CC BY
11
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА
Том 205 1972
ПРИЛОЖЕНИЕ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ К ВЫЧИСЛЕНИЮ Е-ФУНКЦИИ МАК-РОБЕРТА
В. Е. КОРНИЛОВ
(Представлена кафедрой высшей математики Томского политехнического института)
В настоящей статье Е-функция Мак-Роберта (1) представляется в виде 'суммы подходящих дробей и остаточного члена, для которого дана оценка в области вещественного переменного В статье применяются сокращенные обозначения
у = л*: (■...*), (а)п = а(а + \)...(а + п— 1), = 1.
Для Е-функции Мак-Роберта ([1], стр. 200)
¡¿,1 (Р.+»0...Г(|>, + »0 I х! •
параметры которой удовлетворяют неравенствам
Р1> «/»-<?+!..... Рд>ар, (2)
имеет место следующая теорема.
Теорема. Функция (1) с параметрами (2) может быть представлена в 'виде следующей р — 1 кратной суммы подходящих дробей:
гЫ-Пр*)
X V -2'Ь1ш-Ьр-ь + Ярп (X). (3)
т = I V —1
^ Я*п(Хр-х)
Коэффициенты а™., 1 — 1, ^ = 1,..., п) в равенстве (3)
имеют все положительные значения ([2], стр. 5, 24) и ввиду ([3], стр.28, (7)), ([41, стр. 23, (5)) определяются согласно равенствам
п (1 + — =*«-<*).
вц > ... > аЖп > 0, « = 1,..., р — д.
П (1 + —) = 2 ^ (р-'+*+ * ~1 )к ^ = (х), (4)
1 > аК1 > ... > аг„ >0, тс =/> — ц + 1,..., V — 1.
Ьк =
~ Рш (—
/г — 1 п—к—1 /_ 1 \п — к~ тп — 1
р2п (X) = У **+' у с )—---—7—
к = о т--= О
Ргл(—а™)
ЬЩ}. =
-=р — Я+ 1,..., Р—1; ^2(1 (х) —
(5)
ах
п — 1 /2—/С —1 / , 1 \
^Цч (а
к=0 т=0
Остаточный член йрп(х) в равенстве (3) меньше суммы 0, 1,..., р — 1 кратных сумм:
Г ("!)■■-Г К)
Г(Рх)---Г Ы
п\
2
(ах + 1 )„?,,„ {х0)д2п+\ (■*■<>)
ь1пт
Ь1т...Ьр-ч-ип\
п п
у ...у--
¡^ (аР-<1 + Х)п Чт (хР-ч-1 ) <?2я+1 (^-<7+1)
(6)
п п
р ' '/Л Ч2Л — 1/ 2/1+1
В неравенстве (6) многочлены (х) и <32/н_,(.к) и коэффициенты следующие:
<72,1+1 (*) = У С£
л:'
О («*+!)*
(7)
Рх-.-Р?
Хр-ц-1
Р^.-РлХ
(8)
а1т...ар-1
Доказательство. На основании ([ 1 [, стр. 201,(3)) и стр.72, (10),. (12)) представим функцию (1) кратным интегралом:
1
1 Г Рр-1 X
^ [^с! = у^ = —
X (1 — ^Я~аР~г М... 8*Р-Я + \~1 (1 — 5)Р1-ар-^ + 1 -1 йх X
00 со
>< г*р-я~1 е~г йг... ^ va\~l -Ь ^^ е-* Фо.
Последний интеграл равенства (9) ввиду ([5], стр. 144) и ([3]. .стр. 28) представим суммой подходящей дроби и остаточного члена:
оо
Е\х\ - 1 С®«,-^ 1 + —"р1*?-»<&;</„_, Г(а1) X
X
Ры Ы
п\
«1>1, Уг = • (10) а»
^«(Ух) (ах+ 1)л<72ЛУх)<72«+1(У1) Второе слагаемое неравенства (10) вычисляется до конца и меньше первого слагаемого неравенства (6)
/„-.ГЮл! Г (а1)...Г (а0)
У
К + 1 )л <?2„ (•*<>) (х0) 1 т'
X
(11)
Для доказательства неравенства (11) ввиду равенств (15) преобразуем ее левую часть
1Р-\П1 /Р-2Г(а2)л!
К + 1 )„ <7 2« (У1)92а-,-1 (Ух) (ах + 1)„ (у,) (>'2)
/,-2Г(аа)
Рг* (У=Тх)
/¿/?2 к-*-со
^ (у:тх) 1 + Тх;Уа
(12)
П
<
1
<
^ (УА) 1 + ^:у2 J /р_2Г(а2)/г!
— ; у 2 = — .
К+ 1)«92ЛУ2)?2Л+1(У2) а2
Для доказательства неравенства (12) получим несколько формул. 1). Расположим корни подходящих дробей в порядке возрастания Т1<..-<Т«> тогда ввиду ([2], стр. 15) и (15) Т>.>8>^ =
= 1,..., п
РгЛгп) 0<у<оо.
<Му:тО Й2К(УА)
(13)
2). Последовательности четных подходящих дробей являются возрастающими последовательностями ([5], стр. 12)
к = 1,2,..., (14)
(У) <72К + 2(У)
3). Второе слагаемое правой части неравенства (10) ввиду (4), (5), (.7) и ([6], стр. 374, (67)) преобразуем следующим путем:
П\ р2п + ) (Уг) Роп(У)
0*1 + 1)пЯ2п(У\) (У,) ?2п + 1(У1) Ч2п(У)
= 1 _ у
2
(15)
У1 Я 1 + 7x^1 53 1 + о):у1 ^ п\
+
4) Ввиду неравенств (13) и (14) получим еще несколько неравенств у ^ V
У +
<
<
У + Ух («2 - г
У
<
Р2к>2(УА)
, к= 1,2.... (16)
, в>0. (17)
У + г\*2 У 2 ~ £) Ч2К + 2 (У А)
Далее, ввиду неравенств (13), (14), (16) и (17), сумма, расположенная в фигурных скобках левой части неравенства (12), удовлетворяет неравенству
Р2К (У-'г,)
V ^
х
Л=1 1л п
-2 о
Х=1
** IX
Ит Ит
V
а-,
Ун н у
у + 8 Я2 ]
<
(18)
Х=1 п
Х= 1
у + ъМ-2 у
У + Тха2 V
У + (а2 £) У — йха2
= Р (у)
Правая часть неравенства (18) ввиду (4), (7) и (15) имеет неположительное значение
п\
Р(У) =
К + 1)„?2Л
У
Я2 п
а.,
п\
(*> + 1)Я?2„ - ) ^
<0,
(19)
поэтому, ввиду неравенств (18) и (19), справедливо также и неравенство (12).
Преобразуя аналогично вышеизложенному р — 2 кратный интеграл \Р~2 правой части неравенства (12), а также ввиду ([7], стр. 312, (9)), ([4], стр. 23, (5)) и (9), мы получим неравенство (11).
Первое слагаемое правой части неравенства (10) представим в виде суммы элементарных дробей. Интеграл от каждой элементарной дроби в свою очередь будет опять являться интегралом такого же вида, как и последний интеграл правой части равенства (9) и т. д.
Последовательное интегрирование элементарных дробей один раз и остаточных членов до конца и представление интегралов от элементарных дробей подходящими дробями и остаточными членами и опять следующее интегрирование элементарных дробей и т. д. приведет нас к формуле (3) и оценке остаточного члена согласно формуле (6), что и требовалось доказать.
ЛИТЕРАТУРА
1. Г. Бейтмен и А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции (гипергеометрическая функция, функции Лежандра). М., Физматгиз, 1965.
2. Т. И. Стилтьес. Исследования о непрерывных дробях. М., ОНТИ, 1936.
3. В. Е. Корнилов. Применение цепных дробей к вычислению некоторых видов интегралов. «Изв. ТПИ», т. 131, стр. 26—30, Томск, 1965.
4. В. Е. Корнилов. Приложение цепных дробей к вычислению интегралов от биномных дифференциалов. «Изв. ТПИ». т. 131, стр. 21—25, Томск, 1965.
5. А. Н. Хованский. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа. М., ГИТТЛ, 1956.
6. В. И. Смирнов. Курс высшей математики, т. 3, ч. 2, М., ГИТТЛ, 1953.
7. Н. Н. Лебедев. Специальные функции и их приложения. М., Гостехиздат, 295?.
