Метод конечных сумм для линейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Метод конечных сумм для линейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода Каракеев Т. Т.1, Бугубаева Ж.2

1Каракеев Таалайбек Тултемирович / Кагакееу ТааЫЬек Тыкет1гоу1Л - доктор физико-математических наук, профессор; 2Бугубаева Жумгалбубу /Бы^Ьаеуа ZhumgalЬuЬu - старший преподаватель, кафедра информатики и вычислительной техники, Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в работе рассмотрены вопросы приближенного решения линейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода методом конечных сумм. На основе сингулярно-возмущенного уравнения с использованием квадратурной формулы правых прямоугольников осуществлен переход к системе алгебраических уравнений. Доказана сходимость приближенного решения к точному решению исходного уравнения.

Ключевые слова: интегральные уравнения Вольтерра, квадратурная формула, малый параметр.

Пусть для известных функций р (х) , д (х) , К (х,Ь) линейного интегрального уравнения Вольтерра третьего рода

р(*м х) + 1кшыт = д(Х),

а)

о

выполняются условия:

а) р(х) - невозрастающая функция, р(х) Е С2 [0,Ъ] ,д(х) Е С[0,Ъ] ,

р(Ъ) = 0, р(х)> 0 V х Е [0, Ъ), С0р(х) + Cig(х) > 0, 0 < С0, С± = сonst■

б) К(х, t) Е С(D), К(х, х)>0 , D = { (х, t)10 < t < х < Ъ} ;

в) G (х) > d1> 0, G (х) = С0р (х) + С±д (х) + К (х,х) ,d1 = с ons t.

Действуя оператором I + С 0J + С{Г, где / и T - операторы Вольтерра вида (Jv) (х) = f*v (t) dt, (Tv) (х) = f*u (t)v (t)dt, I- единичный оператор, из (1) получим уравнение

X X XX

p(x)u(x) + J К(х, t)u(t)dt+C0J p(t)u(t)dt +C0 J J K(s, t)u(t)ds dt +

о о 0 t

X X XX

+Ci f g(t)u(t)dt = Cr J p(t)u2(t)dt + CX J u(t)dt J K(s,t)u(s)ds +

о о 0 t

X

+g(x) + C0 J g(t)dt. (2)

о

Рассмотрим уравнение с малым параметром £ из интервала (0,1) вида

XX X

(е + р(х))и£(х) + J G(t) uE(t)dt = J L(x, t) uE(t)dt + Cr J p(t)u2(t)dt

0 0 0

X X

+С\ J uE(t)dt J K(s, t) u£(s)ds + f(x), (3)

о t

где

Преобразуем, используя резольвенту ядра - С (0 / (е + р(х)) уравнение (3) к следующему виду [3]

г

1 г г в (б) \ с(0 г

X X Ь Ь

— J ¿(х,5)и£(5)с?5 — С± J р(Б)ые (Б^йБ + Сг J Щ^йБ J К(у,Б) иЕ(у)с1у

0 X х 1 Ох

I U£(s)dsJ К (V, Б) и£(у)йу + /СО + X

х ехр

+С\| К(Б,0иЕ(Б)с1Б +/(х) . (4)

о ь '

Доказательство существования единственного непрерывного решения уравнения (4) в шаре радиуса г и равномерной сходимости этого решения к точному решению уравнения (2) приведено в работе [3].

Пусть п - натуральное число, шь - равномерная сетка на отрезке [ 0 , Ь] : шь = = Ш, I = 0..п, Ь = пЩ, Сь - пространство сеточных функций щ = и(х¿) с нормой

\\щ\\сн = тах\щ\.

п О <1<п

Используем квадратурную формулу правых прямоугольников [5, с. 164] для интегралов при х = х = 1 ..п в уравнении (4). Тогда получим следующую систему нелинейных алгебраических уравнений

1-1/1 \ ( 7-1

Й V / Х-1 Сь \ С;

1-1 I 7-1 I

- С^к ^ рки2Ек - ^ КткиЕт-

к=] к=] +1 к=1 т=] +1

¿ — 1 I ) 1 / ^ (7 '

-СгЬ^и^к ^ КтЛиЕ>т + /} + -ехр! -й^- * Рк

р0 \ е + рк

/с=_/ т=к +1 7 \ /с=1

¿-1

х и

! ^ + С] Л ^ + С, И ^ и^ к ^ кк /ис к +Ц, (5)

7 = 1 7 = 1 7 = 1 Л=7' + 1

где

¿(х^х,) = К{хрх}) - к{хих}) - С0Л ^ к{хк,х,) ,/(х£) = д{х{) +

к=] + 1

+ с0к ^ х; = У^.У = 1. . I, I = 1. . п.

7 = 1

Случай Сх = 0 метода (5) рассмотрен в [2].

Приведем леммы из работы [4, с. 83-84], которые будут использованы в дальнейшем.

Лемма 1. Пусть выполняются условия а)- в^ и функция и (х) 6 С 1 [ 0 , Ь ] . Тогда имеет место оценка

где Н* [u¿] =

\№[Щ]\\ch <Nlt О <N1 = const.

i-1

exp I —ft

i=l V k=j+1

L-1 / L

.-l-hj^expl-h ^

, —— _ wil +

e + pk e + pj '

+ ■

e + Po

exp

I fc=l

Gk+Pk £ + pk

Лемма 2. При выполнении условий а) - в) и связи £ = 0(ha),0 < а < 1 / 2 справедливо неравенство

/

G(s)+p'(s)

ds — h

I

Gk + 'Р/с

< Cftff, 0 < С = const, <t = 1 - 2a.

£ + pO) """ f-| £ + Pk

о fc=i

Введем обозначения q0 = С-^г (2 P + М0Ъ) (T0d2 1h1 ~a + Ъ рй ^ ,

q1 = b(M1 + C0M0 + СгМ0г)(T0d2d^1h1~a + bp^1), q = q0 + qlt |u(x)| < r, T0 = тах\G (х) \ ,Р = тах\ р (х)\,М0 = тах \ Кх (х,t) \ ,М1=тах \ К (х,t) \ .

ХЕ[0,Ь] ХЕ[0,Ь] D D

Теорема. Если выполняются условия а) - в), q < 1 и £ = 0(ha) для всех 0 < а < 1 /2 , то решение уравнения (4) при h — 0 равномерно сходится к ui - точному решению уравнения (2), причем

I | u£,i -щ\\< (Nh + N2h1~a + N3h)/(1 -q),0<Ni = const,i = 1,2,3.

Доказательство. Прибавив к обеим частям уравнения (2) величину £u (х), перейдем к уравнению такого же вида как уравнение (4), где вместо функции /(х) будет присутствовать сумма f (х) + £u (х) . Применим к полученному интегральному уравнению, при , квадратурную формулу правых прямоугольников.

При этом, обозначая через Ri - остаточные члены интегралов, вектор погрешности через г)= u£(х ¿) — u(х ¿), i = 1 ..n, из (5) получим

i—1 / i \ ( 7-1

ti =

ft

£ + р

exp -ft £

' 7 = 1 V k=j+

h

£ + pk £ + Pj

k=j +1 J 1 ^ k = 1

7-1

m.k'lE.m

-h^LikTle,k - Clh ^ Pk(u£,k + Uk)Ve,k~ Clh^ue,kh Z Ki

k=j k=j +1 k = 1 m=j +1

i— 1 L 7 — 1 1 i-1

Z uEk ft ^ Kmkri£jm - Cxft^ r)e]k ft ^ КткиЕт - Cxft ^

k=j x ft

m=k +1

k=1

m=j+1

k=j

Z Km,kUe,m + KUi ~ Ui) + eXP ( ~h Z

!=fc+l J \ k = 1

m=k+1 i-1

Gk +Pk £ + pk

i-1

X ft

X +cih X +^^+Cih Zh Z

Kk.jVe.k +

7 = 1 i-1

7 = 1

^ KkJ иеЛ + euД - fij, 7=1 k=j+l Имеют место следующие оценки i-1 / i C±h v-" / v-" Gk

7 = 1 i = 1. .П

k=j +1

e + p,

exp -ft ^ Z +

7 = 1 \ fc=; + l ^ / ^ fc=; + l

<

< 2C1T0Prh1-al^expl -h ^

7 = 1

ь H^+Pfc

k=] +1

z

ь "J, £ + Pfc

k=j + l

exp ( -h ^ (uEJ- + u,)^

e + Po

e + pk

<

2C,Pbr,

Po

'Cft'

fc=l ' / 7 = 1

Продолжая подобные оценки для остальных выражений из (6) для rЕ г получим оценку

|<i| < (<7о + 4i)hhe,i\\Ch + е|НЕ[ггг]| + |Дг|. (7)

Опуская громоздкую формулу для остаточных членов Rг и сложные вычисления при оценке этой величины, заметим, что при выполнении условий а) - в), в силу леммы 2 для Rг имеет место оценка

N2h

llfiilk < -j- + N3h, 0 < N2, N3 = const.

Подробные вычисления и вывод аналогичной оценки приведены в работе [1], которые верны при незначительных изменениях и для нашего случая. Тогда, учитывая лемму 1, переходя к норме в обеих частях (7), получим

< (1 - q)~1(N1e + N2h/e + N3h),

из которой при соблюдении связи е = О (ка) следует утверждение нашей теоремы. Замечание. Так как (5) является системой нелинейных уравнений, то решение и Е, ь системы (5) строится методом последовательных приближений по правилу

1-1

и+1 ,

Usi

e + Pi I

7 = 1

i-1

ZexpH z

k=j +1 с

e + pk e + Pj

xftjPi Ю2 + ^ X Ki^k j ub j+ 7Tf0 exp [ ~h Z

i-1

k=1 i-1

gfc+Pfc £ + pk

X UP,

■гю2+hrZKijJ+TTVtSexp( Z

7-1

k=j+1 i-1

hGk e + pk

£ + Pj

7-1

' ^ [Li,k - Lj,k]ue,k + h ^ 11ЛиЕЛ + Cth ^

PkKk +

fc=l i-1

ft =7

i-1

k=j+1

+C1h^uEjkh ^ KmjkuEjtn + C^h^u^h ^ KmjkuEjtn + fr - Ц +

k=1

m=j +1

k=j m=k+1

i-1 i-1

H--exp I -h ^ —-—— ) | h ^ L; ¡uF ,• + С h ^ ,• +

e + p0 Zje + pJ) Zj £J 1 Z^

\ fc = l / I 7 = 1 7 = 1

i-1

i-1

^ +/¡1, I = 1..п,/х = 0,1,2,.... (8)

7 = 1 Л=7' + 1 ^

При выполнении условия теоремы величина и для последовательности

имеет место неравенство

<

<7ом IL1

I и+к а

п е,1 e,inCh l-q0

ul: — гс,- к = 0,1,2,...,

£,l £'1" Cfr . . . .

откуда следует сходимость данной последовательности.

Литература

1. Глушак А. В., Каракеев Т. Т. Численное решение линейной обратной задачи для уравнения Эйлера-Дарбу // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2006. - Т. 46. - № 5. - С. 848-857.

2. Каракеев Т. Т. Численное решение линейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода // Вестник СГТУ. - Самара, 2004. - естествен.-техн. науки. - Вып. 30.

- С. 73-76.

3. Каракеев Т. Т., Бугубаева Ж. Эквивалентное преобразование и регуляризация интегральных уравнений Вольтерра третьего рода // Вестник КНУ. - Бишкек, 2012.

- Вып. 5. - С. 29-33.

4. Омуров Т. Д., Каракеев Т. Т. Регуляризация и численные методы решения обратных и нелокальных краевых задач. - Бишкек: Илим, 2006. - 164 с.

5. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. - Москва: Наука, 1989. - 432 с.

Регуляризация нелинейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода в нерегулярном случае Каракеев Т. Т.1, Рустамова Д.2

1Каракеев Таалайбек Тултемирович / Karakeev Taalaibek Tultemirovich - доктор физико-математических наук, профессор; 2Рустамова Динара /Rustamova Diñara - старший преподаватель, кафедра информатики и вычислительной техники, Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в работе изучаются вопросы регуляризации и единственности решения нелинейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода в случае, когда функциональный коэффициент при искомой функции обращается в нуль на границах интервала области определения решения. Вводится возмущенное уравнение с малым параметром. Доказана равномерная сходимость решения возмущенного уравнения к решению исходного уравнения.

Ключевые слова: уравнение Вольтерра, малый параметр, равномерная сходимость, пространство Гельдера.

Рассмотрим нелинейное интегральное уравнение Вольтерра третьего рода

x

Po(x)р(x) + J N (x,£p(£))d£ = go( х),

0

где для известных функций N0 (x, р) = K (x, ^)р(^) + N (x, р),

р = jPi(x) x e[0, bi 1 g(x\ Jgi (x), x e [o, bi ],

0 1^2 (-4 x e[bu bl 0 |g2 (x), x e[bi, b],

выполняются условия:

а) Pi(x), gi(x)e C[0,bi1 P2(x)e C2[bl,b], Pife^fe) g2 (x) e C[bi, b], gi(bi) = g2 (bi), Pi (0) = P2 (b) = g0(0) = 0, p(x) -

неубывающая функция, pj (x) > 0Vx e (0, b ], P2 (x) — невозрастающая функция,

P2 (x) > 0 Vx e [b, b);

б) K(x,£)e C(D), K(x, x) > 0, C0P0 (x) + K(x, x) > di,