CC BY
19
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. С. А1. КИРОВА
1975 г.
т. 245
ПРИЛОЖЕНИЕ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА
В. Е. КОРНИЛОВ
(Представлена кафедрой высшей математики)
В статье изучается вопрос о приложении цепных дробей к вычислению дзета-функции Римана (7), ее обобщений и вычисление функций, представленных рядами, слагаемые которых являются соответствующими дзета-функциями. Для последних ря/цэв получены такие обобщения, которые также можно вычислять с помощью цепных дробей.
1. Обобщенная дзета-функция определяется следующими равенствами ([1]. стр. 40—43; [2], стр. 164,-9)):
С(5, =
v) =
п -О 1
со
00 _ гщ
.~nt yy — Z't ¿S— I
г (s) Го
1 . f cos'1"-21 sin (k¿) dt
dt
^ и - 2
, z»>0, s > 0;
(1)
(2)
(3)
'2vK J Vе-1 th (~vtg t)
— 7. 1
к = 2,3,...; <pm = cos;" t (sin/n¿ + cosmí) ([3], стр, 211). Пусть
(ü + n)-s = Спл ; V) = dnt (4)
тогда в силу равенств (1)—(4), теоремы ([3], стр. 211), а также ([4], стр. 226; [5], стр. 153; [6], задача 943) определители
dp+1 . . . do4
Ср-\ .... Срл.т — 2 Ср+т-2 • • • Ср±2т~3
'/Р~т
dp-L-m • • • dp + 2ni — 1
¡к т = 1, 2,...
(5)
положительны.
2. Функции ([1], стр. 42. 47)
со
Ф(г, s, v)= У,(ъ + п)-*г'1, |г|<1, v Ф 0, — 1,...;
r¡---Q
Í(S) = :(s, 1) = ф(1, s, i) =
i
у (--I)"-1
s >0.
(6) (7)
на основании положительных значений первых определителей (5), представляются цепными дробями с положительными членами звеньев. Таким образом, получаем следующие подходящие дроби для функций (6) и (7), а также имеем соответствующую оценку остаточного члена по модулю (см. [7]; [8], стр. 27—30).
Ф (г, V) = Р*п (г): Q2n (г) + Я2я (г) =
(8)
0 50 2"-1 . ■ ■ 5/1-1 гп . . . 1
Сп : с0 . . сп +
Сп- 1 сп . . . ■ С2п~ 1 Сп-1 • • ■ С2п-\
+ Я2п(г); л = 1,2,...; = У (о + к)~*
к=0
с И =
1
Р2„(- 1)
1
I (2) | <
<г2я(- о
Р2Я+1 (г)
+ Л2л(-1)
Р2„+1 (г) <32„ (г) 3. Если в равенстве ([1], стр. 60)
^ 1 1
, V = 1, « = 1,2,...; < 0.
2
г + /г
» <
0,577...
(9) (10)
(Н)
воспользоваться разложением
1
К'
то получим
2
/с /с4
к-1
2 + А;
'М1 + г) = -Т + 2 (---^
л5 \ /г г -)- п
со
+ 2 (— /с) г»-1, | г | < /с.
л = 2
Интегрируя равенство (12), находим ([1], стр. 30, (1)
(12)
/С — 1
£. _1п( 1 + А я \ п
1пГ(1+г) = -Тг + 2
п =.
00
+ 2 (—1)яС(/1, «) —, |2|<ЯГ.
(13)
п = 2
Степенные ряды (12) и (13) в силу положительных значений вторых определителей (5) представляются цепными дробями с положительными членами звеньев. Таким путем, согласно равенству (8), получим аналогичные подходящие дроби для рядов (12) и (13) и, согласно неравенству (10), аналогичную оценку остаточного члена ([9], задача 1220).
ЛИТЕРАТУРА
1. Г. Бейтмен и А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции (гипергеометрическая функция, функции Лежандра). М., Физматгиз, 1965.
2. И. М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.-Л., Гостех-издат, 1948.
3. И. П. Н а т а п с о н. Теория функций вещественной переменной. М., Гостехиздат, 1957.
4. В. Л. Д а н и л о в, А. И. И в а н о в а и др. Математический анализ (функции, пределы, ряды, цепные дроби). М., Физматгиз, 1961.
5. А. П. Мишина и И. В. П. р о с к у р я к о в. Высшая алгебра (линейная алгебра, многочлены, общая алгебра), М., Физматгиз, 1962.
6. Д. К. Фадеев и И. С. Со минский. Сборник задач по высшей алгебре. М., Гостехиздат, 1956.
7. В. Е. Корнилов. Приложение цепных дробей к вычислению обобщенных гипергеометрических функций. Изв. ТПИ, т. 205, 1972.
8. Т. И. Стилтьес. Исследования о непрерывных дробях. М., ОНТИ, 1936.
9. И. В. Проскуряков. Сборник задач по линейной алгебре. М., Гостехиздат, 1957.
