Применение произведения биномов для вычисления асимптотического ряда Куммера Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ____ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА

Том 154 1967

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ БИНОМОВ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ АСИМПТОТИЧЕСКОГО РЯДА КУММЕРА

В. Е. КОРНИЛОВ

(Представлена научным семинаром кафедры высшей математики)

Приближения асимптотического ряда Куммера в виде произведения биномов получены на основе теории цепных дробей и могут быть применены для вычисления указанного ряда при больших значениях аргумента по модулю.

Ряд Куммера содержит параметры аир, которые в этой статье изучены при изменении в следующих интервалах: — 1 < р < а, 0< а <2. Оценка остаточного члена получена для. комплексного переменного х

в области —.

2

1. Если ввести сокращенное обозначение произведения

(а)к = а(а + 1)...(а + к-1) = Г1" + К\ (а)0 = 1,

Г (а)

то асимптотический ряд функции Куммера ([1], стр. 341) следующий: ..а,-!)-2'■>•<».' п*

а

/с=О

2г|»1, (1)

Ряд (1) преобразуется таким путем:

1 \ 1п /*■ (а, [3; ; — 1) \в F (- М

Р1а, Р; ; —- )=е V *) = е 1

ехр

-1

а

то есть

ехр

р[-1

1, Р + 1; ; —т

Р; ;

<и

<2>

Далее к числителю подынтегральной функции (2) применим рекуррентное соотношение

Р/^а+1, р + 1; ; = Р; ; Р; ; - 1 )

(3)

ю

и заменим отношение двух рядов известным разложением его в цепную дробь ([2], стр. 137), тогда ряд (1) выразится числом е, имеющим показателем степени интеграл и под знаком интеграла цепную дробь, а именно:

Г а

где

ехр

I

Л ~ ^«+1(0

йц X ехр

Р2Я Ь1 (г) = а I +

(4)

(5)

РкУ)

<}к (*)

а1 +

а2 +

Як

1, 0-2т— -—-, <*2т + 1

(Р).

(Р)<

/?2« + 1(0

(Р)*

К — П +

,(« + 1)^2«-! (О С?2лс + 1

(«+1)т

([13], стр. 34)

(6)

(7)

Для числителя и знаменателя подходящей дроби (6) известны равенства и соотношение ([3], стр. 13, 14):

(«+ 1)я («+ 1)л

п

+ = + 1 ----

(8)

т=0

(а+1)»

г1«

(а+1)„ (а+1)я

где

оп =

л я

®2т +1 = ^

т=0 яг—О

Я2 п+1(0,

(Р),

(« + !)/

а2л-1

«2л <*2л + 1 + 1 + °2" + ' I —1 (О — ^^ (¿2п-лУ).

(9)

(10)

(И)

I

2. Корни многочлена Q2/г^-^ (0 вещественные отрицательные и разделяются корнями <?2л-1 (¿) ([3], стр. 14). Ввиду равенства (9) нетрудно установить, что крайний корень (?2л-и(£) расположен в интервале (— а — р — /г, — па — яр — п2), поэтому относительно смежных знаменателей справедливо неравенство:

1 +

¿Лг-1 2

(12)

Неравенство (12) имеет место и для — 1<Р<0, так как <?2л+1(0 содержит параметры а и р в симметричном виде и при перестановке

11

интервалов изменения этих параметров все неполные частные цепной дроби (6) положительны.

Академик В. И. Смирнов доказал формулу для гипергеометрического ряда ([4], стр. 374):

г; = (13)

Г(т —а)Г(т-р)

Согласно равенства (10)

(Р)л + 1

= Р; а+1; р + л+ 1; а + д + 2; 1)' , ^Т/ (И)

и ввиду формулы (13) получив:

(а)«+1 - (Р)я+

^о(а Н- (« + !)»(«-?)

(15)

Применяя формулы (13), (15) и неравенство (12) к бесконечному функциональному ряду (7) с учетом того, что

< £>„ < 1, Л = 1, 2,. .„; - 1 < р < 0. < Оп+1■■■для Р > 0;

,Р

£>„> —[С+1п(я + 1)] + 1п2> —1п7(я+ 1) ([5], стр. 244), 2 2'

р-.З^.

не»

получим

|/?2Я + 1(01<5„

где

|(р)я+1)Рл-1Р7' 1ашЛ<- (17)

В1 (> + » + !)(—Р) для_1<р<0;

5Я =

£>я(<х + я+1)

п ,-ЙГ" ДЛЯ 0 < р < а;

¿>„+1 (а — Р)

4Р»[1 + (« + « + 1)1п7 (я+ 2)1 1п7 (я+ 1)1п7(я + 2)

(18)

для 8 = а — , 2

Далее при помощи неравенств (12) й (17) получим оценку модуля интеграла (5), где интегрирование совершается вдоль радиуса точки г ([6], стр. 430), а именно:

р2л+1(^) | <

аБпНМп+хКп +1)(а + Р + Я+1)

(а+1)л+1

г

I

с1Ь

<г2я+1(0 Iя к12

<

<

а5я/(р)я+,|(л+1)(в + р + я+1)|

_ I (Р)я+11 (д + 1)(а + Р + Я + 1)

1С

Последнее неравенство справедливо потому, что.для — много-

2

члены знаменателей подынтегральных выражений могут быть рред-12

ставлены произведением двучленов вида + ' ат'>^ и модуль

каждого из них принимает минимальное значение при верхнем пределе интеграла. Таким образом получена оценка интеграла (5) по модулю:

(я+1)п+\\(12п+\(г)\-\г\ 2

где 5/2 принимает значения согласно равенства (18). 3. При п = 1 получаем оценку функции (4):

сф

/Ч*, Р; ;

<

а + Р+ 1

а+Р-Ц

ехр|Мг)|. (20)

Равенство (4) с учетом (8) и (9) можно записать в виде следующей суммы:

Р к Р; ; -

ехр

1 __ аР2п+\ )

<и

где

+ Г2п+1 (*) = /*2л+1 (2) + Г2л+1 (2Г),

Г2Я + 1 (2) = /^« + 1 (2) {ехр [Р2Л + 1 (2)] — 1}. Ввиду (20) и (22) получим

а + р+1

(21) (22)

а(3

г2п+\ (г) I <

1 +

а+0 + 1

ехр | р3 (г) I [ехр | р2Я+1 («) | — 1] - (23)

Теорема. Ряд (1) представляется следующим произведением биномов (л = 1, 2,...):

р{*> Р;; -7)= П(1+^У" + гал+1(г),

1 Ч

где

т~\

а.

11(1+7] =?2Я+1(2),

<*Р ^2«+1 ( ат)

йг

Многочлены Л2«+1(2) и (г) следующие:

Ах{г) = 0, Л3(^> = = 1; уа(2)= 1 + * + Р+1

(24)

(25)

(26)

они для л = 2, 3,... определяются последовательно с помощью соотношения:

1. + (а + р + 2л-1) I

г

Ч2п+\ (г) =

д2п-1(г) —

(27)

Верхняя граница |г2я-и(г)| в области I г | ^ — устанавливается

2 *

при помощи неравенств (23), (19).

Доказательство. Прежде всего вводим соотношение

М2Я+1 (2) = г[?2,«+|(г) — Р2п+Лг)\; п= 1,2,... (28)

и ввиду равенств (8), (9), (11) и (28) многочлены 02л=и(2), />2п+1 (г) и Лгл+1 (г) удовлетворяют соотношению (27).

Применяя равенство (28), преобразуем равенство (21):

Р; ;

ехр

Г ар 42п+1 (г

3 + 1 (О

(г)

= ехр

2 а>»ь>

т 1

1

1+&

>"2,1+1 (г)

где

П (1 +^У'П + г2п+1(г),

а М2Я+1 (— ат)

=

йу- [^2л + 1( — О] йг

к тому же на основании (24) и (21) |г2Л+1(г)| оценивается неравенствами (23), (19).

ЛИТЕРАТУРА /

1. Н. Н. Лебедев. Специальные функции и их приложения. М., Гостех-издат, 1953.

2. А. Н. X о в а и с к и й. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа. М., ГИТТЛ, 1956.

3. Т. И. Стилтьес. Исследования о непрерывных дробях. М., ОНТИ, 1936.

4. В. И. Смирнов. Курс высшей математики, том 3, часть вторая, М., ГИТТЛ, 1953.

5. И. М. Рыж и к. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.—Л., ГИТТЛ, 1948.

6. И. И. Привалов. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.—Л., ГостехЪздат, 1948.

*