Регуляризация линейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА ПЕРВОГО РОДА Каракеев Т.Т.1, Мустафаева Н.Т.2 Email: [email protected]

1Каракеев Таалайбек Тултемирович - доктор физико-математических наук, профессор; 2Мустафаева Нагима Таировна - аспирант, кафедра информационных технологий и программирования, Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в работе изучаются вопросы регуляризации линейного интегрального уравнения Вольтерра первого рода с дифференцируемым ядром, которое вырождается в начальной точке диагонали. В предположении существования решения в пространстве непрерывных функций рассматриваемое уравнение сводится к интегральному уравнению Вольтерра третьего рода, на основе которого получен регуляризирующий оператор. Доказана равномерная сходимость регуляризованного решения к точному решению интегрального уравнения Вольтерра первого рода, получены оценка допускаемой погрешности и условия единственности решения исходного уравнения в шаре непрерывных функций.

Ключевые слова: уравнение Вольтерра, малый параметр, равномерная сходимость.

REGULARIZATION OF LINEAR VOLTERRA INTEGRAL EQUATIONS

OF THE FIRST KIND Karakeev T.T.1, Mustafaeva N.T.2

1Karakeev Taalaibek Tultemirovich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor; 2Mustafaeva Nagima Tairovna - Post-Graduate Student, INFORMATION TECHNOLOGIES AND PROGRAMMING DEPARTMENT, KYRGYZ NATIONAL UNIVERSITY NAMED AFTER ZH. BALASAGYN, BISHKEK, REPUBLIC OF KYRGYZSTAN

Abstract: in this paper, we study the regularization of a linear Volterra integral equation of the first kind with a differentiable kernel that degenerates at the initial point of the diagonal. Under the assumption of the existence of a solution in the space of continuous functions, the equation under consideration reduces to the Volterra integral equation of the third kind, on the basis of which a regularizing operator is obtained. The uniform convergence of the regularized solution to the exact solution of the Volterra integral equation of the first kind is proved, an estimate of the admissible error and the uniqueness condition for the solution of the initial equation in the ball of continuous functions are obtained.

Keywords: Volterra equations, small parameter, uniform convergence.

УДК 517.968

Рассмотрим линейное интегральное уравнение Вольтерра первого рода

X

J K(x,t)u(t)dt = д(х), (1)

о

где для заданных функций д (х) и К (х,Ь) выполняются условия:

а) К(х, t) 6 С 10 (D), D = { (x,t) / 0 <t<x< Ъ},к(х) = К(х,х)\х=0 = 0,

неубывающая функция

б) д(х) 6 С1 [0,Ъ], д(i)(0) = 0,i = 0, 1 ; G(х) >d1> О, G(х) = L(х,х) + +C1g(x),L(x,t) = C2K(x,t) + Kx(x,t), 0 < C^C^.d^ = const.

В данной постановке изучается возможность регуляризации линейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода путем сведения к интегральному уравнению Вольтерра третьего рода. Регуляризации линейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода посвящены работы [2-4]. Обоснование регуляризируемости линейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода проведены в [1, 5].

Действуя оператором C2I + D + С{Г, где I - тождественный оператор, D - оператор дифференцирования по х, T - оператор Вольтерра вида

X

(Tv)(x) = J u(t)v(t)dt,

о

из уравнения (1) получим интегральное уравнение Вольтерра третьего рода

X X

к(х)и(х) + J L(x, t)u(t)dt + Сг J g(t)u(t)dt =

о о

X t

= Сг J u(t)dt J K(t, s)u(s)ds + fix), (2)

о о

где f (x) = C2g (x) + g (x).

Используя формулу Дирихле в уравнении (2) и прибавив в обе части (2) интеграл , привходим к уравнению

X X

к(х)и(х) + J G(t)u(t)dt = - J [L(x, t) - L(t, t)]u(t)dt +

о о

X X

+CXJ u(t)dtj K(s,t)u(s)ds + f(x), (3)

о t

Рассмотрим уравнение с малым параметром е из интервала (0,1)

X X

(е + к{х))иЕ{х) + J G(t) uE{t)dt = - J [L(x, t) - L{t, t)] uE{t)dt +

о о

X X

+СХ J u£(t)dtj K(s, t) u£(s)ds + su(0) + f(x). (4)

о t

T-r c(t) ( rx G(s) , \ ( G (t) \ ...

Посредством резольвенты: j^exp(-it^^ds), ядра ( уравнения (4)

приведем к следующему виду

t t л

—L(s,s)]ue(s)ds + Cí J u£(s)ds J K(v,s) u£(v)dv + f(t) 1 dt +

OS J

+ e + fc(x)|~/ ^ u£(t)dt + C± J uE(t)dt x

о о

ж .

x J K(s, t) u£(s)ds + su(0) + f{x) I.

Вносим эквивалентное изменение и перепишем это уравнение в виде

X / X

иЛх) = -7Т1ф)1ехр{-1:

G(s) \ G(t)

■ds -—х

e + k(s) e + k(t)

+C-

+

I X

-J [L(t,s)—L(s,s)]u£(s)ds + J [L(x,s) - L(s,s)]u£(s)ds + f(t) - f(x) +

о о

t t XX \

J u£(s)ds J K(v,s) u£(v)dv — C1 J u£(s)ds J K(v, s) u£(v)cZvj dt +

-exp

~f £+(fc(5) d5)j~/[L(x,t)-L(t,t)]u£(t)dt +

e + k{x) 4 J £ + k(s)

о

+CXJ uE(t)dt J K(s, t) u£(s)ds + su(0) + /(x) J.

о t '

Используя свойство аддитивности интеграла, получим уравнение

X / X

G(s) \ G(t)

■ds --тХ

£ + k(s) £ + k(t)

х | J [L(x, s) - L(t,s)] u£(s)ds + J[L(x,s) - L(s,s)]u£(s)ds

t X X

—C1J u£(s)ds J K(v,s) u£(v)dv — C± J u£(s)ds x

о t t

X ) 1

x I K(v,s)u£(v)dv + f(t) - f(x)\ dt +-—x

J \ £ + k{x)

с '

fx \ , X

- J £С+(1ф} ds - J № 0 - W, 0] uE(t)dt +

x exp

+C±J u£(t)dtj K(s,t) u£(s)ds + su(0) + /(x)J = (AuE)(x). (5)

о t '

Введем обозначения Q[0,b] = {u(x) 6 C[0, b\. |u(x) - u0| < r0, 0 < u0, r0 = const}; Пусть йЕ (х), й£ (х) 6 Q [0,Ъ ]. Оценим разность операторов (Аи£) (х) — (Ай£) (х). Тогда имеем

|(Лй£)(х) - (Лй£)(х)| <

£+h)Sexp\~S

G(s) \ G(t)

■ ds -—— х

£ + k(s) / £ + k(t)

11 л

J [L(x, s) - L(t,s)](u£(s) - u£(s))ds + J (L(x,s) - L(s,s)) :

о t

t X

x (u£(s) — u£(s))ds — C1 J(u£(s) — u£(s))ds J K(v, s) ii£(v)dv

+

+

с л л

+ J йе(з)с15 J К(у,б) (й£(у) — й£(У))сЬ/ + J (й£(Б) — йе(з))с15

О t £

X XX

х J К(у,б) йЕ(у)с1у + J й£(s)ds J К(у,б) (й£(У) — й£(уУ)йу

£ +Ш?хр ( -11ГЩ*) 1(1(х'0 "1(с'0) (йе(с)" ®е(0)л +

+

+ C1J(й£(0 - й£(С))£*С I К(Б, 0 Щ^йБ

х 0 х г

+C1J йE(t)dtJ (й£(Б) - й^))^

+

(6)

Произведем оценки:

1)

г+1001еХР(-1

С(5)

-с1Б

с(0

£ + /с(5) / £ + к(р)

Г

ж .

А / Л

¡ехр -/

<а

<

£ + /с(х)

х J ехр о \ £

х [ х

¡ехр!-!

с (5) , \ С(0

2(С21! + ¿2)(х - х

с (5) \ с (О / г с (5)

£ + /с(5) 5 £ + /с(0 \ ] £ + /с(5)

■(¿5 <И <

<

л

J |й£(0 -

где I х = т ах | Л" (х, £) | , 0 < I 2 — коэффициент Липшица функции Кх (х, 1) по аргументу

х;

2)

£ + /с(х)

л / л

Iехр -/

С(5)

с(0

£ + /с(5) / £ + /С(0

Г 4.

! К (у, б) иЕ(у)с1у + ¡[и£(Б) — Ы£(б)]с1б J К (у, б) иЕ(у)с1у I

г з

<

2С1Мг <-гт-^- I ехр

£ + /с(х) .

А А

X J|й£(0 - й£(0|йЬ < 2Сг МгйJ|й£(0 - й£(01 СИ, М = тах\К(х,Ь)\;

3)

£ + /с(х)

А / А

/ехр -/

С (5)

с(0

£ + /с(5) / £ + /С(0 ' / V о

6 х

J йе(з)с15 J

К (у, б) х

X [и£(У) — йЕ(у)]с1у + J Щ^йБ J К(у,б) [и£(у) — й£(У)]сЬ/| йь

г Б '

<

2С1ЬМг £ + к{х)

X

С(5)

||и£(х) - й£(х)||с[о,Ь] I ехр(-1

С(5) \ С (О

-с^ I—. , . X

£ + к(Б) /е + /с(0

/

(1б йЬ < 2С1ЬМгй11\\иЕ(х) — й£(х)||С[О Й],

где | | иЕ (х)-йЕ (х) | | с [ 0 ^ь]= тах \ иЕ (х)-йЕ (х) \;

ХЕ[0,Ь]

4)

£ + к(х)

ехр

I -^ГЩ^) I --

<-—— ехр I

£ + к(Б)

С(5)

<

<

£ + /с(х) £ + к(х)

£ + к(з) /(^-0|й£(0-й£(0|<11 <

/ X \ X X

|й£(0 - й£(с)| йг <

л

< (С^ + ^Х^е)"1!

О х

I

С(0

е + к(х)

£ + /С(0

и [й£(0 - йЕ(1)]сИ х

А

¡К(5,

t)гí£(s)cís+ I

А А

J ^ я" (я,

О [^¡гС5) — Й£(5)]с?5

<

<

2С1Мг йЛ е

А /

| гге с^) — й£(£:)|<2£:.

В результате произведенных оценок 1) -5), из (6) получим следующее неравенство

|(Лй£)(х)_- (Лй£)(х)| < < 2 С±ЬМг^ 1 1 1 иЕ(х) - Ые(х) 11 с[о,Ь] +

X

+ [(С21! + Ь2)(2 + е'1) + 2С1Мг(1 + е~1)]с11~11|й£(С) - й£(С)|йЬ. (7)

о

Переходя к норме в обеих частях неравенства (7), имеем

||04й£)(х) - (АйЕ)(х)\\фМ < ц1 ||й£(х) - йЕ(х)\\фМ, (8) где ц1 = Ъ [Ь2 + С2Ь1 + 2 С1Мг] (2 + е~ ^ 1. Если имеют место условия я1 < 1 и

\ (А и о) (х)-и о \<( 1-Я) г, (9)

то уравнение (4) имеет единственное решение [7, с. 392], в О[0 , Ъ].

Теорема. Пусть выполняются условия а), б), я1 < 1 и уравнение (1) имеет решение и(х) Е С [0 ,Ъ]. Тогда при £ — 0 решение уравнения (4) равномерно сходится к решению уравнения (1), причем имеет место оценка

| | иЕ(х) - и(х) 11с[о,ь] <(1- Я1)~1 (4(^е)~^| | и(х) | | сШ] + ши (е")) ,

где

Доказательство. С помощью подстановки

Л £ (х) = и£ (х) — и (х) (10)

из (3) и (4) получим

о

+e[u(0) - и(х)].

(е + k{x))r]E{x) + J G(t) T]£(t)dt = - J [L(x, t) - L(t, t)] r]£(t)dt +

о о

XX XX

+ci J ЛЛt)dtj K(s,t)u(s)ds + C± J u(t)dtj K(s,t)r]E(s)ds +

о t о t

-u(x)].

Это уравнение, используя резольвенту R(x,t,e) =-^^ехр( — ^ ds) ядра ( — Т+км), преобразуем к следующему виду

X / X \ it

= -7TW)Sехр [-¡тЙЬ'у^Шу^ x's)"

X

—L(t,s)]tjE(s)ds + J[L(x,s) — L(s,s)]r]£(s)ds — t

—Ci J T]£(s)ds J K(v,s) uE(v)dv — Ci J T]E(s)ds J K(v,s) uE(v)dv

Оt t s

—Сг J u(s)ds J K(v,s) r]E(y)dv — C± J u(s)ds J K(v,s) r]E(y)dv +

о t t s

+e[u(x) - u(t)]}dt + ^ /jf^*) *

f X XX

■ J [L(x, t) - L(t, t)] r]E(t)dt + Cif T]£(t)dt J K(s, t) uE(s)ds +

x

( 0

J u(t)dt J K(s, t)T]E(s)ds - e[u(x) - u(0)]|.

+CXJ u(t)dtj K(s,t)TjE(s)ds - e[u(x) - u(0)]}. (11)

о t

Используя (7) из (11) получим следующую оценку

I I Л £ (х) \ \ с [0,ь] < 4i \ \ Л £ (х) \ \ с[о,ь] + \ I Ш^) (х) \ \ с[о,ь] ,

(ад(х) = ~7Тк(х)ехр[и(х)"и(с)] +

+-ттт [ехр - [ л ds I Ju(x) - u(t)] dt. (12)

e + k(x)J J e + k(s) I e + k(t) WJ v y

При выполнении условий а) - в) и и (х) Е С [0 , Ъ] для (Н£и) (х) имеет место оценка [1]

\\ (Н Еи)(х) \\с[о,ь] < 4 (die)-Ч\\и(х) \\c[0ib] + сои(е?), (13) где ши(е?) = sup | и(х) — и(t)|, 0 </3 < 1.

\x—t\<£@

Тогда \ \ л £ (х) \ \ с [0М <(1 — qi) -1 (4 (d^ ) - 1е1 \ \ и (х) \ \ с [оМ + Ши (е?) ) . Следовательно, учитывая (10), при е 0 функция и£(х) -> и(х) равномерно. Теорема доказана.

Следствие. При выполнении условий теоремы решение уравнения (1) единственно в Q [ 0, Ъ].

10

Список литературы /References

1. Асанов А., Ободоева Г. Регуляризация и единственность решений линейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. Фрунзе: Илим, 1994. Вып. 25. С. 65-74.

2. Денисов А.М. О приближенном решении уравнения Вольтерра первого рода // ЖВМ и МФ, 1975. Т. 15. № 4. С. 1053-1056.

3. Иманалиев М.И., Асанов А. Регуляризация, единственность и существование решения для интегральных уравнений Вольтерра первого рода // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. Фрунзе: Илим, 1988. Вып. 21. С. 3-38.

4. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода // ДАН СССР, 1959. Т. 127. № 1. С. 31-33.

5. Каракеев Т.Т., Мустафаева Н. Регуляризация интегральных уравнений Вольтерра первого рода // Вестник КНУ им. Ж.Баласагына, 2014. Выпуск 5. С. 19-22.

6. Омуров Т.Д., Каракеев Т.Т. Регуляризация и численные методы решения обратных и нелокальных краевых задач. Бишкек: Илим, 2006. 164 с.

7. Треногин В.А. Функциональный анализ. Москва: Наука, 1980. 496 с.

РАСЧЁТ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ ЧЕЛОВЕКА Акопов В.В. Email: [email protected]

Акопов Вачакан Ваграмович - учитель физики, Муниципальное общеобразовательное учреждение Средняя общеобразовательная школа № 6 села Полтавского, с. Полтавское, Курский район, Ставропольский край

Аннотация: численное значение диэлектрической проницаемости человека, полученное в данной статье расчётным путём, можно использовать при теоретических медицинских исследованиях человека. Для углубленного изучения данной темы учащимся необходимо: выполнить лабораторную работу практикума 11 класса по теме: «Измерение диэлектрической проницаемости человека по её магнитной индукции, силе тока и росту» и затем сравнить результат с численным значением диэлектрической проницаемости, полученным теоретически расчётным путём.

Ключевые слова: человек, диэлектрическая проницаемость, органические вещества, неорганические вещества.

CALCULATION OF THE DIELECTRIC PERMEABILITY OF A MAN

Akopov V.V.

Akopov Vachakan Vagramovich - Teacher of Physics, MUNICIPAL EDUCATIONAL INSTITUTION SECONDARY SCHOOL № 6 OF THE VILLAGE OF POLTAVA, VILLAGE OF POLTAVA, KURSK DISTRICT, STAVROPOL TERRITORY

Abstract: the numerical value of the permittivity of a person, obtained in this article by calculation, can be used in theoretical medical studies of a person. For in-depth study of this topic, students need to: perform the laboratory work of the 11th class workshop on the topic: "Measurement of the dielectric permeability of a person by its magnetic induction, current strength and growth" and then compare the result with the numerical value of the permittivity obtained theoretically by calculation. Keywords: man, dielectric permeability, organic substances, inorganic substances.

УДК 537.8