Регуляризация нелинейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода в нерегулярном случае Текст научной статьи по специальности «Математика»

Литература

1. Глушак А. В., Каракеев Т. Т. Численное решение линейной обратной задачи для уравнения Эйлера-Дарбу // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2006. - Т. 46. - № 5. - С. 848-857.

2. Каракеев Т. Т. Численное решение линейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода // Вестник СГТУ. - Самара, 2004. - естествен.-техн. науки. - Вып. 30.

- С. 73-76.

3. Каракеев Т. Т., Бугубаева Ж. Эквивалентное преобразование и регуляризация интегральных уравнений Вольтерра третьего рода // Вестник КНУ. - Бишкек, 2012.

- Вып. 5. - С. 29-33.

4. Омуров Т. Д., Каракеев Т. Т. Регуляризация и численные методы решения обратных и нелокальных краевых задач. - Бишкек: Илим, 2006. - 164 с.

5. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. - Москва: Наука, 1989. - 432 с.

Регуляризация нелинейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода в нерегулярном случае Каракеев Т. Т.1, Рустамова Д.2

1Каракеев Таалайбек Тултемирович / Karakeev Taalaibek Tultemirovich - доктор физико-математических наук, профессор; 2Рустамова Динара /Rustamova Diñara - старший преподаватель, кафедра информатики и вычислительной техники, Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в работе изучаются вопросы регуляризации и единственности решения нелинейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода в случае, когда функциональный коэффициент при искомой функции обращается в нуль на границах интервала области определения решения. Вводится возмущенное уравнение с малым параметром. Доказана равномерная сходимость решения возмущенного уравнения к решению исходного уравнения.

Ключевые слова: уравнение Вольтерра, малый параметр, равномерная сходимость, пространство Гельдера.

Рассмотрим нелинейное интегральное уравнение Вольтерра третьего рода

x

Po(x)р(x) + J N (x,£p(£))d£ = go( х),

0

где для известных функций N0 (x, р) = K (x, ^)р(^) + N (x, р),

р = jPi(x) x e[0, bi 1 g(x\ Jgi (x), x e [o, bi ],

0 1^2 (-4 x e[bu bl 0 |g2 (x), x e[bi, b],

выполняются условия:

а) Pi(x), gi(x)e C[0,bi1 P2(x)e C2[bl,b], Pife^fe) g2 (x) e C[bi, b], gi(bi) = g2 (bi), Pi (0) = P2 (b) = g0(0) = 0, p(x) -

неубывающая функция, pj (x) > 0Vx e (0, b ], P2 (x) — невозрастающая функция,

P2 (x) > 0 Vx e [b, b);

б) K(x,£)e C(D), K(x, x) > 0, C0P0 (x) + K(x, x) > di,

0 < di, C0 = const, D = {(x,€)/ 0 < € < x < b};

в) N(x, €, p) e C1,1,2 (d x Я1) , N(x, x, p) = 0, Nx(x, €,0) = 0.

Для всех x e [0, b ] из уравнения (1) получим

x x

Pi (x)p (x) + J K (x, €)p (€ )d€ + J N (x, €, p (€))d€ = gj (x). (2)

0 0

Действуя оператором I + C0J, где I - единичный оператор, (Jp)(x) = jp^)d€'

0

из (2) получим уравнение

x x

Pi (xpj (x) + J G(€pj (€)d€ = J Mj (x, €, p (€))d€ + Mi (x), (3)

0 0

где

x

Mj (x,€,p(€)) = [K (€,€)-K (x,€)]pj(€)-C J к J,€)p(€ )dr-N (x,€,p(€))-

€

x

- C0 J N J, €, Pi (€))dr, o(€)=C0 Pi (€)+K (€, €),

€

x

Mi(x) = gi (x) + C0 J gi(€)d€ .

0

Уравнение (3) является эквивалентным уравнению (2) в смысле разрешимости [2, с. 23].

Рассмотрим уравнение с малым параметром s e (0,i) вида

x x

(s + Pi (x)Pis (x) + J G{€Pis (€ )d€ = J Mi (x, €, Pis (€))d€ + Mi (x) + spi (0), (4)

0 0

Обозначим через Cr[0, b], (0 </< i) - пространство Гельдера, а через Hs оператор, имеющий вид

Г x W \ Л

(x) 1 г х

С _L nivl»1

+ expf-f-^^dv|-^-[p(x)-p(0)], xe[0,bi].

V 0s+pw )s +p(x)

Имеет место следующая лемма [1].

Лемма. Если pp(x) e Cr [0, b], 0 < r < i и выполняется условие а) - б), то для оператора s(H£ (P)(x) справедлива оценка

||s(Hsp)(x)|| < d0sr ,0 < d0 = const / (5) Теорема 1. Пусть выполняются условия а) - в) и уравнение (3) имеет решение ф (x) e Cr [0, b ], 0 <r < i. Тогда при s ^ 0 решение уравнения (4) равномерно сходится к решению уравнения (3), причем

|pis(x)- Pi(x)|C[0,b ] < d2s, 0 < d2 = COnSt. 11

(H-P^) -Ъ® J exp(-i dMPffl d€ +

Доказательство. Из (4), учитывая (3) и используя подстановку Pis (x) = Pi (x) + Vis (x), получим

x x

(s + A(x) Vis(x) + J G2 (ü|Jü Vü = J [Mi(x,ü,p(ü) + Vs(ü))-M1(x,#,pl(#))]d£-

0 0

-spP(x)-Pi(0Ä x e[0,b ].

С помощью резольвенты ядра (— Gj (ü) /(s + p2 (x))) это уравнение перепишем в виде

Vis(x) = (Hs[M(pi + Vis)])(x) -(Hs[M(pj])(x) + s(HsPi)(x) x e [0,b]. (6)

x

где (Mpi)(x) = J[M(x,ü,p(ü))ü

0

Так как в силу условия б) и в) имеет место неравенство

|(mpp +Vis] XüMMp +Vs] Xx)-(MPi Xü)+Mp Xx) <

< d?d2((./G2Xx)-(^XüMlslXx), 0 < d2 = const,

то

|(H0,s[M(pi +Vis)])(x)-(H0,s[M(pi)])(x) < di-1d2 x

I x x

^äJexp - J:

; J g(ü)

s + p(x)

с J G(v)dv

+ p(v) Js + p(ü)

-J G(v)dv

+

i

ü

s + p(x)

exp

- J

V 0'

GM

:+ p{v)

dv

J|Vis(v) dv <

f

\x

x x G(v) * Jexp -J-dv

■ + p(v) ßs + p(v)

J

-GivL dvd,1 '

dv

'+p(v)

+

i

f

-exp

s + p(x) Тогда из(5) получим

ix x

^ J G(v)dv JG(v)dv V s + p(x) 0 /0

x

di-id2 JVis(v) dv < (i + ГХЦ JVis(v) dv.

0

2 J|' ns\ 0

\1е(х\ < (1 + \ 00 ^ + ^Нр^, x б[0, Ь ]

0

С помощью неравенства Гронуолла-Беллмана [3, с. 108] имеем

\ (х) < exp(dГ1 (2d4 + е"1 Й ^(Нр )(х)|, x е[0, Ь ]. Отсюда, учитывая (5), приходим к оценке теоремы 1.

Следствие 1. При выполнении условий а) - в), решение уравнения (3) единственно в пространстве Сх[0, \ ], 0 <у< 1.

Если x £ [Ь,Ь], то уравнение (1) переходит к уравнению вида

х x

Р2 (х)р (x) + | K (x, ?)р2 (? № + I N (х, ?, (р2 (?))? = & (х), (7)

¿1 ¿1 ¿1 ¿1 где Яэ (х) = Я2 (х) - IN(х, Д, (Р1 (ф? - { К(х, Д)р ДУд.

Полагая x = b в уравнении (2), (7) получим

x

x

0

ü

x

0

0

0

v ü

v ü

x

x

0

~ 1 ~ 1 р1(Ь1)^1(Ь1) +1 к (ЬЪ0ЫХ0 )/0 + IN (¿1,0, Ы0)>/0 = ^(ЬД

61 Ь1

1+1 к (¿1,0)^(0 >/0 +

о о

Ь1 61

1+ Гк (Ь ,0Ы0 >/0+

р2(\ш\)+| к (й1,0М(0 + | N (Ь1,£Ы(£)>0 = Я 2(61).

2'

0 0

Из разности данных двух уравнений, учитывая условие ^ (Ь ) = Я (Ь ), видим, что Р (Ь )ы(Ь) = Р2 (Ь )ы(Ь ), откуда в силу условия а) следует равенство Ы^) = Ыг (Ь1)

Как и выше перейдем от уравнения (7) к уравнению следующего вида

X X

Р2 (х)ы (х) +| С2 (0>Ы (0/0 =^2 (х,0,ы (0))/0 + Ит (х), X е^ь] (8)

Ь1 Ь1

где

Ст (0)=Со РТ (0)+к (0,0),

М2 (х,0,ы 0))=[к (0,0)-к (х0)Ы (0)-N (х,0,ы (0))-

XX х

- Со | к(г, 0Ы (0>Г - Со | N(г, 0,ы (0))/г, и (х) = Яз(X) + Со | Яз (0/0.

Пусть е - малый параметр из интервала (0, 1). Рассмотрим уравнение

X X

(е + рт (х)Ых) + I С / = I М2 (х,0, Ы*(0)>0 + Ит (х) + еф\ (9)

Ь1 Ь1

х е[Ь ,Ь].

Положим х = Ь в (4) и (9). Тогда

Ь Ь

(е + Р1 (61)ЫД) =-| У0-/ МхЬ,0ы0))0 + цЬ)+еЫ1(о) =

о о

Ь,

= Со I о

Ь

0 0 &(0) -Р0Ы0)-Iк(0,N(0,Ы)/

Ь

-IN 60Ы0 >/0-

1 ь1 ь1

-1 к Ь 0)ы (0 )/0 - (Ь) +Ы (о)=-1 к 6,0)Ы (0 >/0 -1N (Ь0, Ы (0)>/0 +

о о о

+(61)+Ы(о);

Ь1 Ь

(е + рМЫФд = -Iк(Ь,0)Ы(0)/0 - IN(Ь0ы(0))/0 + Ят(Ь) + (о). о о

В силу условия а), рассматривая разность двух последних уравнений, получим

ЫгЬ) = Ые(Ь\). Следовательно, для непрерывного продолжения

регуляризованного решения (р1е(х), X е [о, Ь ] на отрезок 6, Ь] функцией ЫгДх) - решением уравнения (9) необходимо, чтобы правая часть этого уравнения была возмущена только и только на величину е(рх (о).

Теорема 2. Пусть выполняются условия а-в и уравнение (7) имеет решение Ы (х) е С7 [Ь, Ь], о < у < 1 . Тогда при е ^ о решение уравнения (9)

о

о

о

равномерно сходится к решению уравнения (7), причем

\ (х)- \ (х)|С[Ь ,Ь] < /2е + /3еУ, о < ^ /3 = СОШ*. Следствие 2. При выполнении условий теоремы 2 решение уравнения (7) единственно в пространстве Су[Ьх, Ь], о < у < 1.

Доказательство теоремы 2 проведено в работе [2, с. 49-51] и используются аналогичные выкладки как в доказательстве теоремы 1.

Вышеизложенные теоремы и следствия позволяют заключить, что имеет место равномерная сходимость функции \(х) к решению \(х) уравнения (1) для всех

х е[о, Ь], при е ^ о, где функции \(х) и \(х) определены по правилу

р (х) = Ы (х> х е [о, Ьх ] ^ = \ (х> х е [о, Ь1] е Ы(х>, X е[Ь1,Ь] \ (х> х е[Ь1, Ь1

причем выполняются условия согласования \ (Ь ) = \2е (Ь )' \ (Ь ) = \ (Ь )

Литература

1. Каракеев Т. Т., Рустамова Д. К. Регуляризация и метод квадратур для линейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. - Бишкек: Илим, 2009 - Вып. 40. - Стр. 127-132.

2. Омуров Т. Д., Каракеев Т. Т. Регуляризация и численные методы решения обратных и нелокальных краевых задач. - Бишкек, «Илим» 2006 г. - 164 с.

3. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. - Москва: Наука, 1967. - 472 с.

Расчет электрической дуги в канале в аксиальном магнитном поле Урусова И. Р.1, Урусова Т. Э.2

'Урусова Индира Руслановна / Urusova Indira Ruslanovna - кандидат физико-математических

наук, старший научный сотрудник; 2Урусова Толкун Эсеновна / Urusova Tolkun Esenovna - кандидат физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник, Институт физико-технических проблем и материаловедения, Национальная академия наук Кыргызской Республики, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в рамках трехмерной нестационарной математической модели в приближении частичного локального термодинамического равновесия плазмы выполнен расчет электрической дуги постоянного тока, горящей в канале во внешнем аксиальном магнитном поле. По результатам расчета получена винтовая форма столба дуги.

Ключевые слова: электрическая дуга, численное моделирование, трехмерная нестационарная математическая модель, внешнее магнитное поле, винтовая форма дуги.

Введение. Известно, что цилиндрическая осевая симметрия протяженной электрической дуги при наложении внешнего аксиального магнитного поля (ВАМП) может нарушаться, и дуга принимает винтовую пространственную форму [1-3]. Принято считать, что причиной перехода столба дуги от цилиндрической формы к винтовой являются малые флуктуации параметров дуговой плазмы.