Вычисление некоторых функций двух переменных при помощи цепных дробей Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ II ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. С. М. КИРОВА

1975 г.

т. 245

*

ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ ПРИ ПОМОЩИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ

В. Е. КОРНИЛОВ

(Представлена кафедрой высшей математики'

В статье доказывается возможность представления некоторых гипергеометрических функций двух переменных суммой подходящей дроби и остаточного члена. При этом остаточный член по модулю меньше модуля разности двух ближайших в порядке возрастания индексов подходящих дробей в комплексной области Яег<С 0.

1. Функции двух переменных ([1], стр. 219—220) запишем следующим видом:

п —0

^(а + п, р; у +п; х)

гп

(т)л п\

оо

У,аягп; а < т, р, < 1, £<0, -!<*<!.

(1)

л=0

п—0

-п, Р; т; Лъ)пП\ \ х-\

2 4.2"; а <7ь Р1 < 1, р> о, - со < *<-|-.

п=о 2

(2)

(1-хУ = 2

/2 = 0

^кМпр! т + я_а1 р. т + я; ,2« =

(т )пп\

= У,спгп- а, < т, р, < 1, р <0, - оо <*< —.

2

п=О

(3)

На основании равенств (1) — (3), теоремы ([2], стр. 211), а также ([3], стр. 226; [4], задача 1220) определители

-

, . . . ; /?, т = 1, 2,...

положительны. Поэтому степенные ряды (1)|(3) представляются каждый суммой подходящей дроби и остаточного члена. При этом остаточ-

54

ный член по модулю меньше модуля разности двух соседних подходящих дробей в области Яег^. О [5].

При установлении пределов изменения параметров функций /** в равенствах (1) — (3) необходимо так подобрать значения параметров, чтобы в предельном случае х = 1 или х-^оо) эти функции монотонно убывали с увеличением индекса п [5].

Например, для функции Т7 ряда (1) имеем ([6], стр. 374, (67).

ет только в том случае, если выполняется неравенство р < 0. Для формул (2) или (3) этими условиями являются соответственно р>0 или р< 0

1. Г. Бейт мен и А. Э рдей и. Высшие трансцендентные функции (гипергеометрическая функция, функции Лежандра). М., Физматгиз, 1965.

2. И. П. Натансон. Теория функций вещественной переменной. М., Гостехиздат,

пределы, ряды, цепные дроби). М., Физматгиз, 1961. пределы, ряды цепные дроби). М., Физматгиз, 1961.

4. И. В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. М., Гостехиздат, 1957.

5. В. Е. Корнилов Приложение цепных дробей к вычислению обобщенных гипергеометрических функций. Изв. ТПИ, т. 205, 1972.

6. В. И. Смирнов. Курс высшей математики Том 3, часть вторая. М., Гостехиздат, 1953.

Р(а + п, Р; у + я; 1) =

Г(т + *)Г(т-»-Р) Г(Т-а)Г (т + Л-р)

Последовательность

2,... монотонно убыва-

ли,ТЕРАТУРА

1957.