Обратно-нелокальная задача в неограниченной области, где вырождается неклассическое интегральное уравнение Вольтерра третьего рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Филлипов Е. А., Карелин А. И., Лобас О. П. и др. Состояние и тенденция развития физико-химических методов получения микросферических частиц ядерного топлива // Радиохимия, 1984. № 2. С. 225.

4. Мелихар Ф., Бенядик А. Приготовление монодисперсных сферических частиц в жидкости методом золь-гель // Jadema energie, 1985. V. 31. № 1. P. 10.

5. Лобас О. П., Никифоров Б. П., Мишина Л. А. Получение микросферических частиц в среде перфторуглеводородов с использованием двухжидкостного диспергатора // Химическая технология и автоматизация предприятий ядерного топливного цикла. Сборник научных трудов. Томск: ТПУ, 1999. С. 47.

6. Филлипов Е. А., Карелин А. И., Лобас О. П., Папков А. С., Никифоров Б. П., Жиганов А. Н., Шамин В. И. Устройство для получения микросферических частиц. // Экспресс-информация. Серия ХМ-! Химическое и нефтеперерабатывающее машиностроение, 1984. № 14. С. 4.

7. РоманковП. Г., КурочкинаМ. И. Гидромеханические процессы химической технологии. Л.: Химия, 1982. С. 288.

BACK-NONLOCAL PROBLEMS IN UNLIMITED AREAS WHERE DEGENERATE NON-CLASSICAL VOLTERRA INTEGRAL EQUATION

OF THE THIRD KIND Omurov T.1, Alybaev A.2, Dzhumagulov K.3 ОБРАТНО-НЕЛОКАЛЬНАЯ ЗАДАЧА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ, ГДЕ ВЫРОЖДАЕТСЯ НЕКЛАССИЧЕСКОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ

ВОЛЬТЕРРА ТРЕТЬЕГО РОДА Омуров Т. Д.1, Алыбаев А. М.2, Джумагулов К. Р.3

'Омуров Таалайбек Дардайылович / Omurov Taalaibek - доктор физико-математических наук, профессор,

кафедра математического анализа;

2Алыбаев АнарбекМасалбекович /Alybaev Anarbek - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей математики и образовательных технологий;

3Джумагулов Кубат Рыспекович /Dzhumagulov Kubat — аспирант, кафедра математического анализа, старший преподаватель, Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: на сегодняшний день нельзя не затронуть высокую актуальность исследований в области теории интегральных уравнений первого и третьего рода, а также важность прикладного характера отдельных вопросов теории обратных задач математической физики, быстрыми темпами развивающейся в тесном контакте с теорией интегральных уравнений. В данной работе используются методы сведения обратных задач к интегральным уравнениям типа Вольтерра, а также сделано обобщение результатов исследований интегрального уравнения типа Вольтерра третьего рода для обратно-нелокальной задачи с интегральной зависимостью в неограниченной области. Для исследования разрешимости уравнения использованы методы регуляризации и интегральных преобразований. Abstract: today it is impossible not to touch the high relevance of research in the theory of integral equations of the first and the third kind, as well as the importance of the applied nature of certain questions in the theory of inverse problems of mathematical physics, rapidly developing in close contact with the theory of integral equations. In this study we used information methods of inverse problems to integral equations of Volterra type and made a generalization of the results of research Volterra integral equation of the third kind of back-nonlocal problem with integral dependence in an unbounded domain. To investigate the solvability of the equation used regularization methods and integral transforms.

Ключевые слова: обратно-нелокальная задача, регуляризация, вырожденное уравнение, неограниченная область, коэффициент Липшица.

Keywords: inverse non-local problem, regularization, the degenerate equation, unbounded domain, Lipschitz coefficient.

Введение

В настоящее время исследован ряд вопросов теории интегральных уравнений третьего рода, к которым сводятся обратные задачи математической физики [2, 3, 5, 7, 8] и др. Ведущую роль в

исследованиях занимают обратные задачи, где вырождаются интегральные уравнения Вольтерра первого и третьего рода [1, 2, 4, 6, 10]. При этом для доказательства устойчивости решений указанных уравнений разработаны регуляризационные методы. В данной работе рассмотрена обратная задача, где вырождается неклассическое интегральное уравнение Вольтерра третьего рода.

I. Пусть рассматривается уравнение вида

Г ^ += () + f а, ж, U а, х)),

N (t)

(Az)(t) = pz + jK (t, s)z(s)ds + j K2(t, s)z(s)ds.

(1)

с условиями

(2)

U{1) t|t .0 = Ф (X), * £ R,(i = 0,1)

3

(Ut(t,x,) + Wx(t,x,.)) = g(t),t e [0,T], (3)

i=1

3

fi = ^at * 0, (4) i=1

где 0 < Л, CCi = Const, f, p, K, N, (pi, g, - известные данные, причем

f e С\П\ p(t)e С[0,Г], Q = [0,T]xR, p(t)>0, Vt e [0,T), p(T) = 0; Q = (0,T)xR, K(t,s) eC01 (D),(, = 1,2), K(t,t) 0, K2(t,N(t)) = 0, D = {(t,s): 0 < s < t < T}; N(0) = 0, 0 < N (t) < t < T.

Так как (1)-(3) обратно-нелокальная задача, то искомыми функциями являются

M = (U, z) e W (Q) = {(U, z): U e C21 (Q), z e C[0, T ]},

IM W = INc2,1(Q)+INUt ].

II. Предположим, что имеет место

Ut + ЛПХ = u(t, x), V(t,x) e Q,

Тогда в соответствии с данным выражением (5) получим

(5)

U = p0 (x -Л/) + Ju (г, x — Л^ — г)) dr = (Bu)(t, x).

(6)

Далее, дифференцируя выражение (6) по переменным t и x соответственно, имеем:

t

Ut = p0/ • (—Л) + u(t, x) + (г, x — Л(/ — г))(-Л)Jdr,

0

t

U = Poz + Ju (г, x — Л(/ — r))dr,(l = x — л/, ^ = x — Л(/ — г)).

(7)

Отсюда видно, что если второе уравнение из системы (7), умножив на коэффициент X, подставим в уравнение (5), то получим тождество, поэтому, учитывая (5), (6) из уравнения (1) следует:

и = (Аг)^) + f (I, х, (Би)(г, х)), (8)

u

^ p (x) + Лр0 (x) = p (x), Vx e R. (9)

It=0 Г1К--У ■ --Г0У Следовательно, интегрируя (8) с условием (9) получим

0

0

ы^, x) = (р2 (x) +1 [(Az)(т) + f (т, x, (Вы)(т, х))^т = Qы(t, x). (10)

0

Уравнение (10) содержит две неизвестные функции, то есть (и, z). Поэтому для нахождения функции учитывая условия задачи (3), (5) и (10), при этом, требуя X = X , имеем

g(t) = £ аы(1, X) = £ а \(рг(х.) + } (Az)(т)dт + } f (т, х, (Вы)(т, х (11)

1=1 ы=1 I 0 0 )

Отсюда следует

' 3 '

j (AzXr)dT = рл \ g (t) рг{ xt) + \f (т, x, (BulT, xt ))dr

К B1). (12)

Подставляя (12) в уравнение (10), имеем t

u = р2 (x) + j f (т, x, (Ви)(т, x))dT + Bu(t) = (Hu)(t, x). (13) 0

Очевидно, что уравнение (13) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода по переменной t е [0, T]. И нетрудно увидеть однозначную разрешимость данного уравнения в

пространстве C1 (q), когда выполняются условия [9]:

1) LH <1 , LH - коэффициент Липшица оператора Н,

2) H: Sr (u0) ^ Sr(u0), Sr (u0) = {u е C1 (Q): |u - u0| < r = const, V(t, x) eQ|.

Лемма 1. При условиях 1) и 2), уравнение (13) разрешимо в пространстве C1 (Q) ■

Действительно, когда выполняются условия 1) и 2), то по отношению уравнения (13) применимо условие теоремы Банаха [9], и, следовательно, выполняется условие однозначной разрешимости данного уравнения в указанном пространстве. Также следует заметить, что при невыполнении условия 1), можно доказать указанные принципы теоремы Банаха, используя метод склеивания [8]. В этом случае идея метода состоит в том, что отрезок делим на элементарные части равномерно с шагом n, чтобы на каждой части выполнялись условия 1) и 2). Лемма 1 доказана.

Ш. Далее, чтобы найти неизвестную функцию z(t), поступим следующим образом. Правую часть

уравнения (12) обозначим через функцию F(t) , причем F(0) = 0, F(t) е C1 [0, T] тогда имеем

t

J (Az)(T)dT = F (t), (14)

0

или, дифференцируя равенство (14) по переменной t, получим (Az)(t) = F1 (t) , придавая значение оператору Az из условия задачи (1), запишем

t N(t)

pz + J (t, s)z(s)ds + J K2 (t, s)z(s)ds = F' (t),

0 0 (15)

Z=0 = F '(0) p\0) = q0 = const,

где (15) - это интегральное уравнение Вольтерра третьего рода.

Замечание 1. Если F(0) Ф 0 , то (14) представляет собой некорректно поставленную задачу, этот случай подробно рассмотрен в работе [8], где установлена условная корректность интегрального уравнения Вольтерра первого рода, а также построено особое решение.

Далее, интегрируя по частям левую часть уравнения (15), имеем

г г г Щг)

0 0 0 0 0

или запишем в виде

t t t N (t ) s

p(t)z(t) + K (t, t)Jz(s)ds — JKu(t, s)J z(z)dzds — J K2s(t, s)Jz(z)dzds = F'(t)

p(t )0'(t) + K0 (t )0(t) = F '(t) + G(0),

t

J z(s)ds = 0(t ),0(0) = 0,

(16)

N ( i )

С0-|ки(г, 5)<9(5>^ + | К2ж(г, 5)<9(5>^.

0 0

Докажем, что система (16) регуляризируема [7] в , для этого введем возмущенную

систему:

(е + р(г ))0е' (г) + К, (г )0Е(г) - (О0Е)(г) + ад,

(17)

^ (г) + | (^ = 0Е (г) + 8*(0),

0

0 Е (0) = 0, к, (г) - К1(г, г) > а > 0; ^ - ^ ' (г),

где е, 8 - малые параметры.

Систему (17) эквивалентно преобразуем к следующему виду

' 1

0е(Г) = (г, 5,е)-— {05) + ВД} Л - (Р0)«,

0 е+р(5)

(г) = -Ко (г, 5,8) • [0е (5) - Vе С)]Ж +1 Ж, (г, 0,5^)0е (г) + Ж, (г, 0, 8)7(0) ^ 0 5

где Ж (г, 5, е) , К (г, 5,8) -допускают следующие ограничения:

(18)

rK0(T)dT г

W - в - Е+p(г);\W(t, s,£)| < в'

(19)

--(t—s)

W0 - e' , (s < t).

Исследуем первое уравнение системы (18), с этой целью, оценим указанное уравнение.

—J adT 1 f ( N(t)

J p(r)

H,(t)| <J

1 I ( N (t) I

e^ --I M + fl^ (s')| ds' + M2 f K (s')| ds'lds <

0 s + p(s) I Jl

0

0

t r adz / t

1 f -U+p(r) | f adz

< -1J в "p(z) d |—J

4

s + p(z)

с {M 0 + (MT + M 21| N (t )|| C T )| |^(t)|| C } =

(20)

1—в

r adz J p(z)

{м 0 + d0 ||K(t)||c }< ^M0 +1 d0 ||K(t)|c

где

M0 = sup|Fi(t)|,Ml = sup|Kis(t,s),M2 = sup|K2s(t,s)|, d0 = MT +M^|N(t)|cT, У0 = -M0

[0,T ] d D a

0

Пусть

тогда из неравенства (20) имеем

- = к < (21) а

\\вЕ«)\\с < (1 -НУУо, (22)

11с

причем очевидно, что

^ ^^ = {в :|ве|<z0,Vtе[0,Т]}, (23)

а это означает, что ве ограничено по норме в С [0, Т] и первое уравнение системы (18) имеет

единственное решение в указанном классе функций.

Лемма 2. Если выполнены условия (21), (23), то первое уравнение системы (18) разрешимо,

причем это решение сходится равномерно к функции в($) при 8 ^ 0 .

Действительно, при условиях (21), (23) первое уравнение системы (18) разрешимо в С[0, Т], так как

оператор Р , введенный в системе (18) является сжимающим и отображает область определения в себя. Далее, учитывая условие

вЕ{ t ) = в($) + £ X (24) и первое уравнение системы (18), получим

I 1

4 (0 = [ Ж^, е)-— {(а [в + £№ — (ОвК)-£вх (5)} = ®£ехо, (25)

0 £ + Р^'у

Оценим исходное уравнение (25)

) < ^(ЩТ + М2|| N0^ )||с Т )||4 ^ )||с +тогда на основе (21) имеем

\\4Xt)||с < (1 - к)1- Г£ = N08,^0 = - Г0). (26) с а а

Поэтому, с учетом условия (24) следует ||ве (^) — в^)||с < Nо £ ————^ 0,

то есть

вДО ———>в(Ъ, Vt е [0,Т]. (27) Что и требовалось доказать. Лемма 2 доказана.

Вернемся к системе (18) и исследуем второе уравнение. Для этого оценим его и получим следующее:

Ь5 ($ ^ < ьвЕ (1+е—)+Ы < 2Ьве + Ы=N=со(2§)

то есть функция Zs ({) ограничена по норме в С [0, Т], далее, выполнив подстановку вида zs(t) = z(t) + Vt е[0,Т), (29)

получим

Ъ ($) = | V0 (Г, 8) {в (5) — в(5)} + 1 {в (Г) —в($)} + Д(8, 2), 8 ->0 3

Д(8, 2) = — -1 V (Г, £ ) {2(Г) — 2(5)} — ^ (Г, 0,8)(2($) — 2(0)). 8 •!

ъ(01 < ^¡е^ \ве(5) — в^)| +1 в(0 — в(0| + |Д(8,2)|, (|2 < Г,Vt е С[0,Т)), (31)

0

Оценивая (30), имеем

следовательно

\ris(t)\\c < 2No1 е + ||Д(£,z)||c,

à (32)

|Ц8, z)||c < Lz (1 + Oà < ZLà, ^0 < Lz, | à--- > 0

а это означает

\ (t) —:;— 0 Vt e c[0, П [Zà(t) —-— 0, Vt e C[0, T).

Лемма 3. В условиях леммы 2 и условий (28), (33) функция Zà (t) определяется единственным

образом, причем равномерно сходится к функции z(t) в С[0, T] при à ^ 0 .

Теорема 1. Если выполнены условия леммы 1,2 и 3, то обратно-нелокальная задача (1)-(3) разрешима в Wc ( Q) . ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе была изучена обратно-нелокальная задача с интегральной зависимостью, где вырождается неклассическое интегральное уравнение Вольтерра третьего рода. На основе метода

регуляризации доказаны достаточные условия разрешимости обратной задачи в Wc (Q)

Литература

1. Аниконов Д. С. К вопросу о единственности решения обратных задач для уравнений математической физики // Дифференциальные уравнения, 1979. Т. 15. № 1. С. 3-9.

2. Апарцин А. С. Неклассические уравнения Вольтерра I рода: теория и численные методы. Новосибирск: Наука, 1999. 193 с.

3. Бухгейм А. Л. Уравнение Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука, 1983. 207 с.

4. Магницкий Н. А. Линейные интегральные уравнения Вольтерра первого и третьего рода // ЖВМ и МФ, 1979. Т. 19. № 4. С. 970-989.

5. Нахушев А. М. Обратные задачи для вырождающихся уравнений и интегральных уравнений Вольтерра третьего рода // Дифференциальные уравнения. Т. 10. № 1, 1974. С. 100-111.

6. Омуров Т. Д. Методы регуляризации интегральных уравнений Вольтерра первого и третьего рода. Бишкек: Илим, 2003. 162 с.

7. Омуров Т. Д., РыспаевА. О., Омуров М. Т. Обратные задачи в приложениях математической физики. КНУ им. Ж. Баласагына. Б.: 2014. 192 с.

8. Омуров Т. Д., Джумагулов К. Р., Омуров М. Т. Регуляризация обратных задач, где вырождается уравнение Вольтерра первого рода с особым решением // Естественные и математические науки в современном мире: сб. ст. по матер. XLII междунар. науч.-практ. конф. № 5 (40). Новосибирск: СибАК, 2016. С. 98-110.

9. Треногин В. А. Функциональный анализ. Москва: Наука, 1980. 496 с.

10. Янно Я. Регуляризация одного уравнения Вольтерра первого рода равносильного уравнению третьего рода // Учен. записки Тартусского гос. университета, 1987. Вып. 762. С. 16-30.