Выбор параметра регуляризации для решения одного класса линейных интегральных уравнений Вольтерра-Стильтьеса третьего рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №10/2015 ISSN 2410-700Х_

7.Беделова Н. Об одном классе линейных интегральных уравнений Вольтерра-Стильтьеса третьего рода. // Ош: «Вестник ОшГУ, 2006.

© Н.С.Беделова, 2015

УДК 517.968

Беделова Нургуль Салибаевна

ст. преп. каф. ИТАС, ОшГУ, г. Ош, Кыргызстан E-mail: [email protected]

ВЫБОР ПАРАМЕТРА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА-СТИЛЬТЬЕСА ТРЕТЬЕГО РОДА

Аннотация

Актуальность проблемы обусловлена потребностями в разработке новых подходов для регуляризации и единственности решений линейных интегральных уравнений Вольтерра-Стильтьеса третьего рода. В данной статье рассмотрены решения выбора параметра регуляризации для решения одного класса линейных интегральных уравнений Вольтерра-Стильтьеса третьего рода. Для решения этого уравнения построен регуляризирующий оператор по М.М. Лаврентьеву и доказана теорема единственности. Работа носит теоретический характер. Предложенные методы и полученные в ней результаты могут быть использованы при дальнейшем развитии теории интегральных уравнений в классах некорректных задач, для численного решения интегральных уравнений Вольтерра-Стильтеса третьего рода, возникающих в гидрофизике, теории упругости, механике. А также при решении конкретных прикладных задач, приводящихся к уравнениям третьего рода.

Ключевые слова

уравнение, линейная, интегральное уравнение Вольтерра-Стильтьеса, третий род, регуляризация.

Одновременно рассматриваются следующие линейные интегральные уравнения

t

m(t)u(t) + Ja(t)b(s)u(s)dç(s) = f (t), T > t0, (1)

'0

t

(s + m(t ))u(t,e) + J a(t )b(s)u(s, s)dç(s) = f (t) + eu(t0 ), t e [t0, T ], (2)

0'

'o

где m(t), a(t), b(t) и ОД-известные непрерывные функции на [t0, T], m(t)-неубывающая непрерывная функция на [t0, T], m(t0)=0, v(t)и v(t,s) -искомые функции, <(t)-возрастающая известная непрерывная функция на [t0, T],

0 <а -малый параметр, (t, 5) e G = {(t, 5) : t0 < s < t < T}.

Здесь C[t0, T]- пространство всех непрерывных функций u(t), определенных на [t0, T] с нормой ||u(t)||с = sup \u(t)|с.

te[to, T]

Обозначим через C^[t0, T], 0 < y < 1, линейное пространство всех функций u(t), определенных на [t0, T] и удовлетворяющих условию |u(t) - u(s)| < M\\(t) - \(s)|y,

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №10/2015 ISSN 2410-700Х_

где M-положительная постоянная.

t

у it ) = J a(s)b(s)dç(s) + mit ), t G\t0, T ].

to

Различные вопросы для интегральных уравнений первого, второго и третьего рода исследованы в работах авторов [1-8]. В частности, линейные и нелинейные интегральные уравнения Вольтерра-Стильтьеса рассматривались в работах [5-8]. Здесь для решения линейного интегрального уравнения Вольтерра-Стильтьеса третьего рода (1) построен регуляризирующий оператор и доказана теорема единственности.

Предположим выполнение следующих условий:

а) m(t), a(t), bit), f (t) e C\t„ T], m(t0) = 0,

m(t) > 0, a(t) > 0 и b(t) > 0 при t g \t0, T] ; m(t) -неубывающая функция на [t0, T];

б) при t >z, t,z G\ta, T ] справедлива оценка

t

......) + mitУГ1, где 0 <

|ait) - a{z)\ < C0 [Ja(z)b(z)dç(z) + mit)]ri, где 0 < r1 < 1.

В работе [7] доказана следующая теорема:

Теорема 1. Пусть выполняются условия а), б), и(^) является решением уравнения (1), удовлетворяющее условию: и(() е СД^, Т ], 0 </< 1, \и^) - и^0 )| < Сга^), t , Т ], 0 < С -

постоянная. Тогда решение vit, s) уравнения (2) при s ^ 0 сходится по норме C\ta, T] к u(t) . При этом справедлива оценка

С л. Л/13)

где

\\uit,s) - uit ^ < M iM + M )sr + M s sri, (3)

œ œ

M = sup|u(t)-u(s)\l\it)-\(s)\r, M = esupVvre~v),M2 = Cfixe\evvndv, M = e\e'vvrdv.

0 0

Далее предположим, что

||f(t) - fs(t)\c <S, \uit0) - щ)\ <aS, (4)

где 0 < a -постоянное число. Рассмотрим уравнение

t

(£ + m(t ))vs (t,s) +

to

Из (2) отнимаем (5)

t

(s + mit))vs it,s) + J ait)bis)vs (s,s)dç(s) = fs it) + suo, t e[to, T]. (5)

t

(s + mit ))vit,s) + J ait )b(s)v(s,s)dç(s) - f it ) - su(t0 ) -(s + mit ))vs it, s) -

(б)

J ait )bis)vs (s, s)dç(s) + fs it ) + su о = 0.

t0

В интегральном уравнении Вольтерра-Стильтьеса второго рода (6) сделаем замену

Us(t,s) = v(t,s) -Vs(t,s), t G [to, T] (7)

где v(t, s) -решение уравнения (2). Подставляя (7) в (6), имеем

t

[s + m(t)]us(t,s) + Ja(t)b(s)usis,s)dç(s) = [f (t) - fs(t)] + s[u(to) - u0] , t e [to, T].

Г

t

0

Отсюда получим

Us (t ,s) = -

a(t) ¡b(s)ue(s,s)dp(s) = f (t) - fff) + g[u(t") -, t g['0, T]. (8)

s + m(t )

s + m(t ) s + m(t )

Находим решение уравнения (8) используя резольвенту

R(t, s,s) = --^ b(s) exp \-j

s + m(t )

\ a(r)b(r) s + m(r)

dp(r)\, (t,s) g G

(9)

ядра K(t, s) =--a(t) b(s) :

s + m(t )

(t, s) g G.

Тогда

us(t,s) =

f(t) - fs(') , s[u(to) -u0] a(t)

s + m(t ) s + m(t) s + m(t )

jb(s)e

' s+m(x)

dp(r)

f (s) - fs(s) , s[u(t0) -u0] s + m(s) s + m(s)

dp(s) ,(10)

где t g [t0, T ]

Нетрудно показать справедливость тождества

i

am*). 1

s + m(t )

a(T)b(T)^ s+m(r)

f (t) - fs (t) , s[u(t0) - U0] s + m(s) s + m(s)

dp(s) =

f (t) - fs (t) , s[u(t0) - Up]

s + m(t) s + m(t)

-JÄW)

f J s+m(t)

e s x

a(s)b(s) s + m(s)

dp(s) =

f (t) - fs (t) , sK'q) - U0] s + m(t ) s + m(t )

t -^-^dp^) e i s+m(r) ] dp(s) =

t

i [

fa(r)b(r) ' s+m(r)

dp(r)

f (t) - fs(t) , s[u(t0) -Uq]

s + m(t ) s + m(t )

P( s )

[1 - e

f (t ) - fs (t ) , s[u(t 0) - Up] s + m(t) s + m(t)

Г a(r)b(r) ' s+ m(r)

dp(r)

].

Учитывая (11), из (10) получим

us (t,s) =

f (t) - fs(t) s[u(tp) - Up]

s + m(t ) s + m(t )

'q

|-a(z-)b(zQ s+m(r)

dp(r)

+

f a(s)b(s) -ism^dp(r) j „ s

s + m(t)

f (t) - fs (t) , s[u(tp) - Uq]

+

t -, a(r)b(r)dç(T)

a(t ) Î. -i s+ m(r)

s + m(t ) f

'o

Введем обозначения:

Wx(t,s) =

b(s)

f (s) - fs(s) , s[U(to) - Uo]

s + m(s) s + m(s)

s + m(s) s + m(s) dp(s).

f (t) - fs(t) , s[U(tp) - Up] s + m(t ) s + m(t )

J s+m(r)

\a(T)b(z)

, ч ra(s)b(s) -is+mîdp(r) y/2(t,s) = j ( ) ( )e s

s + m(t )

t

i(s)b(s)

й(т)Ь(т) s+m(j)

-dp(t)

s + m(t )

f (t) - fs(t) , s[U(tp) - Up]

s + m(s) s + m(s) dp(s) =

dp(s) -

f (s) - fs(s) + s[U(to) -Uo]

s+ m(s) s + m(s)

(11)

dp(s) -

(12)

(13)

t i

f a(T)b(T)

a(s)b(s) -iS+rn^)dp(T)

-e s

s + m(t )

f (t) - fs (t) - f (s) + fs(s) s + m(s)

dp(s),

r)

x

s=t

e

s=t

0

e

e

0

• [а^) - а(^)]

\3(t,s) = -J [a(t 7 b(s)e s

J s + m(t )

a(r)b(T) s+m(r)

dp(T)

f(s) - fS(s) , sLu(to) -uo\

s + m(s) s + m(s)

dp(s).

Учитывая (13), (14) и (15) из (12) имеем

и8(1,е) = щ^,е) + щ2+ , t , Т].

Оценим ^ (?, б). В силу условий теоремы и (4) из (13) получим:

8

■1(t,s)l <- + aô,

s

Оценим \ (t, s). Учитывая (4) из (14)

имеем

\w2(t,s)\ <J

t a(s)b(s)

j s + m(s)

f (t ) - fs (t)\ + | f (s) - fs (s)\ s + m(t )

J s+m(T) , , N

e s dp(s) <

< ■

2S

J

a(T)b(T) s+ m(T)

dp(T)

dp(s) =

2S

РМ

1 - e

-J

a(T)b(T) s+ m(T)

dp(T)

< — , t G[t0,T\ . s

Отсюда

,(ts)l <

2S

s

Оценим (?, б) . Учитывая условия теоремы и (4) из (15)

имеем

\\(tA<J

\\a(t) - a(s)\|b(s)|

s + m(t ) s + m(s)

Ça (T)b(T)

1 J s+m(T)

-e s

dp(T)

| f (s) - fs(s)\ + s\u(t0) - Uo ïjdç(s) <

(15)

(16)

(17)

(18)

<

t C [J a(z)b(z)dp(z) + m(t)\

J—^-ГГ^-\b(s)\

< Co sup \b(s)\[

sç{a,b~\

+

s + m(t )

S + saS r 1 m(t)

s J [s + mityt"1 s + m(t) +

10

, г m(t) + t a(T)b(T)d

dmYi ee s+m(t)j s+m(T)

Ça(T)b(T)

1 J s+ m(T)

-e s

dp(T)

s + m(s)

[S + saS\dp(s) <

dp(s).

s + m(z) Введем обозначения:

bo = sup \b(t)|, C2 = sup(e~vvri X C3 = C0b0C2e[p(T) - (p(tj\.

t^[a,b]

Тогда из (19) имеем

v>0

(t,s)|| c < C0b0 C2e J dP(T = C0b0C2e№T) - <P(to)\

0 S2-Ï1 2

„ r S aS ,

< Cj[TST+0"\ .

S aS

■ + ■

s2^ sl-J1

<

Учитывая (17), (18) и (21), из (16) получим

и , N|i 35 с. ^ г 5 aô , \Us(t,£)\\c < — +a5 + C + ].

s

s

Далее, учитывая обозначения (7), оценки (3) и (22), имеем

(19)

(20)

(21)

e

s

s

0

3

||u(t)-vs(t,s)\c <\u(t)-i(t,s) + i(t,s)-vs(t,e%c <||i(t,s)-u(t)||c +

Ii , Ч|| у „ С s s s aS л ,„оч

+ |Us(t,e)||c <M(Mi + M,)S + M2s С + — + aS + Сз[—+ —]. (23) Выберем параметр s из условия

с- 1 1

S =S2 ^s = S2(2-yi). (24)

s2^

Учитывая (24), из (23) получим

1 Г ft 3-2fl 1 3-fl

u(t)-vs (t,S2(2-r1)) < M (M + M )02(2~п) + M2ô2<2~n) + 3S2(2-r1) + aS + C [S2 +aS2(2-/l)]. (25)

c

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы1 и (4). Тогда решение vs(t,s) уравнения (5) при i

s = S2(2_/i) ^ 0 сходится по норме C[t0,T] к решению u(t) уравнения (1). При этом справедлива оценка (25).

В работе [7] доказана это теорема.

Пример. Рассмотрим уравнения

t

tu (t) + J (1 +1)(1 -4s )u(s)d (4s ) + f (t), t e [0,1]. (26)

0

Здесь t0 = 0, T = 1, m(t) = t, a(t) = 1 +1, b(t) = 1 - -fs, <p(t) = Jt, t e [0,1].

В этом случае условии а) и б) теоремы1 выполняются. Так как при t > T, t,Te[0,1] справедлива оценка

t

|a(t ) - a(r)| = t -t< t = m(t ) < [J a(r)b(r)d<(r) + m(t )].

T

Здесь yl = 1, С = 1.

Список использованной литературы:

1. Трикоми Ф. Интегральные уравнения, ИЛ, 1960.

2. Denisov A.M. Elements ot the Theory of Inverse Problems, VSP, Utrecht, 1999, 272 p.

3. Ободоева Г.С. Регуляризация и единственность решений уравнений Вольтерра III рода // Канд. диссертация. Бишкек, 1994.

4. Асанов А. Производная функции по возрастающей функции. // Журнал Естественных наук КТУМ, Бишкек, 2001, №1,-С. 18-64.

5. Асанов А. Интегральные уравнения Вольтерра-Стильтьеса второго и первого рода// Журнал Естественных наук КТУМ, Бишкек, 2002, №2, -С. 79-95

6. Асанов А. Система интегральных уравнений Вольтерра-Стильтьеса //Университет Манас, Журнал Естественных наук, Бишкек, 2003, №4, -С.65-79.

7. Асанов А., Беделова Н. Один класс линейных интегральных уравнений Вольтерра-Стильтьеса третьего рода // Вестник КазНПУ им. Абая, - Алматы, 2014, №4, Вып. 48, -С.8-13.

8. Беделова H.C. Об одном классе линейных интегральных уравнений Вольтерра-Стильтьеса третьего рода. //Вестник ОшГУ, 2008, №6, -С.76-82.

© Н.С. Беделова, 2015

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №10/2015 ISSN 2410-700Х_

УДК 518:517.949.8; 533.6.011

Ворожцов Евгений Васильевич

вед. науч. сотрудник ИТПМ СО РАН, г. Новосибирск, РФ E-mail: [email protected] Шапеев Василий Павлович главн. науч. сотрудник ИТПМ СО РАН, г. Новосибирск, РФ E-mail: [email protected]

ОБ УСКОРЕНИИ ИТЕРАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССОВ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ КОМБИНИРОВАНИЕМ МЕТОДОВ КРЫЛОВА И ФЕДОРЕНКО1

Аннотация

Реализованы несколько новых вариантов известных способов ускорения процессов итерационного решения дискретных задач, которые возникают при решении численными методами краевых задач для уравнений с частными производными (PDE). В частности, предложено и реализовано комбинированное применение операции продолжения метода Федоренко и метода Крылова. В качестве объекта численных экспериментов взята дискретная задача, к которой сводится решение уравнений Навье-Стокса методом коллокаций и наименьших невязок (КНН). Показано значительное (в сотни раз) ускорение решения задачи в случае комбинирования указанных двух способов. Обсуждается, какие специфические свойства метода КНН повлияли на результат. Выводы подкреплены результатами многих численных экспериментов.

Ключевые слова

ускорение итерационных процессов, подпространства Крылова, многосеточные алгоритмы, метод коллокаций и наименьших невязок, уравнения Навье-Стокса.

1. Введение

В большинстве численных методов решения краевых задач для нелинейных PDE используются линеаризация и итерации по нелинейности. Путем того или иного способа дискретизации — перехода от исходной задачи для PDE (дифференциальной задачи) к ее дискретной аппроксимации (дискретной задаче) приближенное решение дифференциальной задачи в большинстве методов сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). При стремлении достичь хорошей точности численного решения вводится большое количество неизвестных дискретной задачи. Так, например, зачастую в численных методах для этого вводится большое количество подлежащих вычислению неизвестных значений сеточных функций на сетках с большим количеством узлов. Это приводит к необходимости решать большого размера СЛАУ. Требуемое для этого количество арифметических операций зачастую приводит к большому времени решения дискретной задачи на ЭВМ и/или к накоплению большой ошибки округлений. Каждое из этих двух обстоятельств может сделать неприемлемым применение прямых методов для решения конкретной дискретной задачи. По этой причине востребованы итерационные методы решения СЛАУ, поскольку прямые методы их решения зачастую требуют существенно больше арифметических операций при однократном применении, чем итерационные методы в течение одной итерации. Если итерации сходятся, их можно многократно повторить до достижения некоторой точности решения задачи. При этом проблема сокращения времени решения задачи остается.

Поиск новых численных алгоритмов и более эффективных реализаций на ЭВМ новых и существующих методов может расширить возможности персональных компьютеров, а также существенно усилить важное направление ускорения решения задач с применением распараллеливания алгоритмов.

1 Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (грант 13-01-00277).