Регуляризация системы нелинейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

Проведя аналогичные оценки из (8) получим

\лЕ,\ < T4h Z И (x) + НН [Vi]| + \%i I’ 0 < Т4

m =1

= const.

Применим здесь разностный аналог леммы Гронуолла-Беллмана [1, с. 20].

\vhC’\ < (Н Нс[фг ]| + \х,\ )exp(^4^)

Тогда, в силу леммы и оценки (7), учитывая связь s= O(ha), 0 <а< 1/2, переходя к сеточной норме, приходим к оценке теоремы. Теорема доказана.

Расчеты показывает, что при p(x) = x3, K(x, t) = 1 +12, N(x, t,qf) = 0, g(x) = 6x5/5-x3 -x метод (5) допускает ошибку 8 = 0.107, если h = 0.01, а при шаге h = 0.005, 8 = 0.088.

Литература

1. Апарцин А. С. Неклассические уравнения Вольтерра I рода: теория и численные методы. - Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН. - 1999. - 193 с.

2. Каракеев Т. Т., Рустамова Д. Регуляризация нелинейного интегрального уравнения Вольтерра третьего рода // Вестник КНУ. - Бишкек, 2011. - Вып. 1. - С. 76-79.

3. Каракеев Т. Т., Рустамова Д. Регуляризация и метод квадратур для линейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. - Бишкек: Илим, 2009. - Вып. 40. - С127-132.

4. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. - Москва: Наука, 1989. - 432 с.

Регуляризация системы нелинейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода Каракеев Т. Т.1, Бугубаева Ж.2

1 Каракеев Таалайбек Тултемирович / Karakeev Taalaibek Tultemirovich - доктор физикоматематических наук, профессор, кафедра информационных технологий и программирования;

2Бугубаева Жумгалбубу /Bugubaeva Zhumgalbubu - старший преподаватель, кафедра информатики и вычислительной техники,

Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в работе изучаются вопросы регуляризации системы нелинейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода с невозрастающей коэффициентной функцией при искомой функции. Получен регуляризирующий оператор, доказана равномерная сходимость регуляризованного решения к точному решению рассматриваемой системы в шаре.

Abstract: in work the questions of regularization of system of the nonlinear integrated equations of Voltaire of the third kind with non increasing coefficient function at required function are studied. The regularizing operator is received, uniform convergence of the regularized solution to the exact solution of the considered system in a sphere is proved.

Ключевые слова: уравнение Вольтерра, малый параметр, равномерная сходимость. Keywords: Volterra equations, small parameter, uniform convergence.

11

Рассмотрим систему нелинейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода

р(х)и(х) + J N0(x,t,u(t)) cLt = д(х),

(1)

где искомая вектор-функция u (x) £ Сп [ 0, b ] , N0 (x, t, u (t) ) = К (x, t)u (t) + N (x,t,u (t) ) , p (x), g (x), К (x,t) ,N (x,t,u (t) ) - известные функции, которые

удовлетворяют условиям:

а) p(х) £ С2[0 ,b ] , p(l)(b) = 0, i = 0,1 , p (x) > 0 Vx £ [ 0, b ) , p (x) - скалярная невозрастающая функция;

б) g (x) = со Zon (gx (x),. . .,gn 00 ) , g* (x) £ С[0,b ] , C0p (x) + Cx g* (x) > 0, i = 1/n, 0 < C0, Cx = const;

в) К (x, t) — n x n — мерная матричная функция, Ку (x, t) £ С (£> ) , К* ^ (x, x) > 0, i,j = 1 ,n,D = {(x, t)/ 0 < t < x < b};

г) G (x) — n x n - матричная функция,

'Kijipc,x), 7 Ф l,

|C0p(x) + Кц(х,х) + C1gi(x), i = j, i,j = l/n,

- норма матрицы,

Я (x) = пг in Я * (x) , Я * (x) ( i = 1 , n) - собственные значения матрицы

l<i<n

[ G (x) + G * (x) ] / 2 , G * (x) - сопряженная матрица к матрице G (x) ;

d) N (x,t,u (t)) — вектор-функция, N (x,t,u (t) ) £ С10,1 (Dxfi0, N (x,x,u) = 0, Nx (x, t, 0 ) = 0 .

Действуя оператором / + С0/ + С17’, где / - единичный оператор, /, Т - операторы Вольтерра вида

n (x) = d iag (г^ (x) ,. . ., nn (x) ) из системы (1) получим [3]

Gij(x) =

р(х)и(х) + J G(t)u(t)dt = J M(x,t,u(t))dt + C1 J p(t)u2(t)dt

+

о

X X

+ f(x). (2)

+ J J(Bu)(s, t)u(t)dsdt + J J(B0u)(s) N(s, t,u(t))dsdt

о t о t _______

где

:0 J N(s,t,u(t))

ds +

К (t, t) — К (x, t)

, J K(s, t)ds

u(t),

(B0n)(x) = diag{u±(x), ...,nn(x)),/(x) = p00 + C0 g(t)dt Рассмотрим систему нелинейных интегральных уравнений

(e + p(x))n£(x) + / G(t)u£(t)dt = J M(x, t,u£(t))dt + J p(t)u2(t)dt

+

A A //

+ I I (Bu£)(s,t)u£(t)dsdt +

A A

J J(B0u£)(s) N(s, t,u£(t))dsdt

+

+/00 = 04u J CO , (3)

где e - малый параметр из интервала (0,1). Обозначим через (H£u) (x) оператор

(Я£п)(х) = -

£ + р(х)

ехр

-/

G(s)

£ + p(s)

ds и(х) +

12

+ 7^oolexp(~f'

G(s)

-ds

G(t)

■ [u(x) — u(t)]dt.

p(x)J M J £ + p(s) e + p(t)

0 \ t )

Справедлива следующая [2, стр. 55]

Лемма. Если выполняются условия а) - д) и и (х) £ Сп [ 0 , b] , то имеет место оценка | I £(Н£и)(х)I I Сп[0jb] < (Nrfo г£ + N2£ 1 -^) I I и(х)I I Сп[о,ь] + d2C2Vnwu (е^) , где N1 = (2 + Мо)Vn, N2 = 2 ^С2/ (02^ е), d2 = l + в21, в2 = 1 — в^ 0 < 01 < 1 , = sup ||и(х) - u(t)||, 1/2 < /? < 1, р0 = р(0),

|z-t|<£^

Мо = ш ах| Р ( 2 ) (х) I .

0<х<Ь 1

С помощью резольвенты ядра ( —+"^")) уравнение (3) можно привести к виду

иЕ(х) =

ш1ехрг1

£ + р(х)

G(s) \ C(t) ,

-------rr-ds -----—7-{(i4u£)(t)

e + p(s) / £ + p(t)

— (AuE)(x)}dt +

£ + p(x)

exp

(Ли£)(х).

(4)

0 /

Прибавив справа и слева системы (2) выражение еи (х) и приведя к виду (4) рассмотрим разность полученной системы и системы (4). При этом воспользуемся подстановкой

р £ (х) = и£ (х) — и (х) . (5)

Тогда

р£(х)

А /А

= -7Т^)/“р(-/

G(s)

-ds

G(t)

£ + p(s) £ + p(t)

{(^U£)(t) -

-(Aue)(x) — (Au)(t) + (Au)(x)}dt +

£ + p(x)

exp

A

/

G(s)

£ + p(s)

ds x

X { (4 и£) (х) — (Ли) (х) } — £ (Н£и) (х) . (6)

Пусть £2п [ 0 , b ] = { и (х) £ Сп [ 0 , b ] : | | и (х) — и о | | < го, 0 < и о, го = с ons t } . Оценим разность операторов

t г t "I х

J K(x,s) — K(t,s) + С0 J K(v,s)dv p£(s)ds + J [K(x,s) —

0 s t

X X

—K(s, s)]p£(s)ds + N K(v,s)dvpE(s) ds < 2(Lk + C0M) x

t S

X (x-t)b||p£(x)||cn[0,b];

t X XX

J J N(v,s,ue(s)) — N(v,s,u(s))]dvds + J J[N(v,s,ue(s)) —

0 t t s

-N(v,s,u(s))]dvds < 2C0KN(x - t)b\\pE(x)\\Cn[oM;

t X XX 4

J J K(v,s) pE(v)u(s)dvds + J J K(v,s) pE(v)u(s)dvdsldt

0 t t s '

< 2CtMrb(x - t) ||p£(x)||cn[o,b];

<

13

I X

J J Vs(v)N(v, s, u£(s)^dvds

dt

о t

MN = max\\N(x, t,u)\\,M = max\\K(x, t)\\,LK = Lip(K(x, t)|x) ,

DXR1 D

KN = max\\Nu(x,t,u(t))\\,r = r0+u0.

DXR1" V 711

Продолжая данные оценки получим:

| | (Aue)(x) - (Au)(x) | | < Q±b | | u£(x) - и(x) | | cn [0,b] ,

||04u£)(t) - (Aue)(x) + ( Au)(x) - G4u)(t)|| < Q2(x - t)b x x| | u£ (x)-u (x) 11 cn [o ,b ] , (7)

где Qi = Qo + KN Q2 = Qo + KN + Ln, Ln = Lip (Nu (x, t,u) \ x),

Qo = Lk + C0(KN + M) + С^гКц + MN).

Так как для матричной функции е xp ( — ^^ dt) выполняется неравенство

Важевского [1, стр. 149].

< MNb\\p£{x)\\Cn[m,

exp

-/

G(s)

£ + p(s)

ds

< Vn exp I — J

то из (6) в силу (7) и условия г) получим

С 2 Vn

A(s)

Яр)

£ + p(s)

т

ds

х (х — t)dt + exp I — J

+ ЫН£и)(х)\\ <

A(s) \ ^Jn ,

elW)iS +

QVriQb

di&2

jeJ-j

e2m

£ + p(s)

ds x

X

MO)

£ + p(s)

ds

dt

MO)

£ + p(s)

ds

+ exp

/

M(s)

e + p(s)

ds

(<3ib x

Vn )

x g + p(0)| + lk(W£u)(x)||.

Отсюда, переходя к норме, приходим к оценке

I I Vs(x) 11cn[o,b ] < q11Vs(x) 11cn[o,b ] + I I £(Hsu)(x) 11c[o,b],

где q = (qx + q2) b , q2 = C202" 2d2 1 VnQ2, qx = p" 1 ( 0) VnQi.

Если q < 1 , то

I I V S 00 I I c n [o,b] < (1 — q) 2 1 I I £ (HsU00 1 1 c[o,b].

Следовательно, при £ — 0, в силу оценки леммы и подстановки (5) функции и S (x) - решение системы (3) равномерно сходится к и (x) - решению системы (2). Несложно показать [2, с.23] эквивалентность системы (2) и системы (1). Таким образом, доказана теорема.

Теорема. Пусть выполняются условия а) - г), q < 1 и система (1) имеет решение и (x) £ [ 0 , b] . Тогда при £ — 0 решение системы (3) равномерно сходится к

решению системы (1), причем

I I Us 00 — и (x) I I c n[o,b ] < (1 — q) 2 1 I I £ (ВД00 | I c n[o,b].

Следствие. При выполнении условий теоремы решение системы (1) единственно в Пп[0,Ь].

14

Литература

1. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. - Москва: Наука, 1967. - 472 с.

2. Омуров Т.Д., Каракеев Т.Т. Регуляризация и численные методы решения обратных и нелокальных краевых задач. - Бишкек: Илим, 2006. - 164 с.

3. Об одном методе регуляризации системы линейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода // Вестник ЕНУ им. Л. Н. Гумилева. - Астана, 2014. - С. 51-56.

Прогнозирование и моделирование распространения вредных примесей в нижнем слое атмосферы Абдула Ж.1, Актаев Е. К.2, Есдаулетова Ж.3, Алдаберген Ш.4

1 Абдула Жамбыл /Abdula Zhambyl - доктор технических наук, профессор;

2Актаев Еркин Куанышбекович /Aktaev Erkin Kuanyshbekovich - кандидат физикоматематических наук, доцент;

3Есдаулетова Жанар /Esdauletova Zhanar - старший преподаватель;

4Алдаберген Шолпан / Aldabergen Sholpan - магистрант, кафедра физики и химии, факультет естествознания,

Таразский инновационно-гуманитарный университет, г. Тараз, Республика Казахстан

Аннотация: разработанный методический подход применим для долгосрочного прогноза канцерогенного риска для городов Алматы, Шымкент, Тараза и других мегаполисов Юго-восточных регионов Казахстана. Результаты могут служить основой принятия необходимых управленческих решений, направленных на минимизацию риска.

Abstract: the methodical approach is applicable to long-term forecast for the carcinogenic risk of Almaty, Shymkent, Taraz, and other big cities of Southeast regions of Kazakhstan.

Ключевые слова: канцерогенные вещества, выхлопный газ, функция

чувствительности, численный модель.

Keywords: carcinogens exhaust gas, sensitivity function, numerical models.

УДК 504.06.

В атмосферу поступает множество вредных веществ, например, бенз(а)пирен, сажа, свинец, пары бензина, медь и другие. Помимо нарушений функционирования различных систем организма, хронических заболеваний внутренних органов, некоторые вещества представляют опасность как канцерогены. В отличие от других факторов, влияющих на состояние здоровья, воздействие продуктов антропогенных выбросов на человека отрегулировать невозможно. В связи с тем, что последствия такого воздействия могут реализовываться спустя годы и десятилетия, актуальной задачей становится долгосрочный прогноз риска r онкологических заболеваний населения вследствие воздействия канцерогенных веществ, содержащихся в выхлопных газах автомобилей и выбросах предприятий.

В общем виде

г = £ r С1)

i

Здесь ri=rt (qi (Y), Y),

где qt — концентрация i-го канцерогенного вещества, Y — вектор параметров атмосферы и параметров (интенсивность, координаты) источников i-го вещества fi.

15