Вычисление гамма-функции при помощи цепных дробей Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. С. М. КИРОВА

ВЫЧИСЛЕНИЕ ГАММА-ФУНКЦИИ ПРИ ПОМОЩИ ЦЕПНЫХ

ДРОБЕЙ

В статье получено обобщение известных формул, представляющих функции ^(1+2) и 1пГ\1 + г) степенными рядами. Бесконечные степенные ряды, входящие в состав этих формул, представляются цепными дробями с положительными членами звеньев. Если эти степенные ряды заменить суммой подходящей дроби и остаточного члена, то тогда модуль остаточного члена меньше модуля разности двух подходящих дробей, индексы которых отличаются на целое нечетное число. Эта оценка справедлива в некоторой области комплексного переменного г.

1. Если в равенстве ([1], стр. 60)

т. 245

1975 г.

В. Е. КОРНИЛОВ

(Поедставлена кафедрой высшей математики)

(1)

• »

г\<к,

(2)

00

+ 2 И < к,

где

(3)

Интегрируя равенство (2), находим ([1], стр. 30, (1)

(4)

00

После потенцирования получим

А--1

Л=1

П

>z : п

ехр

ос

V

(— 1)" к)

п

В равенстве (5) г заменим на—г и разделим его на новое равенство, затем применим тождество ъг = Г (1 + г) Г (1 — z) sin ъг и после элементарных преобразований окончательно получим

X ехр

V 1 V Sin T.Z V n

~ Z2H + 1 I

>z:n

X

(6)

z\<H, H= 1, 2.

При к ^ oo имеем

^ + = /fx

г: я

в правой части равенства (7)

|г| < оо. необходимо

(7)

перейти

При г = 1, 2,.. к пределу.

Степенной ряд в равенстве (5) представляется цепной дробью с положительными членами звеньев [2, 3] и для пего остаточный член по модулю меньше модуля разности двух подходящих дробей, разность индексов которых равна нечетному числу, в области Rez^Q [3]. Аналогичная цепная дробь может быть получена и для степенного ряда (6) ([4], задача 1220) здесь соответствующая опенка остаточного члена имеет в области

Представления функций, аналогичные равенствам (2), (4) — (6), можно получить для гиперболических и тригонометрических функций, логарифмов этих функций и для интегралов от любой из перечисленных функций и для интегралов от произведения любой из этих функций на различные степени переменной интегрирования. Полученные при таком преобразовании степенные ряды представляются цепными дробями с положительными членами звеньев, и для них справедливы аналогичные оценки остаточных членов по модулю.

2. Обобщенная дзета-функция Римана (3) представляется интегралом от тригонометрических и гиперболических функций [2], поэтому здесь уместно будет кратко изложить вопрос о применении цепных дробей к вычислению тригонометрических рядов.

При разложении тригонометрического ряда по степеням eix или e~ix его можно рассматривать как обыкновенный степенной ряд. Такой ряд почти всегда можно или непосредственно представлять цепной дробью с положительными членами звеньев, или представить несколькими суммами бесконечных рядов, каждый из которых представляется цепной дробью с положительными членами звеньев. Исключением являются тригонометрические ряды, у которых коэффициенты содержат множителями функции вида sin пcos пл. Однако и такие ряды преобразуются в конечное число сумм бесконечных рядов, обладающих указанным выше 60

свойством, если тригонометрические функции sin/гл, cos п X заменить показательными функциями по формулам Эйлера и применить преобразования, которые аналогичны преобразованиям наиболее простых тригонометрических рядов.

ЛИТЕРАТУРА

1. ¡Г. Бе йт мен и А. Э р д е й и. Высшие трансцендентные функции (гипергеометрическая функция, функции Лежандра). М., Физматтиз, 1965.

¡2. В. Е. К о р и и л о в. Приложение цепных дробей к вычислению дзета-функции Ри-мана. Изв. ТПИ, т. 245.

3. В. Е. Корнилов. Приложение цепных дробей к вычислению обобщенных гипергеометрических функций. Изв. ТПИ, т. 205, 1972.

4. И. В. Проскуряков. Сборник задач по линейкой алгебре. М., Гостехиздат, 1957.