Применение произведения биномов для вычисления функции Гаусса Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА

Том 205 197:2

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ БИНОМОВ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ГАУССА

В. Е. КОРНИЛОВ

(Представлена кафедрой высшей математики Томского политехнического института)

В статье излагается вопрос о получении приближений функции Гаусса в виде произведения биномов. Эти приближения получены на основе теории цепных дробей и могут быть применены для вычисления изучаемой функции.

Функция Гаусса содержит параметры а, 8 и у, которые в этой статье представлены при изменении в следующих интервалах у > а > — 1, у > р > 0, —1; г — комплексное переменное.

1. Гипергеометрическая функция—функция Гаусса

(*)« (Р)« (ТМ!

у Ф 0, — 1,...; |аге(1 + *)]<*, (1)

/с=и (Т)к

•где

(а)к = а(а + \)...(а + к-1)= Т ^ , (*)о = 1,

Г (а)

преобразуется следующим образом:

Р; т; — *) -*> =

г

= ехр ¡1 [/? (а, Р; Т; - г)] -1 а [/=■(«, р; Т; - 2)] } ,

О

т. е.

*арР(а+1, Р + 1; т+1; -О

Р; т; - = ехр

I

т^К Р; т; — О

л

(2)

Далее к числителю подынтегральной функции (2) применим рекуррентное соотношение ([I], стр. 313)

1 />+ 1, 1; Т+1; _^ = г1_/=-(а| Р; у; - *) -Т 1 + *

+ Ь Р; Т+1; -*) (3)

Т 1 -г г

и заменим отношение двух рядов известным разложением его в цепную дробь ([2], стр. 132), тогда после некоторых упрощений представим функцию (1) в виде следующего произведения:

F(a, ß; Т; - г) = (1 -f г)-exp [a(T-ß)

Pin+x (О dt

X exp

-«(т-Э) J/?2n+1(i)-

Q2n-ri(t) \+t dt "i

X

где

P2

n+i(z) = a (f ß) f R2n+l (t);

%/ 1 — I'" i

0

pK(t) 1

(4)

(5)

Q*(0

«2 + .■. H--

ai — T> a2m ~~

(4 + 2/n - 1)(«+ !),»_, (T-ß-f !)„,_, 1

<*2m + l =

(P)m (T - «),

m — 1.2,... ;

/?2n+l(0= 2

«2/c+1

(6)

(7)

/1 + 1 0.2к-\ (0 <32к~1 (0

Для числителя и ^знаменателя подходящей дроби (6) известны равенствами соотношение ([3], стр. 13, 14):

(т + 1)а„ 1_

Р2„+1 (0 = 1 + — 4-

(Т + 1)2„

(«+1)„(т-Р + 1)л tn

—/>2л-И (t).

(8)

Q2/i+l(0 = 2 a2m-fl + •••

(T)

2 n+l

1

m=0

(«Ч-1)я(т —P-f-1)„ ''

(Т)2я + ! 1

(«+l)„(T"ß + l)n t"

Я2п+1 (i).

(9)

Q2n +1 (2) = (а2л а2л+1 -f 1 4-

1

Q2n^(z)--^Q2n^(z). (10)

«2/1-1

2. Täte [как lim —-- = —, то, ввиду ([3|, стр. 26), все кор-

- " к-иэо tciK0LK+\ 4

ни [многочлена Q2n~\ (t) вещественные, расположены в интервале

(—оо, —1), поэтому и ввиду равенства (9)

Q?n?X{t) =

(Т>2,

п 4-1

п

„Ч

(а+1)л(Т-Р+1)л m=x\t а

ах > а2 > ... > ап> 1.

10. Заказ 2930.

(И)

145

Отсюда нетрудно сделать вывод, что при изменении I вдоль рпямо-линейного отрезка, соединяющего точки 0 и г: 1) в областях

Яе

/ 1

1

а,

минимум

2) максимум частного

будет при Ь = г\ 1

в указанных ооластях измене-

ния комплексного переменного Ь также будет при ¿ = г. Поэтому можно получить следующее неравенство относительно модуля интеграла (5):

|Р2Я + 1(г)/<|а|(7-?)|Я2я+1(2)| Г

•/ А ~г" ь

(12)

При интегрировании вдоль радиуса точки г получим ([4], стр. 430):

о

л

1) если Ке{г) ^> 0, то ^

о

\dt\_ 1 + t

2) если Яе ( — ) < — 1, то | г | < 1 и

<и

<

И

" йМ

l + t\ ^ 1-1 г

о о

Ввиду изложенного вводится функция

\г\ для /?г(г)>0,

1п(1 — | г

|1п(1 — \г\) | для Яе[ — ) < - 1

(13)

у упрощается неравенство (12)

I Р2„+1 (г) | < х (г) | а | (7 _ р) Я2л+1 (г). (14)

3. Бесконечный функциональный ряд (7) оценивается по модулю аналогично, как это было сделано для цепной дроби (6) при р = 1 в статье ([5], стр, 24), а именно: ввиду (7), (9), (14) и т>2р—1, после некоторых упрощений получим:

где

Р2и + 1(2)1<

(*) =

(г) у

2 [(т)2Я-1р | 72«+1 (г) |я [3 (г)]

\ 1 ДЛЯ #£(2)>0,

I 1 +г| для Яе(< - 1.

(15)

(16)

Нетрудно проверить, что отношение последующего слагаемого к пре дыдущему в сумме (15) меньше |4з (г)-г-1/—2, а также

(«+1)„(РиТ-Р Ы)л(Т-«+ 1)л[(Т-Ы)2Я]-2<2-

поэтому после упрощений окончательно получим следующую оценку по модулю для интеграла (5):

х(г)о(г)1«г2"+'| (у- рНт — «) I (*■+'(*>!< (г)]2 — | 2|2 ' •

4а (г) > | г |, (17)

где т(г) и 3(2) принимают значения согласно равенствам (13) и (16).

Равенство (4) с учетом (8) и (9) можно записать в виде следующей суммы:

Р; т; -г)-(1Чг)-*ехр

<*(? — Р) ГР<2п + \Щ ^

/р2п + \ <72/1 + 1

(О 1 +

О

+ (г) = ^2«+! (2) + г2л+1 (г), ■ (18)

где

г2«+1 (г) = (г) {ехр [р2„+| (г)] — 1). Нетрудно вычислить, что

а.З

поэтому

Iг2л+1 (2)1 <1(1+2) 1 I ехр IР1 (г)| [ехр |Р2Я+, (г)| — 1]. (19)

4. Теорема. Гипергеометрическая функция (1) представляется следующим произведением биномов:

Р (<*> 3; Т; -2) = (1+2)*оП ( I + — У™ + Г2л.и (г), (20)

где

т=I V ат/ (тЬ+1?2/г-и( — 1)

л - (т - а)(т - Р) атЛ2я+1 (- ат) , . 9

Р/п ^ > а — ••• (^1)

Т2(т + 1)(1 [^2л+|(-ат)]

аг

Многочлены Л2л+1(г), ?2Л+1(г), ^+1(2) следующие;

А1(г)= 0; ^з(^) = ^ (г) (г) = 1,

они для п — 2, 3,... определяются последовательно с помощью соотношения (25),

Верхняя граница |г2л-и(г)1 в областях комплексного переменного Яе (г) > 0 и Яе < — 1, ограниченных 4а(г)>|г|, устанавливается неравенствами (19) и (17).

Доказательство. Если ввести равенство

р (Т - а) гА2п+1 (г) = 7 (Г + 1) [^«+1 (*) - Р^х (г)], я = 1, 2,... ; (23)

То, ввиду равенств (4), (6), (8) — (10), (22), многочлены ЛЯл+1(г), ?2л+1(г), /72л+1 (г), а также

10% 14Г

М2п+\{г) -Р»Ля+1 (г) — *д2п+1 (г)

(24)

удовлетворяют рекуррентному соотношению + 1 (г) =

- , (а + р + 2л — 1) Т + 2Л(Л — 1) —2аЭ 1 ^----.-2

(т + 2д-2)(т + 2л)

?2л-1

{а + и - 1 )(р + л-1)(т-«+л - 1)(т - Р + /*-!) , , ,

- 2 <?2п-3\2}» (¿0)

Равенство

(т + 2я-3)3(Т + 2Я-2)

(а)я + ! (Э)я-1

М2п+1)

(Т)2л +

(25)

(26)

легко доказывается методом математической индукции с помощью соотношения (25).

Применяя равенства (21), (24), (26), преобразуем равенство (18):

^(а, р; т; — г) = ехр

Ж2я+1(р ¿И (1 + ^)^+1(0.

= ехр

Ьт г

о^ + * !

+

+ г2л-м (2) Г Г2п + { (г),

т. е.

Р; т; -г) = (1+г)^П Л

т—1

а.

г \Ьт

а.

где ввиду равенства (26) (а)л + 1(Р)лЧ-1

¿0 =

Г2п+\{г), М^п+х (— ат)

(20)

(тК+1 ?2Я+1 (- 1) ' т (1 __ ам) [Ч2п.г а)]

¿/г

к тому же, на основании (20) и (18) верхняя граница I ггЛ-и (г) | оценивается неравенствами (19) и (17).

Ввиду равенств (9) и (И) д2п± \ (— ат) — 0, т= 1,..., п; поэтому, применяя равенство (24), получим

К «

Мы+\ (- ат) + (- ат)

__Т_=

(1 ~ат)^Г [Ьп^ 1 (-ал ах

_ — Р) (— О — ( — дт)]

ТГ О - [^я-м

аг

и на основании равенства (23)

Ь.„ =

а^ (Т — «)(т Р) ^ ( — ¿гт)

Г(Т+1)(1 - [Я2пМ-ат)\

ах

тем самым теорема полностью доказана. 148

ЛИТЕРАТУРА

1. Н. Н. Лебедев. Специальные функции и их приложения. М., Гостехиздатг 1953.

2. А. Н. Хованский. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа. М., ГИТТЛ, 1956.

3. Т. И. Стилтьес. Исследования о непрерывных дробях. М., ОНТИ, 1936.

4. И. И. Привалов. Введение в теорию функций комплексного переменного. М .— Л., Гостехиздат, 1948.

5. В. Е. Корнилов. Приложение цепных дробей к вычислению интегралов от биномных дифференциалов. Изв. ТПИ, т. 131, стр. 21—25. 1965.