Применение цепных дробей для вычисления эллиптических интегралов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. С. М. КИРОВА

Том 226 1976

ПРИМЕНЕНИЕ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ

В. Е. КОРНИЛОВ

(Представлена кафедрой высшей математики)

В этой статье на основе цепных дробей получены приближения эллиптических интегралов в виде суммы арктангенсов и дана оценка остаточных членов.

В дальнейшем применяется сокращенная запись

= (а)к = а(а + \)...(а + к-\); (а)0= 1. (1)

1. Относительно четных подходящих дробей следующей степенной функции [1]

у (0,5 — п)т у^т

(1-У Г^ Г + Г2п (у) = -В^Ш- + г2п (у);

VI £,т (0.5 — п)т . ?2Л(У)

¿■■"(1-2 п)тк

■я = 1,2, ... (2)

докажем теорему.

Теорема. Четная подходящая дробь (2) представляется следую-" щей суммой элементарных дробей

Р%п (у) _ • VI * . я==1 >;2)......(3)

^í—1

/n=1 1 — у sin2

Яъп (У) » я ,

\ 4« ;

Доказательство. Известно [2]. что знаменатели подходящих дробей (2) имеют связь с полиномами Чебышева первого рода, а именно:

Ягп (У) — ~ 2 : у) = со$[п агссоэ (1 — 2: у)]. (4)

Согласно равенству (4) нетрудно вычислить, что " * , . * — ти

1 — у эт2

Чгп (У) = П

т-1

I 4 П

п -1,2,... (5)

. Для доказательства тождества-(3) пусть

Q . о / 2ът — тс

Р„ = - sin2

4л /' V

тогда

1: п , 1 : п , 1: я

1 + Р2У 1+&.У

ПусТ-1(0'5 ~п)п (-у)»

(1-2п)т р2п(у) (б)

у ст (0,5 -п)т( Я2п (У)

¿<0 ' (1-2п)т

Первый коэффициент числителя Р2п(у) равен единице, а также сумма п слагаемых, каждое из которых равно 1 : п, равна единице. Ввиду равенств (5) и (6) относительно корней многочлена д%п(у) справедливы равенства

(1 ~2п) (1-2 п)т

= Рх- Рт+ ••• да-2, ...,я-1. (7)

На

основании равенств (7) вычислим коэффициенты при уш числителя р2п (у), при этом в левой части равенства имеем пСп-\ слагаемых, получим \

— (Рг ' • " + ' ' • + Рл-яН-1 ' " Рл) + * ' ' /г

'•••+ - (Ь • У • Рт + • + • • • Ря-0 =

П

1 пСТ-Х пт, <0,-5 — л)т _ ^т / 1>ж (0,5 - п)т

п СГ (1 — 2/г)т (1»2/г)т

т = 1, я— 1;

где правая часть равенства тождественно равна коэффициенту числителя (6) при ут9 тем самым теорема полностью доказана. Ввиду равенств (2) и (3) имеем

(1 - 2 ; о-ч + /г - 2' - <8>

2. Эллиптический интеграл первого'рода [3], стр. 82 (л: = з1пф, к2<1)

„ Г . . (9)

4 гт^ШРТ л уг^ут^Ж

а о

росле замены множителя (1— /с2*2)-0'5 подынтегрального выражения элементарными дробями (8) и вычисления полученной суммы интегралов приближенно равен следующей сумме арктангенсов:

'2ът — « . ,

Р <т, к) =■—.у -_^ 4/1 >

п / - - 1 —т

+

у Л—к2 в1пв

4 п

+ Р2я (у); <Р «агсйпх, /са< 1, п =1,2,...; (10)

где

о»

Эллиптические интегралы второго рода

пер (12)

■ ■ > 0 ' ' ■ ' ■

и третьего рода

Я(<р,А, к) = Г- ах , дс = БШ у (13)

; } (1 + Лх2) 1/(1 -ха)(1 -к2**) о

по аналогии с интегралом (9) могут, быть представлены следующими суммами арктангенсов: •

Е (ср, к) = 2#? -т 1 у агс^ (ат ср) 2тс/и —* \ |

+ Я*(у). »=1,2,...;. (14)

где

Жф Л ^„(-к'^аг^ОЛ ,

П (Л + 1 - а^)-ага .

Л = 1, 2, ...; А> — 1, (15)

, (16)

' ' ' ' 0 ■ ' ' ' .....

(17)

J (1+Лх2)]/1 — г5

о

Полные эллиптические интегралы согласно равенств (10) (14) и (15) приближенно равны следующим суммам:

\2- / 2л

-(7-)—5 +

» = 1,2,...; (19)

(— к2: Л) .тс Л (1 — а„): а„

(18)

\ 2 ■ ' / ■3^2я(—ка:А)'|/1 +А 2« А + 1 -

+ «=1,2,...; Л>-1. (20)

105

3. Неравенства (дп(у) = дп)

+ + У<1 (21)

справедливы ввиду равенств (2) и (5), а именно:

= 1 — пу

(У) = П

1 о , У « 2 У 2тг/тг — Тс

1 — у + — з!п -

4 V 4п

>(\-У + У2:Щп, У< 1.

,2л

+

24Я-1

>

Аналогично доказывается второе неравенство (21).

На основании неравенств (21), равенства (2) и бесконечного ряда для остаточного члена г2п(у) [4], стр. 21, (1) нетрудно получить оценки остаточных членов (11), (16) и (17). Остаточные члены по абсолютной величине будут меньше следующих выражений (п = 1, 2, у < 1, л: = эт?): __

|р»(У)|<...... ^^(К!-«'-^) (22)

угп агсвШ х

°:п(У) <

24"-1 (1 - у: 2) (1 - у + у2:16)"-'

02л 21-4л

(I — У :2) {I — у 4- у2:16)"-1

Лаге+

(Н + к2)У 1+А

+

к2 аг^ (К1 — /с2 • ср) {к + к2) V \ — к-

, кф — к*, А> — 1.

(23)

+

(24)

Для л = 1—6, 8 многочлены Я2п(У)^Я2п нетрудно представить в виде произведения квадратных трехчленов, а именно:

V « V /, V

Яг = 1 - ; <7* = 1 - у + ^; я6 = (1 - ^

=

У +

У

16 — 8 >^2

= !-</ +

У

д10 = (\-у:2)[1-у +

У

24 — 8 УЬ

16 + 81/2 / ' Уг

1 -*/ +

24 + 8 V 5

(25)

Я12

Я16 =

32 — 16 }/ 3

^ 1-У

У

32+ 16 У З

1-У +

г/2 \2 2 + /2

8 У 256

Согласно равенств (25) корни отдельных многочленов можно представить в виде радикалов.

4. Пусть даны интегралы вида

Ф

Г 1 - /с2*2)« 1 . ^ 1

(х, к, а.) = \ х г =+ ¿X,--<а< —;

1 J /1 - л2 2 2

#1 (х, А, к, а) =

(1 - ууйх

(1 +Лх2)У 1-г

, А>-1,

0<*.<1, *2<1, _1<а<1, (27)

м £

и, ввиду [1], функция

2 с?-* (п (-*)-

(\ - у? = -----+ г2„ <*,) = +

У сш (а -тг + 1)т ( - )м " (1 — 2п)т

+ г2п(у) = У , Ьт (28)

1 ~ У:««

тогда по аналогии с формулами для эллиптических интегралов можно получить приближенные формулы для интегралов (26) и (27)

Ф (X, к, а) = 2 Ьт л/агс1д I л/'КЕ^ +

т—0 V ат —К V»7 ат )

+ Р2п(У); п= 1,2, ...; аг = э!п <р, (29)

Н, {х, Л, к, а) = Ри{~К1:Ни1 аг^ (УТ + А • £ «р) + Ягп (—к • Н)

+ У к2Ьт л / \ +

¿1 Iх8II/ +

+ «-1,2,...; к >•— 1, (30)

где на основании равенства (28)

=--, ШУ)\<Ъп ахсъШх, (31)

«т —(О] йу

: / | ^ ¿2пагс1я(У 1 /I•tgy>

(32)

В правых частях неравенств (31) и (32), ввиду [4], множитель Ь2п следующий:

16 (1 - ^ - .).!<■). |: <4 - Д» ■■ ■

(4 — Зу) (п-\- 1)л (п)п ц2п (у) д2п+2

ЛИТЕРАТУРА

1. В. Е. Корнилов. Система аппроксимаций Падэ для степенных функций. Изв. ТПИ т. 154, 1967.

2. В. Л. Данилов, А. Н. Иванова и др. Математический анализ (функции, пределы, ряды, цепные дроби). М, Физматгиз, 1961.

3. И. М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.—Л., Гостехиздат, 1948.

4. В. Е. Корнилов. Приложение цепных дробей к вычислению интегралов от биномных дифференциалов. Изв. ТПИ, т. 131, 1965.