Приложение цепных дробей к вычислению неполных функций Гаусса и Куммера Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. С. М. КИРОВА

т. 245 1975 г.

ПРИЛОЖЕНИЕ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ К ВЫЧИСЛЕНИЮ НЕПОЛНЫХ ФУНКЦИЙ ГАУССА И КУММЕРА

В. Е. КОРНИЛОВ

(Представлена кафедрой высшей математики)

В статье рассматривается вопрос о представлении неполных функций Гаусса и Куммера суммой подходящей дроби и остаточного члена. При этом остаточный член по модулю меньше модуля разности двух соседних подходящих дробей в соответствующей области комплексного переменного 2.

1. Функции Гаусса и Куммера (асимптотический ряд) представим следующими интегралами:

Р; ■>: +

1 (т)

г

= [ (1 - О1"^1 (1 - ¿г)- Р > 0, т > Р- С1)

О

ОС

в у) =/, + /2= ^ е~'( \ - (: а > 0. (2)

о

По аналогии с неполными бета- и гамма-функциями назовем неполными функциями Гаусса или Куммера соответственно интегралы (1) или (2), если один из постоянных пределов интегрирования заменить переменным пределом интегрирования х (0 < х < 1 или 0 < х < < +

2. Интегралы (1) и (2) с помощью переменного предела х представим соответственно суммой интегралов У2 и 1Ъ /2) полученные интегралы преобразуем и окончательно имеем:

ОО ОЭ / х

2 апг» = V ; ^ (Р -I «; р + 1 - Т; 3 + л + 1; х) X X х"г"- 0<х<1, т>р +1, а < 1.

(3)

' = ±-^-X

- ^ (т-р + п).п\

X /=\т - р + п, 1 - р; т - р + п + 1; 1 - *) (1 - х)" г" (г - 1-)-«; 0 < х < 1, р> 1, а<1.

00 00 / 0\

п=О п=0 л!

0<х<+сю, р<1. ^ X1

¿а+я_1 е-х1 ¿1

"о

\ п

(1

.Ж

^ п\

00

/2 -р =2

/2 = 0

00 * г* /

\е-( Р 1

. ч) 0 \

а—1

сН

(2 - *)-»;

(6)

/2=0

0< X < + оо,- р < 1.

На основании равенств (1) —(6), теоремы ([1], стр. 211), а также ([2], стр. 226; [3], задача 1220) определители

&р... ар+т_1

(1р . . . 1

(¿р+т—1 . . - ^

/?, т = 1, 2,...

положительны. Поэтому степенные ряды (3) — (6) представляются каждый суммой подходящей дроби к остаточного члена, который по модулю меньше модуля разности двух соседних подходящих дробей, и эти оценки справедливы соответственно в следующих областях комплексного переменного 2 [4]:

Яег, Яе

г — 1 / \ г

При установлении пределов изменения параметров функций Т7 в равенствах (3), (4) необходимо так подобрать значения параметров, чтобы в предельном случае (л; = 1 или х = 0 соответственно) эти функции монотонно убывали с увеличением индекса п [4].

Например, для функции Т7 ряда (3) имеем ([5], сто. 374, (67)

^ + Р + 1--П Р + . + 1: 1)- ■

Г (1)1 (у + п) п -= 0, 1, 2,.. монотонно убы-

Г(р

п

Последовательность

■ Г(т + ")

вает только в том случае, если у>Р+1. Для формулы (4) этим условием является неравенство Р>1.

ЛИТЕРАТУРА

1. И. П. Натансон. Теория функций вещественной переменной. М., Гостехиздат, 1957.

2. В. Л. Д а н и л о в, А. И. И в а н о в а и др. Математический анализ (функции, пределы, ряды, цепные дроби). М., Физматгиз, 1961.

3. И. В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. М., Гостехиздат, 1957.

4. В. Е. Корнилов. Приложение цепных дробей к вычислению обобщенных гипергеометрических функций. Изв. ТПИ, т. 205, 1972.

5. В. И. Смирнов. Курс высшей математики, том 3, часть вторая. М.3 Гостехиздат, 1953.