CC BY
11
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА
Том 205 1972
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ БИНОМОВ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ
В. Е. КОРНИЛОВ
(Представлена кафедрой высшей математики Томского политехнического института)
В статье для ряда (1), являющегося составной частью функций Бесселя, получены приближения в виде произведения биномов. Эти приближения получены на основе цепных дробей и могут быть применены для вычисления функций Бесселя.
Оценка остаточного члена по модулю получена в комплексной
области | arg z\ ^
1. Степенной ряд
оо
oMv + l-; г) = 2
ZK
где
Г(а + к)
(о)к
Г (а)
преобразуется следующим образом:
оЛ (м + 1; z) = eln°Fl (v+1; z) = exp
\z\<N, v ^ — 1, — 2,...; , (fl)o = 1.
d [pFj (v + 1; 0]
(1)
т. e.
0F1 (v + 1; z) = exp
0Fx(v +2;t) dt
(v + l)o^(v-t 1 -,t) J
(2)
Далее заменим отношение двух рядов под знаком интеграла в равенстве (2) известным разложением его в цепную дробь ([1], стр. 136) г. представим степенной ряд (1) в виде следующего произведения:
А (v + 1; z) - ехр
P2n-,j(t)
dt
exp
- j Rin+i (t)
dt
где
P2« + 1(Z) = — j"#2« + l (t)dt,
(3)
(4)
РЛй
«1 +
V —I— 2/л
«1 = V + 1, о.2т — —!-, а2т+1 = ^ + 2да+1, т = ... (5)
*2Л + 1(*) = 2
«2к + 1
<32к-1 (О + 1 (О
(6)
Для числителя и знаменателя подходящей дроби (5) известны равенства и соотношение ([2] стр. 13, 14)
Р2п+1 (*) = 1
... -I-
(V + 2)2л _ (V + 2)3„
гп
Р2п + \ (О-
(7)
(?2я+1(0 - (Я + 1) (V + п + 1) + • • • + (7 + 1)2"+'- = ^ + 1Ь + ' ?2„ + 1 (*)•
+ 1 (?) =
1 +
22
(V + 2л 4- 1) — 1)
г2
Тгл-1(2)—
<р2я-3 (г),
(8)
(9)
(V + 2л — 2)в (V + 2л— 1)
где /72«+1 (г) и (г) = ©2/1+1 (г).
Числитель и знаменатель подходящей дроби (5) могут быть выражены явно через параметр V и переменную г, а именно:
Р 2
п+\(г) = 2
Го1
/я ^
■о (* + 2)(В0> + 2л + 2-т)1
т. —О
Сьг + Ч — т 21
о (* + 1)т(* + 2л + 2 —да),
. /г = 0,1, •••;
п = 0, 1,...
(10)
(И)
Непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости равенства (11) для п = 0,1. Предположим, что равенство (11) справедливо для <72л-з(г) и (г), тогда, подставляя значения этих знаменателей в правую часть соотношения (9), получим
1 +
22
X
X
п-1
т
(у + 2п + 1)(у + 2п- 1) _
г*
X
/п=о (V + 1)да (V + 2л —
л—2
2
С£_з _т гт
0» + 2л — 2)з (V -Ь 2я — 1) 2 /22
X
т=0 ^+1)я,(У + 2л-2-1И))в
п- 1 Птп—2
Ьп„
1 +
+ 2
2л—1—т %
=2 + 1)т (V + 2« - /л)т (V + 2я + 1)
^+1)(у + 2л+1)
X
+
т = 2
(2(2л — 2т 4- 1)(д — т)(ч + 2л + 1) ,
X <---:--г
( тут — 1)
(у + т) [(4п — Зт + 1) у + 8п2 - 8тп + Ап + т2 — 2т + 1 ] )
2
(п+ 1)2« V
тем самым тождество (И) доказано, аналогично доказывается равенство (10).
2. При V > — 1 и независимой переменной г в области
все аь ..., а2т, ... положительны и корни (¿2п+з (г) отрицательны и разделяются корнями (З2Л+1 (г) ([2], стр. 14), поэтому и ввиду равенства (8), и ([5], стр. 23, (12))
1^2/1+1 (г) | < I ?2л+з (г) | < ...; я = 0, 1,... (12)
Исходя из равенств (5), (8) и (12), нетрудно получить оценку для функционального ряда (6):
| Я2п+[ (*) | < . | Ь (у + 2п + 3)2 [(у 4- 2я + 3)2 - Н |3]-' ^ (13)
(V + 1)2л+1 (V + 1)2Л + 2|^2«+1 (¿)|2
где |*12<0> + 2л + 3)в,
А/
Относительно модуля интеграла (4), ввиду неравенства (13), можно установить верхнюю границу (см. [6], (12))
/.у, ^ \г\2п+2(у + 2п + 3)2[(у + 2п + 3)2-\г\
р2л+1 Кг) I <-:—г-гт-:—~тт-:-, ч, „
(V + 1)2я+1 (V + \)гп±2\д2п+1 (г) |
2
7Г
• О4)
Равенство (3) с учетом (7) и (8) можно представить в виде следующей суммы:
г
С Р2п + \ (0<н
(у+ \)Я2п + хЦ) ]
+ 1; г) = ехр
а. /
+
+ Гчп+х (г) = /^л-и (2) + г2л+1 (г), (15)
где
Г2п+\(г) = /^л+г (г) {ехр [р2я+1 (г)] — 1}. Нетрудно вычислить, что
\Р2п+1{г)\<\елЛ | ехр 1^(2)1,
поэтому
\г2пМ*)\<\е"*1 |ехр|Р1(2)|[ехр|р2Я+1(г)|-1]. (16)
3. Теорема. Степенной ряд (1) представляется следующим произведением биномов:
л . ь
о/7! (V + 1; г)=еь°*Т1 (1+— ) "Ч ^+1(2), (17)
т=_1 \ ^т
( п { \ 1 П 1 + —) = Ч2пи (г), Ь0 = 1
ат) (п+\){ч + п + 1)
и ат А*п + 1 (- ат)
кроме того,
аг
, п= 1,2,...;
/2—1
А2п +1 (2) = 2 -—2л'1~т -
+ 3)т (V + 2п-\-2—т)
(19)
Многочлен ц-гп-±\{г) определяется согласно равенству (11).
Верхняя граница остаточного члена по модулю устанавливается с помощью неравенств (16) и (14).
Доказательство. Применяя многочлен
М2п+1 ( 0 = —- р2п+\ (*) - \-—
V + 1 (п + + п + 1)
(20)
и равенства (7), (8) и (18), преобразуем равенство (15):
1 С „ . Г Л*2«+1
о/7, (V + 1; г) ехр
-!- Гл+ Г
(¿)
+ г2л+1 (г) = ехр / ¿>0 \ сН +
¿М-
^ з 1
+ Г2Л + 1(2),
+
а.
где
ьо =
(л + 1)^ + л+1)
йг
М2« + ' (- о
[<72„+1 (-а„)]
а также
Д (V + 1; 2) = П (1 + —У™ + Г2п+1 (г),
т = 1
а.
(21)
(17)
к тому же на основании (15) и (17) верхняя граница для |г2п+1(г)| находится согласно неравенствам (16) и (14).
Ввиду первого равенства (18) ¿72^+1 (— ат) — 0, поэтому, применяя равенство (20), получим
М2п+1(-ат) +
Ьт =
1
1
(Л+ 1)(у + Я+1) V + 1
д2п+1 (— ат)
А.
йг
]<72л+1 (— ат)\
V + 1
\р2п+л- ат) - д2п+х{ - ат)\
Л
йг
[Ч-ш+Л— ат)\
и, применяя равенства (10) и (И), получим следующее равенство
1 q2n+i(z)}--=
v + 1
П- 1
— £
CZ-X-m
zA2n+i (г)
(7 + 1)^ + 2) <У + 3)т(ч+2п + 2-т)т ^+1)2(^ + 2)
из которого следует равенство (19), а также последнее из равенств (18), тем самым теорема полностью доказана.
Коэффициенты Ьт можно вычислять и по формуле (21), тогда согласно равенствам (10), (И) и (20) вычисляем
п-1
М2п+1(г)= 2 X
т=0
X
(п - т)[(2п + 1) V + 2п2 + on + 2 - т]С?п-т гт
(2п-2т + 1)(л+ 1)(у + л+ 1)(v+ l)m + I (v + 2л + 2 — от), в частности,
v + 3
(22)
AÍ, (2) = 0, (2)
AÍ5(z) =
2(v + 4)
2(v + l)(v + 2)
(v -f 4)(5V + 19)
г,
3(v+l)(v + 3) 3(v+l)5 3(v+5) , (v+3)(7v + 34) . (v+ o)(7v + 33)22
MliZ) 4(v + l)(v + 4) ' 2(v.+ 1)4(v + 7) ' 2(v + 1)7
4. Связь между функциями Бесселя и степенным рядом (1) выражается следующими формулами ([3], стр. 138— 149), ([4], стр. 150):
■М*)= „. ,, (4-Хо^ iv~f i; -
П (х) = К,(Х) =
/, (лг) = 1
sin v-
7t
r(v+ 1) \ 2
1 / X
4
r(v+ 1) \ 2 / ° 4
[eos v-7v(x) — y_v(x)], v^O, ± 1,. [/_, (JC)-/,(*)], v 0, + 1,...;
(23)
(24)
(25)
(26)
2 sin vtc
beiv (x) — Im [Л (/ Vi
Ьег,(л:) = Re[J,(iVTx)].
Применяя формулу (17) в случае л = 1,2, получим следующие приближенные формулы для степенного ряда (1):
(27)
(28)
1 +
2 2
(V- l)(v + 3)
(v + 3)-
o/7i(v+ 1; 2) = ¿3(v+3)\ H 2+|/
1 . " V у+б-
V2 4- 6v + O
v24-6v+ 17 ^
4(v+2) +r8(z), (29) jy
X
X 1 +
v2 + 6v + 8
ч2 -j- 6v -f- 5
г +r5(z),
(30)
Ь .о =
_ (^ + 4)[(57+ 19) V V2 + + 17 ±4(v4-2)>/" v2 + 6v + 8]
18 + + 6У + 17
(31)
Для функций (27) и (28) получим приближения согласно формулам (23) и (29):
(*+3)>
Ьеь (х)
X з1п
Г(>+1)
X4
з^тг (у+З)2 . + . . . аг^
4(,+ 1)*(у + 3): л:2
8 (->+2)
[8(> + 2) 4 4(* + 2) 2 (V -)- 1)(у + 3)
X +
I т
г о г
Ьег, (х) = X соэ
Г (V 4- 1) 1,2
х2
4 1 +
(32)
(у+ЗУ
Зу~ (И 4" З)2
4^+ 1)2(7 + 3)2 х2
Ъ (4 + 2)
(N + 2) 4 4(7+2) °2(у + 1)(у + 3)_
Г />-2
Яе
X X
(33)
\ ^ / .1)
где при V = 0 и х = 2 получим
Ье10 (2) ж 0,97205 (А = 0,00024), Ьег0 (2) ж 0,75332 (А = 0ДЮ58),
Д —абсолютная погрешность.
Применяем формулы (24), (29) к функции (26) и переходим к пределу при V -> 0, в результате получим:
Ф(1) — 1п — + — [ 2 32
16 6
6х2
л) 1 '
(1) = -0,5772157,
где
4 (6 + л:
К0 (1)^0,421049 (Д = - 0,000025), К0 (2) »0,1186 (Д = - 0,0047). Применим формулу (30) к функции (24), получим при ч = 0
64 - 38 /34
(34)
X-
__64 + 38 Ум _
80
80
+ гъ
Имеем таблицу
X 'о(х) (35)
4 11,3019 11,3045
8 427,6 443,86
ЛИТЕРАТУРА
1. А. Н. Хованский. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа. М., ГИТТЛ, 1956.
2. Т. И. С т и л т ь е с. Исследования о непрерывных дробях. М., ОНТИ, 1936.
3. Н. Н. Лебедев. Специальные функции и их приложения. М., ГИТТЛ, 1953.
4. В. А. Диткин, А. П. Прудников. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М., Физматгиз, 1961.
5. В. Е. Корнилов. Приложение цепных дробей к вычислению интегралов от биномных дифференциалов. «Изв. ТПИ», т. 131, стр. 21—25, 1965.
6. В. Е. Корнилов. Применение произведения биномов для вычисления функции Гаусса. Изв. ТПИ, т. 205, 1969.
