CC BY
12
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА
Том 205 1972
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ БИНОМОВ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИИ КУММЕРА
В. Е. КОРНИЛОВ
(Представлена кафедрой высшей математики Томского политехнического института)
В статье разбирается вопрос о получении приближений функции Куммера в виде произведения биномов. Эти 'приближения получены на базе цепных дробей и могут быть применены для вычисления этой функции.
Функция Куммера содержит параметры а и которые в этой статье изучены при положительных значениях 2а > у > 0.
1. Вырожденная гипергеометрическая функция (функция Куммера)
т; *)=2
к=0 (Т)к К\
Хк, И<ЛГ,
Т^о, -1,...; (а)к= Т(" + 'с) , (а)0 = 1
I (а)
(О
может быть представлена как частное двух функций следующим путем:
х
Ф (а; Т; х) = ф V *) = ехр ( Г ^
и Ф(а; т;
(«; т; О
т. е.
I } ТФ(а; т;
(2)
Далее заменим отношение двух рядов под знаком интеграла (2) известным разложением его в цепную дробь ([1], стр. 134) и представим функцию (1) в виде следующего произведения:
Ф(а; т; х) = ехр
<?2Я + 1
ехр
1 де
Р2
л
л+1 (*) = — а | /?2л+1 (0 (И,
(3)
(4)
РЛй ЯЛ*)
=Т. «2,л = (~ 1)'
1 1
а.,
а,
(т + 2т- 1)(а + !)„_, 1
(7 - *),
32т+ 1 = (— 1)
Я2я + 1 (¿)
(■; + 2т)(ч - а),
V
(* + 1 )т
+ I
т = 1,2,...;
([2], стр. 34).
<Э2«-1 (0 <22«+1 (О
Для числителя и знаменателя подходящей дроби (о) известны равенства и соотношение ([2], стр. 13, 14)
(6)
Рь + г (0=1+ ... + (Т+П" • -1- = (Т + П* • > (О,
где
а2/и-Ы
(Т)2я-Н1 1 (Т)2п
172+ 1
т=О
<72я + 1 (О,
в
П
V
л ^ &2т + \ : _
ш —0
£ (-!)■
(-; — 2п)(-[ — а),
(7)
(8)
(9)
?2л+1 (*) =
2а - ?
(Т -¡- 2п — 2)(у Н- 2л)
<р2л-1 {*) ~Г
(а + и— 1)(-,' — ас-'г /г— 1) ' о --—---х-^2„-з(х), п = 2, 3, ...
(•Г + 2л-2КТ + 2Л-3)з
(10)
где р2п+1(х) и <72п+1 (ас) = ср2„+1 (*).
Ввиду того, что правая часть равенства (9) может быть представлена разностью двух обобщенных гипергеометрических рядов, и, применяя следующую формулу ([3], стр. 191) в частном случае (г—-1):
оо
V
а2т+1 :
/п=0
получим
Ро I 1 +
3' 2
9 '
— а, 1; — , а + 1; — 1 ) = а,
(И)
О
п
V
П ■ ^ &2т-{-1 = т=0
(а)Л1)й(т-а)«1-1
(12)
(* +1)«
2. При следующих значениях параметров 2а > > 0 и независимой переменной л; > О имеем:
1) для а = *' + к + в (0 < г < 1) все а(, я2,... , сс2к-\л в равенствах (о) (яг = I,.... л: + 1) положительны и корни фгк+зМ отрицательные ([2], стр. 14) и разделяются корнями (-*"). поэтому и ввиду равенства (8)
Ч\ (-0 <д3(х)< ... <д-2пгл(х); (13)
V
2) для ~ < а < 7 + 1 и для я = 7 + к + в (т = к -- 2,...), ввиду
соотношений (10) и неравенств (13), получим;
+ 1 (х) < -з(*) < ... ; П = О, 1, ... (14)
Исходя из равенств (5), (8) и (14), нетрудно получить оценку для функционального ряда (6):
Относительно модуля интеграла (4), ввиду неравенств (15), можно установить верхнюю границу:
[^■(хк^1^^11':1;. *><>. об)
(Т)2п+1 (Т>2п+2 (^)Г
Равенство (3) с учетом (7) и (8) можно представить в виде следующей суммы:
Ф(а; -у; х) ехр
ГР* + Х (t) ^ . Т J <72rt-bi(0
+ т2n + l (*) —
Яч n + \(t) J
о
= Ф2я+1 (X) + Г2/.+1 (л), (17)
где
а
— л'
| г2п+1 (х) | < т ехр | р1 (х) | [ехр | ¡^-н (х) | - 1]. (18)
3. Теорема. Вырожденная гипергеометрическая функция (1) представляется следующим произведением биномов:
п ^
Ф(а; Т; х) = е*°*П П+—) " + г2я+1<4 (19)
т = I \ ат I
где
П -г) = я*п+х(х), ь0= (а)я+1
ат ! («)л+1 + (— 1)"(Т — а)л + 1
в а(а-Т)атЛ2, + 1(-ат) ; Л = ь 2| _ (20)
Т2(Т+1)^[?2 я+|(-ая)] ах
Многочлены Л2д+1(л:), q2n+\{x) и р-щ+х (л) следующие: Ах (х) = 0, А3(х) = qv (х) «л (х) — 1,
Яг (X) = 1 + X, р, (X) = 1 + ii±Jl л-; (21)
Т (т + 2) (т + 1)з
они для п = 2, 3,... определяются последовательно с помощью соот-. ношения (10). Оценка остаточного члена |г2«-ы(х)| устанавливается с помощью неравенств (18) и lot.
Доказательство. Ввиду следующего равенства
(Т — 7.)хА2п-} \(х) = (т>2 {*) — (*)], /г = 1, 2, ...; (22) а также
Ahn-1-i (х) = — P2n,-i(x) — ~ q-2n+ \ (х), (23)
Т Dn
многочлены A^n^xix), M2n±i(x) наряду с g2n+i(x) и р2щ-х(х) удовлетворяют соотношению (10).
Применяя равенства (7) — (9), (20) и (23), преобразуем равенство (17):
Ф(а; т; х) ехр
и*+/
М2п,Л (П
Ц2п + \ {¿)
(И
+ Г2а-Л {х) -
-ехр
[. 3 п!==\ т 1/ 1 -4--—
0 0
(У-)п -1
где Ь0 = — и ввиду равенства (12) Ь0 —----—
£>л (а)п+1 + (- 1)я(т - я)«-н
а также
п
ф(а; х) = еь*х П [ 1
т=1 V а
X \ ьт
т
+ г2л+\(х), Ьт =
+ 1 (— О
¿л:
к тому же, на основании (19) и (17) оценка | г?«^ (я) I находится согласно неравенствам (18) и (16).
Ввиду первого равенства (20) #2/2+1 (— ат) = 0, поэтому, применяя равенство (23), получим
М2П+\(—ат) + — — ) Ч2п+\(—ат)
Ъ„ =
йх
[Ч2п+\(—ат)\
[/>2,1 + 1 (— ат) — ?2л+1(-ат)]
~ [?2л+1(-ат)]
ах
и на основании равенства (22)
а (а — -¡)ат А2п+\{—ат)
Ьт =
а
Г(Т + 0— [Чгп+Л-ат)]
ах
тем самым теорема полностью доказана.
4. В случае комплексных корней многочлена д->п \ \ (я) эти корни — ат и коэффициенты Ьт соответственно будут попарно сопряженные и каждые такие два множителя могут быть преобразованы к элементарным функциям с вещественными коэффициентами. Например, после элементарных преобразований получим {\ = У — 1)
V \11 + х/ / V- \ а — т /
X \ (х+ х
а + Ы
ах
а — Ы
(а2 + Ь1)1 \ а2 + Ь'2 I ]
2с
Ь. v
а.к + а--\-Ь-
Применим формулу (19) в случае л= 1, получим:
а <а+ 1) х
(2а_-г'КТ+П [ 2а — ^ \ а (а—7) (7 + 2)2
Ф (а; Т; х) = е ' Т><Т+ 41+ ^Чт" * + <*)' Ф)
\ Т" + 2т /
Из равенства (25) можно получить как точные равенства Ф(Т + 1; т; + ф(-1; т; =
так и приближенные равенства для интеграла вероятностей и интегралов Френеля ([3], стр. 254):
4 3
о
Ей (х) = \ е~ '' сИ = хФ — ; — ; - х"-) =
+ ^х-1 9'8 + хг3(-Л:2); (26)
2л 21
V 2т, ] ■
! 2х \
соэ (9,8аг^---0,6*), (27)
/
^ (1 + ж) 4 9 51п(9'8агс*8"1т ~0,6* ^ (28)
где для х = 1 получим:
С (1) « 0,72203 (А = - 0,00033), Я (1)« 0,24774 (Д - 0,00014), здесь А —абсолютная погрешность.
ЛИТЕРАТУРА
1. А. Н. Хованский. Применение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа. М.. ГИТТЛ, 1956.
2. Т. И. Стилтьес. Исследования о непрерывных дробях. М., ОНТИ, 1936.
3. Г. Бейтмен и А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. М., Физ-матгиз, 1965.
