ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО
ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА
Том 154 1967
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ НЕКОТОРЫХ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
В. Е. КОРНИЛОВ
(Представлена научным семинаром кафедры высшей математики)
В статье получены рекуррентные соотйошения для следующих рядов:
1) сумма ряда Гаусса ^ (а, Р; г) с элементом р = п, т — п преобразуется к ряду F(cL + n— l, 1; 7; г);
2) сумма ряда Куммера Ф(а; г) в случае а — я, 7 — п преобразуется к сумме ряда Ф{ 1; г);
3) асимптотический ряд функции Куммера
н = О1
в случае р = п преобразуется к сумме ряда Т7 + п— 1» *
Полученные после преобразований степенные ряды разлагаются в цепные дроби, которые можно найти в [1] и [2]. А исходные ряды представляются суммой двух многочленов, причем одна из этих сумм умножается на сумму бесконечного ряда, разлагающегося в цепную дробь.
В статье введена сокращенная запись произведения
(а)к = а(а + 1 )...(а + к - 1) = , (а)0 = I.
Г (а)
1. Степенной ряд
^(«,1; т; г)= ^ТТ"2"' ы<1' тг^о, -1-м (2)
¿Дт)«
п - О
который получается путем разложения в ряд определенного интеграла с переменным верхним пределом ([3], стр, 308):
(1 - 2)«+^
может быть разложен в цепную дробь ([1], стр. 320) F (а, 1; Т,г)= — 1
1 —
a z
— а + к— 1 )z
Т+2/С—1
и удовлетворяет соотношению
(7 + к— 1) (<x + K)Z
7 + 2/с -чч
\
F (а, 1; 2) = _(Т_1) у, -(а)" (1-2)"-
AT—I
Л=0
(5)
+
+ 1; Т; z).
(а-Т+1)к
Сумма ряда (2) удовлетворяет соотношению
T-l
а
(1 • 2) F (а-|- 1, 1;Т;2), (6)
а — у + 1 а—7+1 так как коэффициент при г* в правой части равенства
« (а + 1 )* (а + 1)^1
а-7+1 I. (т)* (Т)*-!
= а(а4-Пк-1 [а+к)-(7 + к— 1)] _ (а^
(а-7 + 1) (Т)к ~(Т)/
Равенство (5) при к= 1 совпадает с соотношением (6). Предположим, что справедлива формула (5), тогда, заменяя /^(а + ку 1; 7; г) по формуле (6), получим:
к— 1
^(«.1; т; 2г) = -(т-1) V/
+
+
(a-Tf+Die а + к а—т+лг + 1
= — (Т — 1) 1
л=0
(l-z)*
Т-1
(1 - 2)" +
+ (
а — f +
(1 -z)/7(a+«+ 1, 1; у, z) J
+
я=0
7 + 1)*
(1-2)" +
+ 1
1
(l-z)"+» f (а + к+1, 1; т; Z),
(а- Т + 1)«+1 чем подтверждается соотношение (5). Аналогично можно рассмотреть свойства сумм рядов
СО 2П
(Г)п
F(a> 1;; |z|>> л = 0
(7)
которые можно преобразовать соответственно к неполной гамма-функции и функции Прима ([4], стр. 110), разложения которых в цепные дроби известны ([2], стр. 301), а именно:
Ф(1;1;2) =-.--
1 -
Т—\
кг
Р а. 1
Т + 2/с
1 \ 1
(9)
1 +
а
+
к
1 +
а -¡- к
(10)
Сумма степенного ряда (7) удовлетворяет соотношению:
к—\ 2п 2К
Ф(1; т; г) = + __ Ф(1;Т + /е; г).
¿-1(7)« (Т)«
л —0
(П)
Сумма асимптотического ряда (8) удовлетворяет соотношению:
п = 0
Равенства (11), (12) легко проверяются путем подстановки рядов (7), (8) и сравнения коэффициентов при одинаковых степенях г в левой и правой частях рассматриваемых равенств. 2. Если к следующей функции ([3], стр. 308):
Г (а, я; у; г) =
(13)
стоящей в правой части равенства, применить равенство (5), то получится
Р (а, П; г) =
¿и (1)л-1
(а + /г — Аг)*_г
л-1
т-0
+
(1 — 2Г)*-1 /Ча + л- 1,1; т; г)
(а — т + /г —/с+1 После раскрытия скобок получим:
Р (а> п; 7; г) =
- т -11 Л ¡V? (' + 1— (1 - *)« +
п-хЬ п '¿¿(а-т + л-*-
(1)
к-=2
/71=0
, (а)»-, " (1-п).-,(1 -а)к-г /?(а+га-1,1;т; 2).
К-1
2. Заказ 6064
17
Ряд /^а + л—1, 1;у; г) теперь может быть представлен цепной дробью (4). Гипергеометрический ряд .Р(а, у — п; у; г) ввиду известного соотношения ([5], стр. 319)
(а, у-я; у; = п; Т; г) (15)
и формулы (14) также может быть выражен посредством цепной дроби (4).
3. После последовательного применения известного рекуррентного соотношения ([5], стр. 334)
ф (Л; т; г) = ф {п _ 1 - т _ !. г)_ ф (п „ 1 г) (1б) /г — 1 п — 1
получается
Ф(п; у; =
+ »<';?-" + '+*'>• (17)
к = 0
К функции, расположенной в правой части равенства (17), применяется равенство (И):
/«✓_л —1 (_1 \л; ГЛ—«-2
Ф (га; 7; г) — (Т я)" VI Ск , ( V -5-
+
К = 0 т-0
—К — 1
+ ^-гтт^-ф(1;т;
Раскрывая скобки, окончательно получим
/у_ /7 \ л-2 п—к—2 ^ггс
(1)«-1 • 2а (т —я+*)я+1
/я=»0
1 "Г.1
(18)
+ 77— V ^(-ПЧт-л)^"-"-1 Ф( 1; у; г),
лг=0
где Ф(1; у; г) разлагается в цепную дробь (9).
Ряд Ф(у — п; у; — г) ввиду известного соотношения ([5], стр. 334) Ф(у — п; у; — г) = е~гФ(п; у; г) (19)
такке представляется цепной дробью (9).
4. Сумма асимптотического ряда Т3* ^ —^ удовлетворяет
рекуррентному соотношению
-(а-л+1)/7 (а, Л-1;; -1-),
так как коэффициент при г~к в правой части равенства (а)«+1 (/г— 1)к (а—П + 1)к
(1), ^ (О* (1)«
что и доказывает справедливость этой формулы.
(20)
После последовательного применения ,соотношения (20) получим
1; 1;^). (2.)
Применяя равенство (12), имеем
1 ^ {*~К)п
«=-0 /71=0
• (, + „-«-!)/ +Л_ ■ . М1
Л * /_
После раскрытия скобок получается:
«»^ = ттг- V(-1)" V (а~к):+т-' +
+
/77 = 0
О
/где асимптотический ряд ^ (а + " — 1; 1» — ) может быть представ-
лен цепной дробью (Ю).
* *
ЛИТЕРАТУРА
1. А. А. М а р к о в. Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории функций наименее уклоняющихся от нуля, М.-Л., Гостехиздат, 1948.
2. В. Л. Данилов, А. Н. Иванова и др. Математический анализ (функции, пределы, ряды, цепные дроби), М., Физматгиз, 1961.
3. И. М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, М.—Л., Гостехиздат, 1948.
4. Е. Янке и Ф. Эмде. Таблицы функций, М., Физматгиз, 1959.
5. Н. Н. Лебедев. Специальные функции и их приложения, М., Гостехиздат, 1953.