CC BY
15
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО
ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА
Том 131
1965
ПРИМЕНЕНИЕ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ К ВЫЧИСЛЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ВИДОВ ИНТЕГРАЛОВ
В. Е. КОРНИЛОВ
(Представлена научным семинаром кафедр высшей математики и инженерно-вычислительной математики ТПИ)
В статье применяются параметры «> 0, 0, я- > О,
/• * b с = а oí, © = arc tg — »
а
где
а = cos ср, 6 = И sin о, 0 < <р < — • (1)
2
Вводится обозначение
Q*)k=i(i +1)... (A + k~\)= r(Ty;+fe) , Wo = i.
I (>o
Рассмотрим применение цепных дробей для приближенного вы-
со
числения^интегралов вида / = j¿т-1 ct dt.
После n-кратного интегрирования по частям получим
ОО /2 — 1 , . ч
I - [ tr~1 e~ct dt = хт в"сх ^ (-1)* +
-i k -0 (cx)^x
откуда при n—> oo получается ряд для I
ОО СО / -< ч
/= Г ¿т-' e-ctdt = хте~с*У (—1)*
х ft-0
XTe"fA Л1-7. - — I' И»1'
сх \ сх
к тому же нетрудно проверить, что
FÍ 1-т. --Ь 1 - -bl + ^Ътк F (зт, _ _L
сх / (сх) (сх)2 \ сх
По отношению к ряду — Г[3 — у, — — ^ соответствующая цеп-
сх \ сх I
ная дробь ([1], стр. 229) следующая ([1], стр. 301, 269): 26
/= I е~с( М = хт е~сх —( 1 — ---
сх сх
(1 -Т)з
сх
" Ру, (сх)
+ (СХ)
ХТ е-сх р2к (сх)
где
Рп (сх)
1
(сх)~ Чгк(сх)
Л-Г2к И),
{сх) = ^
Яп(сх) а! + ... + а„
20
&2я -1-2
О-гпкы) Я2п+2(сх)
([2], стр. 34),
(£—1)!
а1 == сх, а2л = - , =
(3—'Т)а
(3 т)* с*; £ = 1, 2,...
Л!
(2)
Для знаменателей подходящих дробей с четными индексами известно рекуррентное соотношение ([2], стр. 14)
02А + 2 (СХ) = Ы + 2*2к + 1 + 1) <1М{СХ) ~ ^^ (¿2!г-2 (СХ). (3)
■2к
а г
2 к
Далее предполагается, что
^ (3—т)я
(4)
я- О
После непосредственного вычисления цепной дроби (2) убеждаемся, что равенство (4) справедливо при 2. На основании метода математической индукции нетрудно установить, что если многочлены (4) будут удовлетворять соотношению (3), тогда они будут справедливы и для к=3, 4, ...
На основании (2) —(4) получается
^_ , к , Л у сп (сх)п _
-Т+Л З-т+А ' / ¿0 * (3 — т)„
(¿2к-\-2(сх) =
= 1 +
к усп_ {сх)" 3-Т+Л * 1 (З-т)я
(г*)* (гх)**1
+
(сх)
3- Т + Л (3-т)А-1 (3-ТЬ-Ы (3-7),
(сху
(сх)п
(3-7)^-1 ^ (3—т)я-1
1 /->л . к - Ой»
сГ1 +
3—7+ к
п
(2-т + л)(3-т + Л)
С л—1 £-1
/1=1
(сх)»+1 = с„ {сх)*
(З-тЬ+1 *+1 (3—т)я
тем самым равенство (4) доказано.
К тому же ввиду (2) числитель Р2к (сх) будет следующий:
^<«>=2 с*тёг2
п ■— I ТП-О
Далее, после применения равенств (2), (4), (5), вычисляется и преобразуется числитель Рги(сх)'-
Pik (сх) = (1 - т)2 Рги (сх) + (сх — 1 -Ь v) Q2* (сх) = /1 ^ V г» V (~Dm(cx)a+l~m
= (1-Т)22 7ГГ
л-о т-о (1 ' V ; '«)« сх 1
Ci
(1-тЬ {а
■ {cxf
(1
1/2
сх 1
...+ с;
. (1 —т)з (2-7)2 3-7 (сх)к+1
(1—Т)« + 2
... + (-1)'-1
2—i+k
К-Л
к1 п рт / iwTl-n-m
Учитывая равенства (2), (4), (6), получаем
со
/ = j ¿т-1 e-ct dt =
(6)
К + 1
AC-t-1 — И
Cf (-D--+1-«
'о (2-';+k—n—m)n+i
Ъ
С.
п (сх)
пл-2
п-0 Т)л
+ г2А(с*), к= 1, 2, ... . (7)
Далее согласно (2) и (4) и ввиду < ^2к-Г2(сх)\ ([2], стр. 14)
вычисляется остаточный член Я2к(сх) по модулю
Iя2* (сх) | < 2
я!
|(3 —7)n + l Q3n (С*) <?2« + 2 («)
<
<
kl
2 2 (2
<
<
(3-7)k-i IЯ*к(сх)\3£*0 ^ V к)г! , k\ ^ 1 k\
(3—7)k-i |Q2ft («)j2 ^о (2-7+ä + «)2 (3-7), ¡Q2ä (сх)Г-или ввиду (2)
1^24 («)| <
(I— '¡)2k\ \х^е~сх\ сх\Ч3-7)*
(8)
Аналогичная оценка остаточного члена была получена Марковым А. А. (3) только в случае вещественного переменного ax = z> О (¿=0, с = а).
После отделения вещественной и мнимой частей интеграла (7) получаются формулы для вычисления нижеследующих интегралов:
00 AC -U ЙГ)
| ¿т-1 е-«* cos bt dt~ ^ "У J; + Re [r2k (cx)], (9)
а также
где
CO _ я Г\
f /т-1 e-at sin bt dt = — ~-- — Im [r2k [ex)}, (10)
A" 15"
JL \г\пЛ-2 гпл 2
л==2 с" ^ cos {п +2) (11)
п= О w Пп
к \r'n-:-2 уп+2
sin (л+ 2)в, (12)
п-= 0 i)«
у cos (д? - Ьх) С? ( - 1 ^
á á (2-Т+Л—Л—/и)л+1
á IT"*-" ^о (2-7'
Остаточные члены формул (9) и (10) могут быть оценены на основании формулы (8), так как
\Re [r2k(cx)\\<;[r2k (cx)I
и
\Im [r2k(cx)]\^\r2k(cx)\.
Путем последовательного применения рекуррентных формул ([4], стр. 211) к интегралам (9) преобразуются следующие интегралы:
Л = 1 е~ах cos (bx—n®) dx=
xV\-n-i-K cos [(ft ? + ьх) +
к-0 И
, (Т]„
е-ах cos bx ¿x^
\c\n
J JCT-n-l e-ax cos ay) dx —
(—l)*|c|* 0 (-Т+Л—A)k + 1
= — У--—Í-L-LJ-Xi~n+K cos [(/i— k) О + 6x] -f
+ (—1)"—f ^T-íe-^cos bxdx. (16)
(1-T)„
Для доказательства соотношения (15) от его правой части берется производная
ÚLL = е-ах У (т+я—k)k хГгП_^к {а cos + + щ +
dx \с\к+1
+ sin [(k + 1 — /г)ср + 6л-]}-
-е-ах у {jJJL-1-fy+ixi+n-K-i cos uk 1 _ n\ ? + bx 1 -f
+ e~ax cos bx.
\c\n
На основании (1) выражение в фигурных скобках равно jcicos \(k — п) о + bx], далее последние два слагаемых сокращаются и затем выделяется первое слагаемое первой суммы и вводится индекс m~k— 1
d—L = е~ах cos __
dx
п-2
V у -1--— /г) ^ -}- ¿-г]
Ит"и
— е-«' + ^ к)к ] ] cos [(Л + 1 — П) <? -f 6jc]
N = л:7+л-1 g-ял- cos (bx _
Формула (15) доказана.
Аналогично доказывается соотношение (16).
ЛИТЕРАТУРА
1. В. Л. Данилов, А. Н. Иванова и др. Математический анализ (функции, пределы, ряды, цепные дроби). М., Физматгиз, 1961.
2. Т. И. С т и л т ь е с. Исследования о непрерывных дробях. М., ОНТИ, 1936.
3. А. А. Марков. Избранные труды по теории непрерывных дробей и теории функций наименее уклоняющихся от нуля. М.—Л., Гостехиздат, 1948.
4. И. С. Г рад штейн, И. М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., Физматгиз, 1962.
