Метод регуляризации двумерных интегральных уравнений Вольтерра-Фредгольма первого рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Regularization method two-dimensional integral equations Volterra-Fredholm first kind Ryspaev A.

Метод регуляризации двумерных интегральных уравнений Вольтерра-Фредгольма первого рода Рыспаев А. О.

Рыспаев Амантур Орозалиевич /Ryspaev Amantur - кандидат физико-математических наук, докторант, кафедра математического анализа, факультет математики, информатики и кибернетики, Кыргызский национальный университет им. Жусупа Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в данной работе с учетом аналитико-регуляризационных методов исследованы двумерные интегральные уравнения Вольтерра-Фредгольма первого рода. Устанавливаются необходимые и достаточные условия разрешимости и их регуляризация в пространствах с равномерной метрикой.

Abstract: in this work with on analytic-regularizations method investigated a two-dimensional integral equation Volterra-Fredholm of the first kind. Installed necessary and sufficient conditions for the solvability and regularizability in the spaces with the uniform metric.

Ключевые слова: регуляризация, уравнение Вольтерра-Фредгольма, обратная задача, метод регуляризации.

Keywords: regularization, Volterra-Fredholm equation, inverse problem, method of regularization. Введение

В работе рассматриваются двумерные интегральные уравнения Вольтерра-Фредгольма первого рода [1]. Такие классы интегральных уравнений встречаются во многих обратных задачах математической физики [3, 5].

Рассмотрим

t TNo(x) Г s Л

G0z = J K(x, t, s)z(x, s)drds + AJ J H x, t, s,t, J z(t, s')ds' dtds = F(x, t), (1) 0 0 0 V о у

где K, H, F — П - мерные векторные функции с гладкостями требуемого порядка

0 < Л — параметр (не является характеристическим значением уравнения), z(x, t) — искомая П - мерная векторная функция. Исходные предположения:

ао 0 < N(x) < x < X, N0x) е C'[0, X];

а2) K(x, t, s) е C„0,0,1 (D0), D0 = {(x, t, s): x е [0, X], t е [0, T], 0 < s < t < T},

K0 (x, t) = K (x, t, s), K0 (x, t) — имеет собственное действительное значение

Л(t) >а> 0,(i = \n),K(x,t,s)Ii=, = 0; аз) F (x, t) е C0nl (D), D = [0, X ] x [0, T ];

а4) H(x,t,s, t,l) е C\(D), D = {(x,t,s,t,l):(x,t,s) е D0,0 < t < N0 < x <X, 0 < l < N0(x)};

а5) z(x, 0) = q = const, Gq — оператор типа Вольтерра-Фредгольма. При вышеуказанных условиях уравнение (1) приводится к виду:

t s T N>( s) / s Л

JKs(x,t,s)Jz(x,s')ds'ds~aJ J Ih(x,t,s,t,Jz(s')ds' drds = F(x,t), (2) 0 0 0 0 V 0 у

(2) получается из системы (1) с учетом метода интегрирования по частям.

Введя подстановку вида

I

| х, з^з = в( х, г), в( х,0) = 0,

где х(X, г) = в{ (X, г), V(X, г) £ Д из (2), получим

Т Ы„( х)

(О0в)(х, г) = | К (х, г, з)в(X, -¿I | Н, (X, г, з,т, в(т, = '(х, г),

где К0 (х, г) = К (х, г, г)'■ ¿(г) ^ а > 0,(1 = - п), К (х, г, з) = К (х, г, з).

Докажем регуляризируемость систем (3), (4). Для этого введем систему вида

8ве (X, г) + (Ове)(X, г) = '(X, г), ве (х, 0) = 0,

3 ^ (х, г) + | ^ (х, з^з = в (х, г) + 3 2( х, 0),

(5)

где 8,3 - малые параметры.

Если Ж (х, г,0,8) - матричная функция Коши системы [2,6]:

в, + - К0ве = х, г ),ве( х,0) = 0,

8

-I

К0(т^т

Ж = е

и на основе неравенства Важевского[4]:

(з < г),

(6)

-I

adт 8

\\Ж(х, г, з, 8)|| <4пе з 8 , (з < г). (7)

Следовательно, на основе (6) из (7) относительно в8 (X, г) получим:

в (х, г) = - -'ж (х, г, з, в)К0 (х, з) ••! - -1 [К (х, з, з') - К (х, з', з' )]ве (х, з' ^з' +

, г , гщ(х)

+--[К(X,г, з') - К(х, з', з')1^с(х, з'^з'— ¿I I [Н,(х,г, з',т,вс(т, з')) -8 0 8 0 0

-Н(х, з, з', т, в(Т, з'))^з'-(х, з)-^(х,г)) |dз --Ж(х,г,0,8) х

8 I 8

(8)

|[ К (х, г, з') - К (х, з', з' )]р„ (X, з' Уз' -¿I I Н (х,г, з' ,т,в (Т, з' ))dтdз' +F (х, г)1^ (Н0вс )(х,(,8). 0 0 0 I

Аналогично получим

1 ' 1

^ (х, г) = —г i \ (X, г, з, 3)(в (х, з) - в (х, г)^з + - \ (х, г, 0,3)в (х, г) +

3 0 3

-

(X, г, 0,3)2(хX, 0), |\\ (X, г, 0,3)|| <^Пе~5'.

(9)

- з )

1

—г

3

где Ж0(X, г, з,3) = е 3 - ,(з < г), \ (х, г,0,3)\\ <4пе

Оценивая (8) получим

(2уЩьщ С0Г0 +^Пьке-1-) •Т + 2ЬнуШ\С0Г0Л+ Ь^-Щ - е-

а

а

хТ|Щс + Ь \С04П+ЛЬнуШ-е-1) = п а а

т РМс + М-;

0

и 0

0

ш0 Щ = {(2^, -1 С0Т0 +4П1ке-1-) Т + \ин4П -1 С0Т0 Щ +1Н4П - е-1!

а а \ а а

да

Т0 = зир||К0(х,г)||, С0 = |е""тЛх = 1,

0

М = (2^ЬК -\с0Т0 +4Пьке1 -1)• Т + (I,-1СоЛ/П + Щ^л/" 1 е—).

1 а а а а

Если

т0(Щ) < 1, (11)

то из (10) получим

< (1 - ш0 )—М. (12)

},

Поэтому учитывая 0s = 0 + 5s, имеем:

1 ' Г 1 1

^ (x, t) = — j W(x, t, s, s)K0 (x, s) i. — j [K (x, s, s') - K (x, s', s')]3s (x, s')ds +

s 0 l s 0

1 < 1 T N0 (x)

+- j [ K ( x, t, s') - K ( x, s', s')]3s ( x, s')ds' + - àJ j [H, ( x, s, s', z, 0(z, s')) + s 0 s 0 0

1 TN>( x )

+3s (z, s') - H(x, s, s', z, 0(z, s'))]dzds' — àJ j [H(x, t, s', z, 0(z, s')) +3s (z, s') -

s 00

H ( x, t, s', z, 0(z, s'))]drds'} ds - - W ( x, t, 0, s) - if [ K ( x, t, s') - K ( x, s', s')]3s ( x, s')ds' -

s 10

. T N0 (x)

-àJ J [H(x,t,s',z,0(z,s')) + Zs(z,s')-Ht(x,t,s',z,0(z,s'))]dzds'}ds + (13)

00

+A(x, t,s,0) = (D-3S)(x, t,s),

T

A( x, t, s,0) = — j W (x, t, s, s)K0 (x, s)(0(x, t) - 0( x, s))ds - W0 ( x, t ,0, s)0( x, t ), (14)

s 0

< ( L0T0Jn—£ + L0Jn — e^1)s = Q-s. (15) a a

Следовательно, на основе (13)-(15), получим оценку:

||Зе|С < (1 -т0)~1д1е = М2(е), (16)

11 иси

Значит ——0 > 0, У(х, г) е Б Далее, с учетом 2д = 2 + ¡¡д, получим

¡д( х, í) = -^г }^(х, г, з,8)(ве(х, з)-в(х, з))ф + 1(ве(х, 0-0(х, 0)-^0(х, г,0,д) х (п)

х[ z(x, t) - z( x,0)] - - jW0( x, t, s, 5)( z( x, t) - z( x, s))ds.

0

Тогда оценивая (17), имеем:

2 л/й"м2(е)+^д

д 2

где 0 < I — коэффициент Липшица 2 по ? .

\\ЦС„ <^^ + 2LzJnS = Q0(s,S). (18)

1 '

Так как д о (3, г) = (х, ',0, 3)[х,') - г(х,о)] - -|(х,', :,3)(г(х,') - х, :))ск,

3 0

то оценивая, имеем

--' -\Г~' --и-*) --1

||Л0||<л/йе 3'\г(х,') - г(х,0)\ + — | е 3' * \г(х,') - г(х, <4пе 3Ь2 ■' +

3 о

•¿п'г --('-!)т , ^ , т , I—-' I—-' ГС --('-^ , ч (19) -I е 3 Ь2 (' - = Ь2 (V пе 3 '-Ы пе 3 -V п I е 3 ds) =

3 о о

-

Ь24п8(\ - е3 ) < Ь^пд. Поэтому учитывая (16), (19) и оценивая (17), получим (18), что требовалось доказать. Если предположим, что[8]:

М- ---—-0, (21)

то следует

& --о--о > 0 , (х 0 —-г(х 0 £ (22)

Отсюда видно, что (в-, -—о-- 1), x,0 £ С.

Теорема 1. При условиях (а1- а5), (11) то существует единственная функция х,') £ С (С), причем регуляризируется в этом пространстве.

В результате исследований системным методом регуляризации получены достаточные условия разрешимости интегральных уравнений Вольтерра-Фредгольма первого рода в пространствах с равномерной метрикой. Метод данной работы может применяться к обратным задачам более сложной структуры, сводящихся к интегральным уравнениям Вольтерра-Фредгольма первого рода.

Литература

1. Белоцерковский С. М., Лифанов И. К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука, 1985. С. 179.

2. Булатов М. В. Регуляризация вырожденных систем интегральных уравнений Вольтерра. ЖВМ и МФ, 2002. Т. 42. № 3. С. 330-335.

3. Бухгейм А. Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука, 1983. 207 с.

4. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

5. Омуров Т. Д. Методы регуляризации интегральных уравнений Вольтерра первого и третьего рода. Бишкек: Илим, 2003. 162 с.

6. Омуров Т. Д., Каракеев Т. Т. Регуляризация и численные методы решения обратных и нелокальных краевых задач. Бишкек: Илим, 2006. 164 с.

6. Омуров Т. Д., Рыспаев А. О. Обратные задачи типа Бона-Махони в неограниченной области // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. Бишкек: Илим, 2009. С. 111-115.

7. Омуров Т. Д., Рыспаев А. О. Многомерные обратные задачи в неограниченной области // Вестник КНУ, 2010. (4). С. 28-36.