Регуляризация обратных задач, сводящихся к уравнениям Вольтерра-Глушкова первого рода с особым решением Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ, СВОДЯЩИХСЯ К УРАВНЕНИЯМ ВОЛЬТЕРРА-ГЛУШКОВА ПЕРВОГО РОДА С ОСОБЫМ РЕШЕНИЕМ Омуров Т.Д.1, Рыспаев А.О.2, Шабданов Дж.3 Em ail: [email protected]

'Омуров Таалайбек Дардайылович - доктор физико-математических наук, профессор; 2Рыспаев Амантур Орозалиевич - кандидат физико-математических наук, докторант; 3Шабданов Джангазы - старший преподаватель, кафедра математического анализа и дифференциальных уравнений, Кыргызский национальный университет им. Жусупа Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в данной работе рассмотрена обратная задача, где вырождается неклассическое интегральное уравнение Вольтерра-Глушкова первого рода с особым решением. На основе метода регуляризации доказаны единственность и условная устойчивость решения обратной задачи в классе wq (D). При этом для доказательства теории устойчивости

решений для указанных уравнений были разработаны регуляризационные методы решений в определенных пространствах, а также построено особое решение этих задач. Аналогичные задачи [2], сводящиеся к корректным и некорректным классическим уравнениям Вольтерра первого рода, встречаются в задачах динамики почвенной влаги, задачах интерпретации показаний прибора и др.

Ключевые слова: обратные задачи, условно-корректные уравнения, уравнения Вольтерра первого рода, регуляризация, вырожденное уравнение, особое решение.

REGULARIZATION OF INVERSE PROBLEMS REDUCED TO EQUATIONS VOLTERRA-GLUSHKOVA OF THE FIRST KIND WITH A

SPECIAL SOLVING Omurov T.D.1, Ryspaev A.O.2, Shabdanov J.3

'Omurov Taalaibek Dardayilovich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor; 2Ryspaev Amantur Orozalievich - Candidate of Physical and Mathematical sciences, a doctoral student; 3Shabdanov Dzhangazy - Senior Lecturer, DEPARTAMENT OF MATHEMATICAL ANALYSIS AND DIFFERENTIAL EQUATIONS, KYRGYZ NATIONAL UNIVERSITY NAMED AFTER ZHUSUP BALASAGYN, BISHKEK, REPUBLIC OFKYRGYZSTAN

Abstract: in this work is considered the inverse problem, where degenerates non-classical integral equation Volterra-Glushkova of the first kind, with special decision. On the basis of the regularization method it is proved of the uniqueness and conditional stability of the inverse problem solution in the class Wq (D). In addition, for evidence the theory of stability of solutions of these regularization equations techniques solutions have been developed in certain spaces, and built a special solution of these problems. Similar problems [2] boil down to the correct and incorrect classical equations Volterra of the first kind meet in the problems of the dynamics of soil moisture, the problems of interpretation of the device readings, and others.

Keywords: inverse problems, conditionally correct equations, Volterra equations of the first kind, regularization, the degenerate equation, special solving.

УДК 517.9

Введение

Первые результаты по исследованиям некорректных уравнений Вольтерра первого рода относятся к работам [4, 11]. Далее, различными авторами были изучены классы корректных и некорректных обратных задач для дифференциальных уравнений в частных производных, где вырождается уравнение выше отмеченного типа [2, 3, 5, 8-10]. В настоящей работе изучается обратная задача типа Аллера сводящиеся в интегральное уравнение типа Вольтерра-Глушкова

первого рода [1, 7] с особым решением. В связи с этим рассмотрим обратную задачу, связанная с динамикой почвенной влаги и грунтовой воды [6, 8], где надо определить распределение влаги и (х, Т) в почвенном слое 0 < х < И для всех времен t е [0, Т] из уравнение:

р. X

Лых, + Пых + — \ и(4, № = / (Т) (1)

от о

если распределение влаги на поверхности почвы: и (0, Т) = т(Т), 0 < ? < Т считается

неизвестным, при этом известны:

а) глубинный ход влажности в начальный момент:

и (X, 0) = 0, 0 < х< И ; (2)

б) распределение влаги в слое х = х0 :

и(х0, Т) = g(t)0 < т < Т; (3)

в) поток влаги на поверхности почвы: П(0,Т) = /(Т),0 < Т < Т;

г) т (0) = 0, 8(0) = 0, Д, Л, П = сопэТ > 0, где

ь ( Т )

т(Т) = Д | к(Т, — г(Т), (Ф)

а ( Т )

д) а(Т), Ь(Т); а(0) = Ь(0) = 0; к(Т, з) еС1,0(П0); к(Т, Т) > 0,(к(0,0) ф 0),

П ={(Т,з) : 0 < а(Т) < ^ < Ь(Т) < Т < Т}; ж) у(Т) еС1 [0, Т], у(0) ф0,

здесь (ж) означает, что функция в(Т) й С[0,Т], т.е. является обобщенной функцией [3, 8]. В общем, при указанных условиях, требуется найти решение (и(х, Т); в(Т)) еШч (П) в области п = {(х,Т)|0 < х < к, 0 < Т < Т} исходной задачи. Предполагаются, что

известные функции непрерывны и допускают требуемые гладкости в П х П, где П — замыкание П .

Жд(П) = {(х,Т) е П : и е С1Д(П); ве Х'?(0,Т), 2 < ^ < (}. 1 Чтобы решить поставленную задачу (1)-(3) в уравнения (1) эквивалентно преобразуем к виду

(Т Т х V Т

и = т(Т) + П0I — | Пои(х, э^э — (11 и(4, Т) d%dv + х| / (з ) ds, (4)

0 0 0 0 0

П = пл1, Л-1 =(0, У0(Т) = л—/ (Т). Уравнение (4) содержит двух неизвестных функции (и, т), поэтому на основе (3) из (4) следует

Т Т х0 V Т (5)

т(Т) + ПI т(s)ds = 8(Т) + {П0 |и(х0, + (0 II и(4, Т) d4dv — х01 /0 (з ) ds}. 0 0 0 0 0 Следовательно, с учетом (4), (5) имеем

Т х0 V Т Т

и = я(Т) + {ПI и(х, + (11 и(4, Т) d4dv — х I / (3) ds} — | Бои(х, —

0 0 0 0 0

(6)

11 и(4,Т) d4dv + хI/ = (БУ)(х, Т),

0 0 0

где (6) является уравнением Вольтерра-Фредгольма второго рода. Поэтому при выполнении условии

ИБ < 1,

Б : ^ (Ц0) ^ ^ (U0), (7)

^г(ио) = {и е Сиф) : \и — и0\ < г,У(х,X) е 5),

оператора Б допускает условие принципа Банаха[12], это возможно, так как 50, Ро —

можно выбрать, чтобы имело место (7). Тогда уравнение (6) разрешимо в С1'1 (5) . Следовательно, решение уравнение (6) построим на основе метода Пикара [12]:

ип = Бип—1, (8)

и - нулевое приближение может быть выбрана произвольно из . При этом на основе выводов метода Пикара получим, что последовательность функции \ип }о сходится к решению уравнения (6) в смысле Си( 5) , так как

||ий+1 — и\\с < (ьв г1 г Г<Г0. (9) Лемма 1. В условиях (в, г), (7) и (9) следует, что функция и(X, X) определяется единственным образом в Си( 5).

Замечание 1. Если т(Х) была бы произвольная неизвестная функция, то из (5):

г(х) = —5+ ), (г(0) = 0,^(0) = 0,^ е С1[0,Г]),

о

X Х0 V X

<М0 - Я (X) + {50 \ и(х0,5)? + Р0 \\и(£, X) — Х0 \ /0 (5 ) Й5).

с учетом резольвенты R(X, 5) -—П0е~ 50(1—' следовало бы

X

т(г) = —51 e-5о(X—s + ху(г),

r(X) = — | е-^'^{я (5) + [50¡и (х0, + 0О ¡¡и (£, 5) Й^ — Х0 / / ( 5) Л'])^ + (10)

0 0 0 0 0

+Я(X) + {50 ¡и(X,, 5)^5 + Р0]}и(£, X) — Х0 // (5) Ж) - ^(X).

0 0 0 0

А это означает, что задача была бы корректно поставленная в (С1'1(5);С1[0,Т]), так как правая сторона (10) определяется единственным образом в С1 [0, Т ].

Но в нашем случае, функция т(1) задается в виде (*). Поэтому, придется учитывать неизвестную функцию 0(X ) .

П. Пусть т(1) определяется по правилу (*), где содержится неизвестная функция

0(1) е И (0,Т) , то на основе (5) получим

ЪЦ)

Н0-л / к(X,5)0(5)ЙЯ = ^(X), (11), где

а (X )

0

00

0

0

b (t)

r(t) = Л j h(t,s)в(s)ds -y(t),

a (t)

F0(t) = y(t) + F(t), (y(0) * 0, см.(ж)),

Fo(0) * 0, Fo(t) e C\0,T], (12)

||a(t)||C ,||b(t)||C < T; ||a'(t)||C ,||b'(t)||C ,|\y(t)||C < T,,(T0 = max(T,TJ), h(t,s) e C1,0(D); h(t,t) > 0,(h(0,0) *0); |h(t,s)-h(s,s)| <Lh\t-s|,

sup|h(t,s)| < , Д = {(t,s): 0 < a(t) < s < b(t) < t < T}.

. D

Поэтому, чтобы решить уравнение (11) модифицируем метод работы [8]. С этой целью предположим

Je(t) = ju(t)F)(t),0 < ju(t) e £(0,T], |(Gtf )(s) = e(s)(HO)(s), E(t) > m > 0. (13)

Тогда (11) преобразуем к виду

Фв = j E(s)e(s)ds - j j(s)(GO)(s)ds + (He)(t) = F0 (t). (14)

0 0 Введем возмущенную систему:

e0s(t) + (Ф0ДО = F0(t), (15)

в5 (0) = 1 F0(0),

(16)

s

и решение будем представлять в виде [8]

1

Os(t) = v(t) + s) +—n(t ,s), s

V(0) = 0, ^s (0) = 0, n(0,s) = ^(0),

где S — малый параметр. Следовательно, имеем

(17)

(18)

1 {

n(t, s) = — jE(s)n(s, s)ds + F (0), S 0

St) = -1 jE(s)#s (s)ds +1 (B[ v] + £ +1П] - B[v])(t) - v(t)

S J0 s s

t

jE(s)v(s)ds =B[v] + F (t), (20)

здесь

B[v] = j u(s)(Gv)(s)ds - Hv,

(21)

Fi(t) = F,(i) -F(0), e C*[0,T].

Если ^(t, s,s) - резольвента ядра (--E(s)) уравнений (18) и (19), где

(19)

0

0

s

Щ, 5, е) = —1Ж(X, 5, е)Е(5), 5 < X, 8

—11 Е(

Ж(X, 5,8) = е 8- , (22)

1 *

IЖ (X, 5, е) |< ехр(— / Е (5' ' ).

8 5

То из уравнений (18) и (19), получим

П(?,е) = ехр(—1 ¡¡Е(5)Й5)^0 (0), (23)

8 0

1 ' —О') Л' 1 1

&(X) = — — /е 8■ Е(5){(Б[и + 4 + -П] — Б[и](5) — (Б[и + £ + -П] —

8 * 8 8

, — ^ЕО?')?'?' , (24)

—Б^])^) — 8(и( 5) — и(1 )))Й5 +1 80 {(Б[и + &8 + 1] — БМ)^) —

—80^)) - Р1&8+А(и,8),

где

А(8, и) = —Ж(X, 0, 8)и(0 + 1 / Ж(X, 5, 8)Е(5)(о(5) — 0(0)^

Лемма 2. Пусть выполняются условия леммы 1 и (12), (13), (21) и (22). Тогда справедливы следующие выводы:

1. функция П^, 8) определяется единственным образом на [0, Т] и

1 ' П(^ < р0(0)|ехр(— ^(0), V«) = /Е(25) 8 0

2. уравнение (24) имеет единственное решение в С[0, Т], причем функция &(У, 8) равномерно сходится к нулю на [0, Т ] при е^-0;

3. если уравнение (20) имеет решение в С[0, Т], то уравнение (20) однозначно регуляризируемо в С[0, Т] , т.е.

«и« (X) + / Е(5)и (5)Й5 =Б[и« ] + ),

0

причем 0а (? ) сходится к решению (20) по норме С[0, Т] , когда а^0.

Доказательство. 1. В самом деле, из уравнения (19) учитывая резольвенту, получим (23). Далее, оценивая (23) с учетом (22), имеем оценку (25).

2. Пусть:

ЦАО,^ <30(01 ехр(—+ ^0(8°), 0 <0* < 1,

^(« ) = 8ир{|и(V 1 (X)) — о(V 1 (г))\; X — < «о) — модуль непрерывности,

и

V 1 (X) — обратная к функции Ц/(X),

|(Т)\\с < г, (0 < г = еажТ), \\4ЛТ)\\С < г2, (П2 = [0,Т] х (0,^], 0 < £ < £0 < 1), Ц = {£ (Т) е С[0, Т] / \4е (Т)| < г2 = сожТ, УТ е [0, Т]}. Тогда оценивая функцию 4е( Т) , имеем

4(т) < \рх4е\ +1А(|,£ < -1^(з)^^'^)){|Щ + |Б2|И + |Б34| +1А(|,е)|, (26) £ 0

где

Б14 < Щ С^Ш + г^ТЗе-33^! ¿,(0)|]| 4 С + 3(е-(£(—1■ 1(0)^ + Ц\\С + +Р(е(е(-1Т01 ¿,(0)| + 1(2Т 011 с + Р(е(£(-1Т0 |^0(0)|)}(^(Г) —

\БД < Щ\-{1к2Т,14||С + LкP(e-(s(X |¿0(0)1 + 2К0Т01ИС) — + (27)

«0

+Щ К(е(е(—%

\Б,Ц < 1ЩКД-2Т, 114|с + /? 21¿0(0) + С^г, + гг)2Т, + ((е-(е3—21¿0(0)|]||||с +

«0

[+€,[(* +4|| сС X ¿0(0) + ((е-(е(—2Т0| ¿0(0) + г^\Ц С+Р , ?

Следовательно, учитывая (27) и введя обозначения в (26), получим

||Б£\ + \Б2Ц < дх(еШТ) — <К*)) + N1 Щ\ (ху(Т) — ^))||е(Т)||С + е^е),

[|Б3|< N2 Щ ЮЦс + бэ(е),

например:

е02(е) = ЩKо((e-(е(-2То¿0(0)|,((>2; е¿(0,Г)),

и другие. Тогда из (26), следует

|е(Т)| <Ц +|А(|,е)| <ЩN0!ИеСТ)|с + 0*(е)Ч|А(|,е)||с, (28)

где

N0 = N1 + N2, & (е) = 01 (е) + 02 (е) + (е), d = Щ N0.

Так как

0*(е) ——^ Щ = d < 1, (29)

то из (28), имеем

(Т)|С <(1 — dГ^ОЦе) + ||А(|,е)||с] = М(е) (30)

Правая часть неравенства (30) стремится к нулю при равномерно на [0, Т]. 3. Используя подстановку:

I (У) = |(у) + Ма (у) , (**)

из уравнения

Т

,(Т) + ^1,(5)^ =Б[|«] + ^1(Т),

«I

0

Получим

1 л 1 1 1

^ (Т) = — -1 Ш(Т, 3, «)Е(з){- (Н ^)(з) — (Н ^ )(Т)} йЭ + - Ш(Т, 0,«)(Н ^ )(Т) +

« (31)

+А (I,«) ^ (Ри )(Т),

где

НФа- Б[и + Ма] — Б[и],

1 х

А (и,«) = —Ж(X, 0, «)и(х) + - Г Ж(X, 5,«)Е(5)(и(5) — IX)?

«0

Так как коэффициент Липшица оператора р : Йд < Й < 1, где d - коэффициент Липшица оператора р , то учитывая (31), имеем

||^(Х)||С < (1 — ?0)—1]|А(0,«)|^ , (32)

где правая часть (32) стремится к нулю при а^0. Поэтому, на основе (**) и (32) следует,

что

О« (х) - и^) — 0, « — 0, VX е [0, Т]. (33)

Здесь и (X) является решением уравнения:

и« (X) = — — ¡Ж ( X, 5, « )Е(5) 1 [(Би«)(5) — (Би« XX) + р (5) — р (X) ] +

ГУ * ГУ

а о

+1 Ж(х,0,«)[(Би«)(х) + р(х)] - ри««). «

(34)

Что и требовалось доказать.

Лемма 3. При выполнении условий леммы 2 единственным образом определяется функция 0 (X) по правилу (17), причем это функция при 8 —> 0 сходится к и(х) на (0, Т]. Доказательство. Так как справедливо (17), то имеет место:

8 — и(х)|<-|П(X,е)| + 118)1 < 110)1 М1), (35)

при правая часть стремится к нулю, когда Г е (0, Т], следовательно 0 (X) —> и(X) , а при Г=0: 08 (0) =1 Р0(0).

Замечание 2. Из неравенства (35) видно, что если

X е (0, Т], то при 8 —> 0: 0 (X) —> u(х), и эта сходимость считается неравномерной, так как в случае Г=0 имеет

особенность вида 0 (0) = 1Р (0) Поэтому регуляризирующие системы дают приближенное

8 8

решение уравнения (14) в смысле I? (0,Т), так как имеет место следующая лемма. Лемма 4. Если у(хуР е !:(0, Т) , то:

Р 1 Т

а!)^^, < С0 8?, С0 = Е1 [Т0рре-р?-р)? ,2 < д <Р, Т0 = \уР(*)

0

2?

а2)||0е(х)—и(х<\2дТМ1(8)+—(С08д)д]д = (2дТ0Мд(8)+2дС0д8Р—д)д,

Р 1

аз)|(Ф08)(х) — Р0е(х)\\ь, <М2 (8), когда

11^08— <А.(8) и М, (8) ,М2 (8), А, ———0.

Доказательство. Условия леммы 4: (а!, а2), очевидны. Действительно возведя в степень д обе части (25), (35) и проинтегрировав в пределах от 0 до Г, получим неравенства (аь а2). Далее, учитывая:

X X

(Ф0Е )(х) = ^(5)0 № — \u(s)(G0E)(s)ds +(Н0Е)(х),

(Ф&Ж) - (Ф6>г)(7) + £0s(t),

получим

||(Ф0ДО - F0(t)\\L4 «Ц^ХО - Fss(t)|\L4 +s\\eE(t)\L . (36) А так как

t

| (Ф00s)(t) - F0s(t) |=| e(0s)(t) - v(t) + sv(t) + JE(s)(£(s) +

0

1 t t 1

+—П(s,s) + v(s))ds - J,(s)(Gv)(s)ds - J,u(s)(G[4 + -П + v](s) -S 0 0 s

-(Gv)(s))ds + H[£ + -П + v](t) - (H[v])(t) + (H[v])(t) - F0(t) +

S

+F0(0) - F0(0) + F0(t) - F0S(t) | < S | 0s(t) - v(t) | +S|v(t)||c + M0(s)

S) +

+ |n(t,s)| +|F0(t) -F0s(t)|,

t t Л

| jE(s)£(s)ds - J,(s)[(G[£ + -П + v])(s) - (Gv)(s)]ds +H[v + £

+

+ -П](t) - (H[v])(t)| <M0(s), Vt g [0,T]. (37)

s

Поэтому, оценивая (37) и s\0e(t)\ по норме Lq( 0,T ) и учитывая (36), имеем

||(Ф0)(t) -F0s<M2(s), Vt G [0, T]. Лемма доказана.

Теорема 1. В условиях лемм 1-4 обратная задача (1)-(3) регуляризируема в Wq (D).

Список литературы / References

1. Апарцин А.С. Неклассические уравнения Вольтерра первого рода: теория и численные методы. Новосибирск: Наука. Сиб. изд. фирма РАН, 1999. 193 с.

2. БухгеймА.Л. Уравнение Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск, 1983. 207 с.

3. Иманалиев М.И. Обобщенные решения интегральных уравнений первого рода. Фрунзе: Илим, 1981. 144 с.

4. ЛаврентьевМ.М. Об интегральных уравнениях первого рода // Докл., 1959. 31-33 с.

5. Магницкий Н.А. О приближенном решении некоторых интегральных уравнений Вольтерра первого рода // Вестник МГУ, 1978. 91-96 с.

6. Нахушев А.М. Краевые задачи для нагруженных интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги // Дифференциальные уравнения, 1979. Т. 9. № 1. C. 96-105.

7. Наубетова Ш.А., Яценко Ю.П. Регуляризирующие алгоритмы решения интегральных уравнений Вольтерра I рода с переменным нижним пределом // Приближенные методы анализа и их приложения. Иркутск, 1988. С. 81-91.

8. Омуров Т.Д., Рыспаев А.О., Омуров М.Т. Обратные задачи в приложениях математической физики. КНУ им. Ж. Баласагына. Б., 2014. 192 с.

9. Омуров Т.Д., Рыспаев А.О., Омуров М.Т. Многомерная обратная задача с условиями типа Гурса //Дифференциальные уравнения и процессы управления. Санкт-Петербург. Эл. № 4. ФС77 - 39410, 2016.

10. Сергеев В.О. Регуляризация уравнений Вольтерра первого рода // Докл. АН СССР, 1971. Т. 197. № 3. С. 531-534.

11. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. 287 с.

12. Треногин В.А. Функциональный анализ. Москва: Наука, 1980. 496 с.

АНАЛОГ ВПОЛНЕ РЕГУЛЯРНЫХ УЛЬТРАФИЛЬТРОВ НА РАВНОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ Чекеев А.А.1, Абдраимова М.А.2 Email: [email protected]

1Чекеев Асылбек Асакеевич — хабилитированный доктор математики, доктор физико-математических наук, профессор;

2АбдраимоваМахабат Асанбековна — кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра алгебры, геометрии, топологии и преподавания высшей математики, факультет математики и информатики, Кыргызский национальный университет, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в работе на равномерном пространстве построен равномерный аналог вполне регулярных ультрафильтров П.С. Александрова [1] - U — ультрафильтры. Посредством U — функции на равномерном пространстве определены U — отделенные, U — вложенные подмножества, а так же U — системы. Всякая U — центрированная система является U — фильтром. На основании принципа максимальности Куратовского-Цорна: всякая U — центрированная система содержится в максимальной U — центрированной системе, а всякая максимальная U — центрированная система называется U — ультрафильтром. Установлены основные свойства U — ультрафильтров, в частности, доказано, что если объединение конечной системы U — открытых множеств принадлежит U — ультрафильтру, то существует хотя бы один элемент этой системы, принадлежащий этому U — ультрафильтру.

Ключевые слова: U — открытые, U — замкнутые множества, U — фильтры, U — ультрафильтры.

AN ANALOGUE OF COMPLETELY REGULAR ULTRAFILTERES ON A UNIFORM SPACE Chekeev AA.1, Abdraimova MA.2

'Chekeev Asylbek Asakeevich — Habilitated Doctor of Mathematics, Doctor of Physical and Mathematical

Sciences, Professor; 2Abdraimova Mahabat Asanbekovna — PhD Mathematics, Associate Professor, DEPARTMENT OF ALGEBRA, GEOMETRY, TOPOLOGY AND TEACHING OF MATHEMATICS, FACULTY

OF MATHEMATICS AND INFORMATICS, KYRGYZNATIONAL UNIVERSITY, BISHKEK, REPUBLIC OFKYRGYZSTAN

Abstract: in paper on a uniform space the uniform analogue of completely regular ultrafilteres are constructed by P.S. Alexandroff [1] - U — ultrafilteres. By means of U — function on a uniform space U — separable, U — embedded subsets and U — system are determined. Any U — centered system is U — filter. On the basis of the Kuratowski - Zorn maximum principle: every U — centered system is contained in a maximal U — centered system, and any maximal U — centered system is called an U — ultrafilter. The basic properties of U — ultrafilteres are established, in particular, it is proved that if the union of a finite system of U — open sets belongs to the U — ultrafilter, then, there is at least one element of that system belonging to the U — ultrafilter. Keywords: U — open, U — closed sets, U — filter, U — ultrafilteres.

УДК 515.12

Обозначения использованы из книги Дж. Исбелла [5]. Необходимые факты теории равномерных пространств взяты из книги А.А. Борубаева [3], а для топологических пространств - из книги Р. Энгелькинга [10] и А.В. Архангельского и В.И. Пономарёва [2].