Преобразование в цепные дроби некоторых степенных рядов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО

ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА

Том 154 1967

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ НЕКОТОРЫХ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

В. Е. КОРНИЛОВ

(Представлена научным семинаром кафедры высшей математики)

В статье получены рекуррентные соотйошения для следующих рядов:

1) сумма ряда Гаусса ^ (а, Р; г) с элементом р = п, т — п преобразуется к ряду F(cL + n— l, 1; 7; г);

2) сумма ряда Куммера Ф(а; г) в случае а — я, 7 — п преобразуется к сумме ряда Ф{ 1; г);

3) асимптотический ряд функции Куммера

н = О1

в случае р = п преобразуется к сумме ряда Т7 + п— 1» *

Полученные после преобразований степенные ряды разлагаются в цепные дроби, которые можно найти в [1] и [2]. А исходные ряды представляются суммой двух многочленов, причем одна из этих сумм умножается на сумму бесконечного ряда, разлагающегося в цепную дробь.

В статье введена сокращенная запись произведения

(а)к = а(а + 1 )...(а + к - 1) = , (а)0 = I.

Г (а)

1. Степенной ряд

^(«,1; т; г)= ^ТТ"2"' ы<1' тг^о, -1-м (2)

¿Дт)«

п - О

который получается путем разложения в ряд определенного интеграла с переменным верхним пределом ([3], стр, 308):

(1 - 2)«+^

может быть разложен в цепную дробь ([1], стр. 320) F (а, 1; Т,г)= — 1

1 —

a z

— а + к— 1 )z

Т+2/С—1

и удовлетворяет соотношению

(7 + к— 1) (<x + K)Z

7 + 2/с -чч

\

F (а, 1; 2) = _(Т_1) у, -(а)" (1-2)"-

AT—I

Л=0

(5)

+

+ 1; Т; z).

(а-Т+1)к

Сумма ряда (2) удовлетворяет соотношению

T-l

а

(1 • 2) F (а-|- 1, 1;Т;2), (6)

а — у + 1 а—7+1 так как коэффициент при г* в правой части равенства

« (а + 1 )* (а + 1)^1

а-7+1 I. (т)* (Т)*-!

= а(а4-Пк-1 [а+к)-(7 + к— 1)] _ (а^

(а-7 + 1) (Т)к ~(Т)/

Равенство (5) при к= 1 совпадает с соотношением (6). Предположим, что справедлива формула (5), тогда, заменяя /^(а + ку 1; 7; г) по формуле (6), получим:

к— 1

^(«.1; т; 2г) = -(т-1) V/

+

+

(a-Tf+Die а + к а—т+лг + 1

= — (Т — 1) 1

л=0

(l-z)*

Т-1

(1 - 2)" +

+ (

а — f +

(1 -z)/7(a+«+ 1, 1; у, z) J

+

я=0

7 + 1)*

(1-2)" +

+ 1

1

(l-z)"+» f (а + к+1, 1; т; Z),

(а- Т + 1)«+1 чем подтверждается соотношение (5). Аналогично можно рассмотреть свойства сумм рядов

СО 2П

(Г)п

F(a> 1;; |z|>> л = 0

(7)

которые можно преобразовать соответственно к неполной гамма-функции и функции Прима ([4], стр. 110), разложения которых в цепные дроби известны ([2], стр. 301), а именно:

Ф(1;1;2) =-.--

1 -

Т—\

кг

Р а. 1

Т + 2/с

1 \ 1

(9)

1 +

а

+

к

1 +

а -¡- к

(10)

Сумма степенного ряда (7) удовлетворяет соотношению:

к—\ 2п 2К

Ф(1; т; г) = + __ Ф(1;Т + /е; г).

¿-1(7)« (Т)«

л —0

(П)

Сумма асимптотического ряда (8) удовлетворяет соотношению:

п = 0

Равенства (11), (12) легко проверяются путем подстановки рядов (7), (8) и сравнения коэффициентов при одинаковых степенях г в левой и правой частях рассматриваемых равенств. 2. Если к следующей функции ([3], стр. 308):

Г (а, я; у; г) =

(13)

стоящей в правой части равенства, применить равенство (5), то получится

Р (а, П; г) =

¿и (1)л-1

(а + /г — Аг)*_г

л-1

т-0

+

(1 — 2Г)*-1 /Ча + л- 1,1; т; г)

(а — т + /г —/с+1 После раскрытия скобок получим:

Р (а> п; 7; г) =

- т -11 Л ¡V? (' + 1— (1 - *)« +

п-хЬ п '¿¿(а-т + л-*-

(1)

к-=2

/71=0

, (а)»-, " (1-п).-,(1 -а)к-г /?(а+га-1,1;т; 2).

К-1

2. Заказ 6064

17

Ряд /^а + л—1, 1;у; г) теперь может быть представлен цепной дробью (4). Гипергеометрический ряд .Р(а, у — п; у; г) ввиду известного соотношения ([5], стр. 319)

(а, у-я; у; = п; Т; г) (15)

и формулы (14) также может быть выражен посредством цепной дроби (4).

3. После последовательного применения известного рекуррентного соотношения ([5], стр. 334)

ф (Л; т; г) = ф {п _ 1 - т _ !. г)_ ф (п „ 1 г) (1б) /г — 1 п — 1

получается

Ф(п; у; =

+ »<';?-" + '+*'>• (17)

к = 0

К функции, расположенной в правой части равенства (17), применяется равенство (И):

/«✓_л —1 (_1 \л; ГЛ—«-2

Ф (га; 7; г) — (Т я)" VI Ск , ( V -5-

+

К = 0 т-0

—К — 1

+ ^-гтт^-ф(1;т;

Раскрывая скобки, окончательно получим

/у_ /7 \ л-2 п—к—2 ^ггс

(1)«-1 • 2а (т —я+*)я+1

/я=»0

1 "Г.1

(18)

+ 77— V ^(-ПЧт-л)^"-"-1 Ф( 1; у; г),

лг=0

где Ф(1; у; г) разлагается в цепную дробь (9).

Ряд Ф(у — п; у; — г) ввиду известного соотношения ([5], стр. 334) Ф(у — п; у; — г) = е~гФ(п; у; г) (19)

такке представляется цепной дробью (9).

4. Сумма асимптотического ряда Т3* ^ —^ удовлетворяет

рекуррентному соотношению

-(а-л+1)/7 (а, Л-1;; -1-),

так как коэффициент при г~к в правой части равенства (а)«+1 (/г— 1)к (а—П + 1)к

(1), ^ (О* (1)«

что и доказывает справедливость этой формулы.

(20)

После последовательного применения ,соотношения (20) получим

1; 1;^). (2.)

Применяя равенство (12), имеем

1 ^ {*~К)п

«=-0 /71=0

• (, + „-«-!)/ +Л_ ■ . М1

Л * /_

После раскрытия скобок получается:

«»^ = ттг- V(-1)" V (а~к):+т-' +

+

/77 = 0

О

/где асимптотический ряд ^ (а + " — 1; 1» — ) может быть представ-

лен цепной дробью (Ю).

* *

ЛИТЕРАТУРА

1. А. А. М а р к о в. Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории функций наименее уклоняющихся от нуля, М.-Л., Гостехиздат, 1948.

2. В. Л. Данилов, А. Н. Иванова и др. Математический анализ (функции, пределы, ряды, цепные дроби), М., Физматгиз, 1961.

3. И. М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, М.—Л., Гостехиздат, 1948.

4. Е. Янке и Ф. Эмде. Таблицы функций, М., Физматгиз, 1959.

5. Н. Н. Лебедев. Специальные функции и их приложения, М., Гостехиздат, 1953.