалось доказать. 4. На основании формулы ([1], стр. 23 (11) получим:

*.Л*) = (0,5-л)п]:[(1-2я)я]Х

(0,5-/7),

X 0,5 — п; 0,5;

ОгЛ*).

(20)

(1 — 2п)п

Ввиду ([4], стр. 28,34), неравенства (18) и равенства (20) преобразуем остаточный член |г2л(г>)|:

I (V) I = №

2

т=0

<

(0,5)т

2\ъ\2п

•/с+1

1

т—0

(-0,5- «), (0,5)т

<

■и

/С — и

т. е.

ГаД®)! <

о Р I 2 — о

= /(г»), Rev < 1.

(21)

Ввиду неравенства (21) и равенств (12) и (16), окончательно получим:

I И КI р2й (V) | <ть (г), Яе ^ 0. I 02„+1 (К) I < I Р2л + 1 (В) | </(«) в (2),

(гО|</(г>)(1 + М).8(г), I К-2п + \ (н) | < /(и) | 2 |;

(23)

132n+i («) | </(«) в (?) 11 + hz21-1, Для оценок (22) — (24) множители о(г)ив(г) следующие ' arcsin | г \ для | г | ^ 1,

I г I , Re v< 1;

8(z) =

в (z)

sin (arg г) ' In ^

1 <Re(hz2) <0. (24)

(25)

KZ

2K 1 — | kz

И

| sin (arg г) I

для \кг

1,

Reu < 1

для |/ег[ > 1,

(26)

ЛИТЕРАТУРА

1. В. Е. Корнилов. Система аппроксимаций Падэ для степенных функций. Из;*. ТПИ, т. 154, стр. 20—23, Томск, 1967.

2. В. Л. Данилов, А. Н. Иванова и др. Математический анализ (функции, пределы, ряды, цепные дроби). М., Физматгиз, 1961.

3. И. М. Рыжи к. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.—Л., Гостехиздат, 1948.

4. Т. И. С т и л т ь е с. Исследования о непрерывных дробях. М., ОНТИ, 1936.