Приложение цепных дробей к вычислению интегралов от биномных дифференциалов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО

ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА

Том 131

1965

ПРИЛОЖЕНИЕ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ИНТЕГРАЛОВ ОТ БИНОМНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ

В. Е. КОРНИЛОВ

(Представлена научным семинаром кафедр высшей математики и инженерно-вычислительной математики ТПИ)

В статье используются параметры 7 > 1, т > а > 0, г > 0, 0 < в < 1, 0<С<1; г — комплексное переменное. Вводится обозначение

(а)л = а(а+1)...(а+А- = (а)0 = 1.

Г (а)

1. Академиком А. А. Марковым ([1], стр. 320) для гипергеометрического ряда /^(а, 1; у; —г) было получено следующее выражение в виде цепной дроби:

где

Я -- /С

(Т 1)!(т + 2к -2) 1

— 1 ? «о^ — ---!---- • - у

(т)к-1(а)« 2

а2/с+1--;-----, «=1,2,... (1)

(т — а)к'

Для знаменателей подходящих дробей с четными индексами известно рекуррентное соотношение ([2], стр. 14)

(Ък+2 (г) = ( а2к4-2 а2,-и + ЪЩ + I ) (г) - (г). (2)

Далее предполагается, что

= —, ¿=1,2,... (з)

После непосредственного вычисления цепной дроби (1) убеждаемся, что равенство (3) справедливо при к= 1, 2. На основании метода математической индукции нетрудно установить, что если многочлены

21

будут удовлетворять соотношению (2), тогда они будут справедливы и для к = 3, 4,...

На основании (1)—(3) получается

(Т + 2£-1)(т + 2 к) 1

<32*+2 (г) =

(Т + А-1)(а + А)

+

¿(т-я-[-&- 1)(т + 2А!) (т +£-!)(«+ *)(7 + 2Л-2)

+ 1

2 с,

л = 0

п (Г + Й- 1)я

6-1

_^(т — « +1)(т + 2ф_усп 1

(Г + к - 2)„

_1_

2"

1

к—2

= 1 + %Ск

л-0

„ + 1)„

(а),

»л 4-Х

(Т + 26—1)(7 + 26) (ТН- к — 1)(<Н- А)

(А — л)(т — а+й- П(Т + 2Л) , (¿-я)(т + Л + я- 1)

1--

-Ь

(а + я)(у + £ — !)(« + £) ' (л+1)(а + л) (Т + - 1)(т + 2А) к (Т + Л)*_2 , (Т + к - 1),

+

(я +

А: (Т - а + к - 1)(Т + Шч +

А--2

= 1 4

Си

(а + к)(л)к

п (т + к—\)п

-г •+

(Т +

2й ' (а)й+1 2к+>

1 (т + к + п-\){к + 1)(т + л4-А)

п -О

(¿ + 1)

»л+ 1

(Т + к)к

(а)й

/с-И

л-0

-I-

(я + 1)(Т+ к- 1)(а + я) (Т+*)*+! 1

г* (а)«+1 (Т + к)я 1

,!< -!- 1

(«)л

тем самым равенство (3) доказано.

Далее согласно (2) получим числитель Р->к(г), который преобразуется следующим образом:

Рч-и (г) = У с

п (1 + к-\)п

п = 1

= с

, 7 +

+ С2

+ С

2 (т

ш-0

1)2

(«Ь

+

" 1 а 1 , (а)3 1

(«)з Т 22 (Т)2 2 _

с,_(т + Й-1), г 1

*К~ I

■1 (а)ь-

(т)

к-1

(Т + А— 1)я+т (а),

л = 1 /и—О

/я

Учитывая равенства (1), (3) и (4), окончательно получаем

Рги (*)

/=■(«, 1; т;

1 к — п

—2 с" ■уП ¿А

-\-1tl

1)'

1 т-0

С2 2Л(г) (Т + £ — 1)я+ (а + /н)„(т)т

/с

2 е*

Я(ТЧ-Л-1)Я 1

f (2),

2я

я-0 («)»

+2)| <71, к=1, 2,....

(5)

2. Так как предел отношения последующего коэффициента ряда 1; 7; — г) к предыдущему при 7 > а > 0 стремится к единице слева, то ввиду ([2], стр. 5, 24) все корни многочлена <22а (г) располагаются в интервале (—ос, —1), то есть

к тому же

<2** (2)= + = оо > ах >...> > 1 = аЛ-+1,

Ъ,

(6)

<з

2«+2(г)= П(1

/2-1

ОО

(7)

Ввиду того, что корни многочлена 0.2и(г) расположены между корнями многочлена Ц2], стр. 14), то

а0 = со > Ь1 > ах >.„> > Ьк+Х > 1 = ак±и Далее преобразуется многочлен (3)

(8)

(Т + Л-1),

7«2

г"

О к'

п = о

(а + к - /г)д

(Т + 2А — 1 — л)я

(г+ ¿-1)* 1

причем наряду с формулами (6), (7) и (9)

А + 1

а.

^ + 2(2) = П 1+ —

Л-Л Ьп

(9)

(10) (П)

Исходя из формул (8) — (11), нетрудно сделать следующие выводы :

при /?е(г)>0

1 + — < 1 +

ап-1 ьп

, п= 1,2,..., А+1,

(12) 23

при — 1 < Яе (г) < 0,

, п= 1, 2,..., £ + 1,

2 1 г

1 -- <

ап

+ 2)! < |?2К+2(г),,...;

при — N < (г) < — 1

(г)-1т (г)| < [92,с+2(г)|,.... Если ввести функцию

1 для 0</?е(г)<4,

(14)

(г) = 1 + 2 для - 1 < Ие (г) < О, Яе [ ] < - 1

(15)

I 1т (г) для — N < Яе (г)< — 1, то неравенства (.12)-—(14) сведутся к следующим:

\Я2к-т2 (г) - з (г)[ < 1^+4(2)1,...; — N < Яе (г) < 4. Далее согласно (1), (9) и (16) получается

(16)

|я2« (2)| < 2 г

(Т-а)„й!(а)га.|2|2«

2я

1 (т)2л (т + Я - 1 )/. ¡92« 2(2)| 2я

<

<

(Т — а)« (п— 1)!(«)п

о (г)

2п—2к

Нетрудно проверить, что у полученной бесконечной суммы отно

шение последующего слагаемого к предыдущему меньше поэтому

4З(2)

(2)1 <

8|о(г)|

1 (Т_Я)Л(Л_1)!

|4с (2)р _ |2|2 Ю2А(2)|2 (а)й(т)к-1

А^ < (г) < 4,

4о (г)

< 1.

(17)

3. Интегралы / выражаются посредством гипергеометрической функции ([3], стр. 308)*

/ =

1

{а +

1

ш*Э

а

г>0, 0< 6 < 1, 0С<1. Учитывая (5) и (18), получаем:

о

^ ЬгГ) аг©

Г\Ьг'} ¿о " (в + ; + т)„(1 + в),

¿0 к(в + :)п\Ьг'I

ггв(а + ЬгГУ [ЬгТ

Г, -/с

агв \ а

Если учесть аналитическое продолжение гипергеометрической функции в смежности с точками (--~)г и со ([3], стр. 308), полу

чаем также

а

(- Ь)*г

р» 1-^-1

а

а \г Ь

«"' 1 В{вг,)-г-{а+ЪгГ)'

(— Ь)н г

аг

а

= 9

а

1 н-

+

(20 У

а

в (в, 1 - е - д - г'*-1 (а + г^)"-1 м

а

Ьгт

Ь«г

а--.6(0,1 — 0-0 +

Ь»г

Ьг (1 - в - С)

2Л

а

Ьгг

+

Я

а

2 к

Ьг'

,« = 1-0, г = 2-е-:, 0 + ;<1.

(21)

В равенствах (20) и (21) подходящие дроби вычисляются согласно формуле (5), а оценка остаточных членов по модулю производится по формуле (17).

ЛИТЕРАТУРА

1. А. А. Марков. Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории функций наименее уклоняющихся от нуля. М.—Л., Гостехиздат, 1948.

2. Т. И. С т и л т ь е с. Исследования о непрерывных дробях. М., ОНТИ, 1936.

3. И. М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.—Л.?, Гостехиздат, 1948.