Обратные задачи для дифференциальных уравнений типа Бюргерса с фиксированным параметром Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА БЮРГЕРСА С ФИКСИРОВАННЫМ ПАРАМЕТРОМ Омуров Т. Д.1, Рыспаев А. О.2, Омуров М. Т.3 INVERSE PROBLEMS FOR DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE BURGERS

WITH FIXED PARAMETERS Omurov T.1, Ryspaev A.2, Omurov M.3

'Омуров Таалайбек Дардайылович / Omurov Taalaibek — доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математического анализа и дифференциальным уравнений, факультет математики и информатики; 2Рыспаев Амантур Орозалиевич/RyspaevAmantur — кандидат физико-математических наук, и.о. доцента; 3ОмуровМаксат Таалайбекович / Omurov Maksat — старший преподаватель, кафедра программной инженерии и инновационных технологий, факультет информационные и инновационных технологий, Кыргызский национальный университет им. Жусупа Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в данной работе изучаются обратные задачи типа Бюргерса с фиксированным параметром вязкости неограниченной области и построенные решения обладают свойством условной гладкости. В частности, указанные классы задач встречаются в теории фильтрации и в теории волн, например, при решении обратной задачи в области фильтрации [3, 6], где решение считается известным в некоторой фиксированной точке пространства во все моменты времени, а искомым является какой-нибудь коэффициент уравнения - функция от одной координаты или функция от времени и др. Abstract: in this work are studied inverse problems type of Burgers with fixed parameters of viscosity an unbounded domain and constructed solve has property conditional smoothness. In particular, the specified classes of tasks meet in filtering theory and the theory of waves, for example, when solving the inverse problem in the field of filtration [3, 6], where the decision is considered to be known at a fixed point in space at all moments time, and is a sought some equation coefficient - a function of one coordinate or a function of time, and others.

Ключевые слова: обратные задачи типа Бюргерса, нагруженные уравнения, фиксированный параметр, метод вспомогательной функции, метод регуляризации, гладкие и условно-гладкие функции. Keywords: inverse problems of the Burgers type, loaded equation, fixed parameter, method auxiliary function, regularization, smooth and conditionally smooth functions.

УДК 517.9

Введение

В работе исследуются обратные задачи типа Бюргерса с фиксированным параметром вязкости [3, 5, 6]. Отметим, что аналогичные прямые или нагруженные задачи Бюргерса с различными значениями параметра вязкости с позиции численных или аналитических методов были изучены в работах [1, 2, 5, 7, 9, 10] и др. В нашем случае на основе методов Соболева, вспомогательной функции и регуляризации исследуем исходные обратные задачи, причем, построенные решения обладают свойством

условной гладкости или гладкости в [4]: WfCD), W: (^о) соответственно. Эти факты

доказываются на основе гладких входных данных, которые задаются как необходимые условия разрешимости исследуемой задачи. Пусть

и, + P(t,x,U)Ux = ju0Ux2 + f(t),V(t,x) е DJD0 = (0,Т0) х R), (1) U(0,x) = ((x),x е R, (2) U(t,x0) = y/(t),t е [0,To0, (3)

P, (р,Щ,у - известные данные, а параметр вязкости задается в виде

/Л0 > 1,(^0 = const) . (4)

При этом ставится задача нахождения функций W = (U; f) в пространстве:

ai) Wд2 (Д ) = (G^ (.D0); (О, T0)) , когда функция f определяется в виде f = 7{t)f{t),(f{0) = 0),

' 0 < y(t) e L1 (0,T0);ф(Г) = j (ф(0) = 0), L\(0, T) э f (t),

0

при этом:

sup (p(k)(x)\ <p0 ,(k = 0,1,2), л

sup--- f exp(-s2) Wk>(x + 2sJ/t)\ds < ,(k = 0,1,2),

Do s/K Л ' '

sup--- f (exp(—s2))|S x Wi (x + 2sJ/t )ds < ftj,(l = x + 2sJ/1),

(6)

(л1м0 f ¿(t)- tsuP-^ f(exp(—s2))|s| ф/х + 2s/t)\ds-fdt)2 <PiJ/o4o, 0 t D0 VK Л

0 1 To !

( f X(t){\y'(t})2 dt)~2 <p2 ,(0 <pt ; i = 0,1,2); 0 <À(t): f À(t)-dt = q0 = const,

. 0 0 t

здесь пространство W^ (Dq ) имеет норму

-

12Л ]2

\\ = U + f

1 m(D0) Il Wol(D0) lK Щ (0,T0)'

U

GÎ(D0)

= U

C°2(D0)

t 1 [sup j À(t)\Ut(t,x)2 dt]2,

00

Щ (0,To)

A0 -[\r(t)\f(t)\2dt ]2,

так как относительно решения уравнение (1) с условиями (2), (3) требуется гладкость второго порядка только по X G R, а производная во времени определяется для всех t > 0 .

а2) Во многих прикладных задачах начальная функция <PG C3(R), а С\0,Т0~\э f -произвольная неизвестная функция, причем

f(0) = q = const. (7)

Тогда обратная задача (1)-(3) и (7) исследуется в Wc(Dq) = (C1,2(Z)q)' (^[0,7^]) с нормой

\\ - = U - +

I II WC(D0) Il II Cl2(D0)

f ,(W = (U,f)),

С [0,T0]

\u\c-,2(D0) = llUllc02(D0) + llUtllc(D0) •

(8)

I. Рассмотрим задачу (1)-(3), (5) с условием (а!) в классе функций (Е0) . С этой целью, для решения этой задачи введя обозначение

А) 00,х)=/0)-Р0,х,и)ихУ0,х)с50, (9)

уравнение (1) эквивалентно преобразуется на основе метода Соболева [8] к виду

T

0

и = —]= |ехр(- Рр(з)Ъ + Г|ехр(- (х/ *)2 ) . 1 =

2у1 жц0г я

' (х - х)2 I

= М(г,х) + I I ехр( —!--— )—1^^^^=Q(v,s)dsdv = М(г,х) +

И 4^(г-у) Цжц0(г-V) (10)

' /.. „ \2

+ ГГехрГ-/*) , 1 {¡■(у)-Р(у,э,и(у,э))и/у,э))^у=М10,х) + И 4^(1-у) 2^ж/и0(1-у)

+ \/(у^у - }[ехрГ- !Х~3? ) , 1 Р(у,з,и(у,з))и/у,з)^у, о о к 4^10(г-у) 2^ж/и0(1-у)

М (г,х) = |ехр(-т2 )р(х + 2т^г )с1т,(х - х = 2т^^ ), чж я

где неизвестными функциями являются (и(г,х);/(г)). Поэтому, с учетом (3), (9) из (10) следует

у (г) = М/г,х0) +—^ | [ехр(-т2 v,x0 + 2т ¡и0 (г -V) )dтdv = М/г,х0) + чж Ц

г 2 г

+| }(у№у—=Цехр(-т2)Р[у,х0+2т^0(1-у);и(1,х0+2т^0(1-у))}х

0 Vя" о я ^ '

' хир(г,х0 + 2т^^д(г -V))dтdv,

(2(1,х0 + 2т^0(1-у)) = }(1) -Р[у,х0+ 2т^0(1-у);и(I,х0 + 2т^/и0(1-у ) )] х

хир(г,х0 + 2т ^о (г -V)),

5 -х0 = 2т^((г -V); р = х0 + 2т^((г -V) или из (11) получим

1 I I _

| }(у)<1у = цг(1) -М/1,х0) + -Т= ||ехр(~т2)Р[ у,х0 + - у);и((,х0 + (12)

0 Уж 0 к

+2т^Мо(г-V))]ир(г,х0 + -(В0[и,их])(г).

Тогда из (10) на основе (12) имеем

и = М(г,х) + (В0[и,их])(г)|ехр(- (х~ 5)2 ) 1 Г^,х +

он 4^о(г-v) Цжц0(г-V) (13)

+2ту1^д(г -V);и(г,х + (г -V))]и(v,s))dsdv.

С другой стороны, (13) дифференцируя по х, получим

(х - х)2 5 - х

их = М1х(г,х) - ГГ(ехр(—1-))--, P(v,s,U(v,s)) х

1 {1 4ц0(г^)"2Ио(г-V)2.у/жМо(г-V) ( ( ))

7 г Т

хи (v,s)dsdv= М1 (г,х) —= ||ехр(-т2) __Р^,х + 2т^/и0(г-V);и(г,х +

5 х 4ж Ц ^0(г-V)

+2т^0(г -V))]ир^,х + 2т^/и0(г -V))dтdv,(р = х + 2т^/и0(г -V)).

Далее, объединяем (13), (14) как систему интегральных уравнений Вольтерра и Вольтерра-Абеля второго рода, т.е.:

Ш = их(г,х)Я(г,х) е Д

)__

i i

и = М1 (1,х) + (В0[и,Ш])(1) —^Цехр(-т2)Р[ у,х + 2т^0(I -у)''и(1,х +

+2т^о (I -у ) )] Ш(у, х + 2т^о (I -у ) )с1тс1у = (В0 [и, Ш ])(1) + (Р1 [и, Ш ])(1, х) =

= (И,[и,Ш ])(1,х),

1 I т Ш = М (I,х) [ Гехр(-т2 ) . т-Р[у,х + 2т<1/и0 (I -у);и(^х + 2т х

4я Ц лJмo(I -у)

х^/и0 (I -у ) )]Ш(у,х + 2т^0 (I -у ) )СтсСу = (Н2 [и ,Ш ])(^х),

1 I

(Р[и,Ш])(^х) = М/^х) —^ Г |"ехр(-т2)Р[у,х + 2т^0(I - у);и(I,х + 2т х

<я Ц

х^Мо (I -у ) )]Ш( у,х + 2т^1и0 (I -у ) )йтйу.

Тогда система (15) разрешима в классе непрерывных функций. Сказанное утверждение можно и доказать на основе принципа Банаха [8], учитывая:

И : ьн < С, (. = 112), 2 1

X ^ < С0 (1 + -=) < С < 1), (М > 1), (16)

'=1

И : ^ (0) ^ ^ (0),

^(0) = {и, Ш: |и|,\Ш\ < г,Щг,х) е Д},

ж как

зир{|Р^Ц,х,и)|;|Р (I,х,и)} < Р = сош1,С/ = 0,1), Д = Д хЯ,

^ I ___

= ^^ Г Г ехр(-т2)[| Р(у, х + 2^0 (I -у); и (у, х + 2гЛ/^(7^7))| + г\Р1 (у, х +

Д 0 Я

и (у, х + )|]СтСу < ^(1 + г),

1нг = эир-^ Г Г ехр(-т2) , [|Р(у,х + ;и(у,х + )| +

2 д Яя 0 Я -у)

_ _ 1

+г|Р (у, х + 2т у/М (I -у); и (у, х + 2ту/м0 (I -у) )|]СтСу < (1 + г )2 4,

Л/М)

Ч = х + С0 = шах(Р0Г0(1 + г); Р,,^ + г)2~4),

||Н.[0,0]||с < г(1 - С):

ЛИ[и, Ш]|с < ||И,.[и, Ш] - И,.[0,0]|с +1|Н,.[0,0]|с < С,. 2г + г(1 - С) < Сг + г(1 - С) = г, ^^ , (/ = 1,2) - коэффициенты Липшица операторов Н{, (. = 1,2).

В самом деле, если не выполняется условие (16), то используя метод подобластей [5], можем доказать вышеуказанные условия теоремы Банаха. Идея метода подобластей состоит в том, что

отрезок [0, Г ] делим на элементарные части равномерно с шагом к, чтобы на каждой элементарной

части выполнялись условия (16), причем

\ик (1к, х) = ик+1(1к, х), (к = 1, и);и1(0, х) = и (0, х) = р х), ^ Ш (1к, х) = Шк+1((к, х), (к = 1^)^(0, х) = Ш (0, х) = (р'(х). Тогда (15), действительно имеет единственное решение в С(Д). Поэтому, не нарушая

общности, предполагаем, что при условии (16) функции (и ;Ш) существуют, причем

определяются единственным образом, как решение системы (15). При этом решение этой системы находим методом Пикара

\ип+10,х)=н1[ип,Шп], ^ (18)

[Ш^О,х) = Н2[ип,Шп],х) е 30,(п = 0,1,...),

где для простоты и0, Ш0 = 0 - начальные приближения. Следовательно, учитывая выводы метода Пикара, находим, что построенные последовательности функций по правилу (18) {ип }о '{Шп }° являются сходящимися и фундаментальными в 8Г(0), причем элементы построенной последовательности принадлежит 8Г(0 ), доказывается на основе выражения (16). Значит, последовательности {и }°>{Ш}° сходятся к пределу (Ш;Ш) :

Х+1 = |\ип+1 - и\\с +1Шп+1 - Ш\\с; Ео = \\и\\с +11Ш||с :

Еп+1 < СЕп <...< Сп+1Ео —-— 0, (19)

Е0 < (1 - С)'1 Но,.

А это означает, что

\и„+,->и,

п + 1 и_^пп '

n+ 1

W+1 ———W,V(t,x) g D0.

(20)

Лемма 1. В условиях (а!), (2), (3), (16) и (20) система (15) разрешима, причем U G G2(D0). Доказательство. При выполнении условий (а!), (2), (3), (16) и (20) система (15) разрешима и решение этой системы (U; W) определяется как предел последовательностей { U }д , { W }д .

Далее, учитывая условия (6) и норму пространства G^ (Dq ) :

t

\U\\g1(D0> = P\WDo) + SUPJ X)dt' (2D

D0 0

имеем

IMGst D0) £ M»• (22)

Что и требовалось доказать.

B) Чтобы найти f(t), (f(0) = 0) поступим следующим образом, так как имеет место (5) и (11), то имеем уравнение Вольтерра первого рода [5]:

J7(v)f(v)dv = F(t), Vt g [0, T0] (23)

с условиями

J t

С'ф[0,Т0 ] э F (t) = w(t) - Mj(t,xg) +-= ffexp(-T2)P[v,x0 + 2ф0р -v);U(t,x„ +

V^ 0R

+2t^/u0(t -v))]W(t,x0 + 2Ty]/u0(t -v))dTdv = (B„[U,W])(t) : (24)

t

F(0) = 0; \F(t)-F(s)\ < C0<(t)-<(s)\,(0 < С = const; <(t) =J y(s)ds),

0

Fs(t) : \\Fs(t) -<A(S) -T^0).

то уравнение (23) регуляризируемо в пространстве 0, T ), т.

у\

t

efe(t) + \y(s)fe(s)ds = Fs(t), (25)

или учитывая для ядра (--у(s)) резольвенту

S

Ro(t,s,s) = --y(s)exp(--(Ф(г) -ф(s))),(s < t), (*) S S

уравнение (25) преобразуется к виду

fs(t) = -11 r(s)exp(--(Ф(t) - ф(s)))[FJs) - F(s) + F(s) - F(t)]ds + S 0 S

+ -(Fs(t) - F(t)) + -F(t)exp( - U(t)).

S S S

Оценивая (25)*, имеем

' -

\f(t)\ < —( jr(s)exp(-2-(ф(t)-ф(s)))ds)2\\Fs(t) - F(t)\l (0Xo) + ( 0 S 70

+-17(s)exp( --(ф(t)-ф^)))€в\ф(t)-ф^^ + -|F( (t) - F(t)\ + S 0 S S

+-^(t)exp(--ф(t)) < 4(((-L= + C(1 + e-1) + -|F( (t) - F(t )|, S S syj2s (

1 + e-1 < 2; sup 0exp(-в ) = e-1, (в = -ф(t ))

e>0 S

при этом учитывая норму 0,TQ ), имеем

< 4[A(Ss+ 2C0](sup }y(s)dsp + -4\\Fs(t) - F(t)\\e ) Syj 2S [0T„ ] 0 s ■°J

<

-+0/0 < Nt,i = 1,2).

s

Далее, на основе

fs (t) = f(t) + йЕ (t)■ Vt G C[0, T0 ], (27)

(25)*

< 4[( A(SJ-^= + 2C0)Ni + 1A(SJ]< N2■ (26)

s^J 2s s

t 1

(sup \y(s)ds)2 = Np

[0■ T0 ] 0

A(Ss )

е

0

L

где (t) является остаточной функцией, получим

Ш = -1J r(sMv(- - (ФО) - (s) - F(s)]ds + - (Fs(t) - F(t)) - A(e,f),

s J0 s s

<

A(s, f) = f (t)exp(- 1 Ф(г)) + 1 J r(s)exp(- 1 (ф(г) - ф^)Ш(0 - f(s)]ds. s s J0 s

Предполагая [5]:

s? __^ - __1_ -

\\A(s,f)\\4 < k0{[ J | f^(v))\ dv f(t)^ es ]2 + [mf(sP) + 3\\f(tg2r es ]2} = 0

= Q„(s), (1 < k =const ,0 < ? < 1),

CDj(s?) = sup У(Ф~1(Ы + h)) - Ш-^пй

J 0 <h

f(ф-1(u)) = 0, при u G [0,ф(Т0)]У<ф(Т0), при этом, учитывается если f(t) G L (0,T0), то f(ф 1 (u)) G L (0, ф(Т0)) и

WAP Hi fфl(U»\\L2,

здесь ||.|| 2 - это норма в L(0,ф(Т0)) .

Тогда на основе (29) из оценки (28) в смысле L2 (0,Т0) следует

||£||l2 < A(Ss)-UVF + 4s]+Qg(s) = A(Ss)-^C1+Q0(s) = O(Q*(s)), r s^Js syjs

(29)

(30)

1

ASe^0)

¡■QJ^T1 + -Je< C = 1+ 4Г1).

Следовательно, на основе полученных результатов следует, что уравнение (23) регуляризируемо в Г2г(0,Т0) , причем имеет место

01//!) - /0)Ь =№.1> < Ш(е)) —->0,

|f(t)\\L2 <||f(t)-fE(t)\L2 +||fE(t)\b2 < 0(Q.t(s)) + N2 <N3

(31)

Лемма 2. В условиях (24), (29) и (31), допустимая погрешность оценки между функциями f , f будет порядка O(Q*(s)) в L2r(0,T0) .

Из результатов лемм 1, 2 можем сделать вывод, что функция W = (U; f) также определяется единственным образом в W'I (D0 ) , причем

М = U

Ш;2(П0) П~ио1(П0) +11"' Щ(0Т0) Теорема 1. При условиях лемм 1, 2 и (32) обратная задача (1)-(3) разрешима в .

П. В этом пункте решение задачи (1), (3), (7) с условием (а2) строим в классе функций

г = (и,/)<=жс(50).

< M + N = M.

(32)

k(D0) подчинена

М ,- ,, то из сходимости

II \\WC(D0)

вытекает ее сходимость в

Известно, поскольку норма [4,8]: |Ц| последовательности { 1п}° в смысле И,, тому же самому элементу, т.е., если решение задачи (1) ограничено в пространстве ШС(Д0) , то

М

WUD.), "Р™ к

<

следует ограниченность и в , обратное неверно. Поэтому результаты п. 1 является более

общими, чем п.2.

Чтобы решать задачу (1)-(3), (7), предположим

г

и = (р(х) ++ X),

0

У = 0,Ух е Я, (33)

1г=0 ' ' у '

г

У\Х=Х0 =у(*)-<р(хо) -\1(

I 0

причем

[их = <Рх(х) + ГхО, х); их2 = <рх2 (х) + Г, (I,х).

Тогда из (1) с учетом (33) получим /

У,+Р(1,х,<р(х) + \/(з)еЬ+У0,х))(<рх(х) + УХ) = +<р^(х))У(^х) е Д,

0

(34)

Следовательно, на основе метода Соболева из (34) следует

V = }[ехр¡Х~5) ), [ Ам>г(*)-Р(у,*,<р(з) + (}(+ (35)

где (35) содержит неизвестных функций (V; /). Поэтому, с учетом (33) из (35) имеем

г /% — $ \2 2

г(г) = у (г) - р(х0) - I [ехр( - (х°/ 5 ) , {ррр/*} - Р^,8,р(8) +

11 4^0(г-v) Цжц0(г-V) 5

+2(V) + У(V, 5)) (Р( (3) + V (V, 5))}dsdv, /

\}(у)С!У = 2(1),(2(0) = 0). 0

Значит, на основе (35), (36) получим систему

У = 1I ехр(- (х- 5)2 ) . 1 {црр^ (5) - РСу^Ф) + 2(у) + < Ц 4^0(г -у) Цжц0(г -V) 5

+У(v,s))(рs(s) + У/у^^СЫУ,

(36)

ГГ (х — 5 )2 1

2(г) = у(г) - р(х0) -1 ехр(- 0 ) I (5) - Р(V,3, р(5) + (37)

+ У^))^) + У^^))}^. Далее, дифференцируя первое уравнение (37) по х, получим систему интегральных уравнений Вольтерра и Вольтерра-Абеля второго рода, т.е.:

V = W(I,x),У(I,x) е Д (х - s)2

ЛИрР,2 (в) - Р(у, 8,р(8) + 2(у) +

V =ГГехр() _

0>Я 4И0(,: -у) 2у]ям,^ -у)

+V(у,8))(р(8) + V/у, в))}ёвёу = Г|ехр(-т2){ц0р 2 (х + 2т х

vя 0 я

х^Ио (I -у ) ) - Р(у,х + 2ту1/и0 (I-у );р( х + 2т ^Мо (I -у ) ) + 2 (у) + V(у,x + +2тл[И0(7-у))) х (рр(х + 2ту1й(Т-у)) + Ш(у,х + 2ту[й(7-~у)))}йтйу = = (Н0 ^,2,Ш ] )(I,x),

2(0 = - р(х0) -}|ехр(- (Х°~ 8 )-

1

0Я 4Ио(I -у) 2у[й7-у) +2(у) + V(у, 8)) (Р((8) + V (у, 8))}ё8ёу = (Н[ [V, 2,Ш])(0

{ИР,2(8) - Р(у,8,р(8) +

Ш = | |ехр( -

(х - 8)2

)

1

-у) 2Ио^ -у)Ц ям0(I -у ) 1 I

{И0Р2 (8) - Р(у,8,р(8) + 2(у) +

+V(у,8))(рs (8) + Ш(у,8))}й8йу =

= ~Г Яехр(-т2)~г

Vя л/,

{МпР 2(х + 2т х

Ио(I -у) р

х^Мо (I -у ) ) - Р(у,х + 2ту]м0 (I-у );р( х + 2ту]м0 (I -у ) ) + 2 (у) + V(у,x + +2ту[йТ-у))) х (рр(х + 2т^[й(Гу)) + Ш(у,х + 2ту[й(Г-у)))}йтйу = = (Н2^,2,Ш ])(^х),

р = х + 2ту]м0 (I -у ); 8 - х = 2ту1м0 (I -у ),

I I _

Цехр(-т2)м0р 2(х + 2ту!м0(I -у))Стёу = [интегрируя ]

Vя о Я

(38)

[ по частям =

^ I

Г Гехр(-т2) . •1ИоРр(х + )йтйу.

ЯяЦ VI-у

где (38) - это система аналогичная к системе (15). Поэтому при условиях (16)-(20) система (38) разрешима, т.е. функции (V) единственным образом определяются из (38) и

у^с12(Ъ0), 1(1)&с'[о,т01 приэтом

- =У1к

<оп) х

О

+

С(в0) II 1»С(В0)

„ . < м,

(39)

11с1 [ 0Т ] < М2,(М1,М2 = СОЛ*).

Поэтому, на основе формулы (33) имеем:

'и = р(х) + 2^) + V(t,x),

= го),

о

г(()еС'[0,Т01 ГеС12(О0), (ср(х) е С3(Я)),

и

\\С''2(00)

= М, = сот!.

8-х

А это означает, что функция С/ е С1'2 (£)д) и считается известным. Тогда с учетом (36), имеем

уо

уравнение Вольтерра первого рода

J f(v)dv = F(t), (41)

где

1 .

2

(42)

Z(t) = y(t) -((x0) - JJexp(-T2 p2 (x0 + 2T^o(t -v)) - P(vx +

V^ 0 R

+2T^0(t - v);((x0 + 2T^0(t -v) ) + Z(v) + V( v,x0 + 2T^0(t -v) )) x ((p( x0 +

+2t,J/u0(t -v)) + W(v,x0 + 2т^/и0(t -v)))}dTdv= F(t),

p = x0 + 2T^0(t -v); s - x0 = 2^^0(t -v),

Ux = W; w(t) е C'[0,T0],

F(t) eC'[0,T0 ], F(0) = 0. Поэтому, дифференцируя (41) получим

f(t) = F'(t)sC[0,T0]. (43)

А это означает, что при условиях (40), (42) и (43) функция f(t) определяется единственным образом в С[0,Т0] по правилу (41). Следовательно, получим, что функция Ч^ = (U; f) определяется единственным образом в W ( D ) , причем

Mw Го > = РУг > + f COnSt' С44)

II \\WC(D0) И IIС (D0) с[0,Г„]

Отсюда следует, что обратная задача (1)-(3), (7) разрешима в W: (D0 ) .

Замечание 1. Результаты относительно обратной задачи (1)-(3), (7) с условием (а2) получены с учетом (40), (42) и (43). Но при изучении обратных задач, где вырождаются уравнения Вольтерра первого рода (41), предполагается, что правая часть известно с некоторой погрешностью, так как иногда дополнительная информация о решении исходной задачи задается в априорах. Поэтому, вместо (42) предполагается условия

F( 0) = 0; F(t) е C[0,T0 ]: \F(t)-F(s)\ < L„\t - s\,(0 < LF = const),

) (45)

Fs(t): \\Fs(t) - F(t)\l <A(S), (--—0).

Тогда на основе теории интегральных уравнений Вольтерра первого рода с условием (45) можем сказать, что уравнение (41) регуляризируемо в пространстве C[0,TQ ], т.е.

t

sfe(0 + { fe(s)ds = Fs(t) + ef(0),

0

или учитывая резольвенту R(t,S,S) =--exp(--(t - s)) , получим

s s

fjt) = --L jexpf--fi _ s))[Fs( s)-F( s) + F( s)-F(t)]ds + S 0 s

+-(Fs(t) - F(t)) + -F(t)exp(--t) + f(O)exp(--t). s s s s

Оценивая (2.1.46), имеем

0

1 t J 1

\fJt)\^\wtf--(t-s))\FJs)-F(s)+F(s)-F(t)\ds+-\Fs(t)-F(t)\ +

F(t) - F(0)|exp(-It) + \f(0)\exp(--t) < 2A(SJ- + Lr+-. s s s s s

+_\F(t)-F(0)\exp(—t) + \f(0)\exp(—t) < 2A(SJ- + Lf + -LFxtx s s s s s

xexpf--/; +\f(0)\ < 2A(SJ- + Lf+Lfq1 +Q0< 2A(SJ- + LF(l + e1)+Q0 < Np e 1 1 e e

sup^exp(-в) = е1,(в = -0; If(0)\<Q0; A(SJ ^ >0,

a-^n P 1 1 P

l в>0 т.е.

f/O^Qr

(47)

(48)

Поэтому, учитывая преобразование вида

fe(t) = f(t) + Ze(t)yte[0,T0l

из (46) на основе (48) получим

1 1 1 1 МО = fexp(—(t ~ s))[Fs(s) - F(s)]ds + ~(Fs(t) - F(t)) - A(e,f), s J0 s s

1 1 1 1

A(e,f) = (f(t) - f(0))exp(—t) + - fexp(—(t - s))]f(t) - f(s)]ds,(f(0) = q),

e sJg s

здесь предполагается [5]:

_ 1

A(sj) <4[ f(t) ^ +w-f(efi)] = N0(e)—r^O,

(49)

s^O

(50)

wf{ep) = sup

\t-v\<ep

Следовательно, проведя оценку относительно (49) с учетом (50), имеем

7(0-/(v),/?e(0,l).

II4IIс <°(2

A(SJ

+ N0(s)) = O(N(s)), (■

A(SJ

s^0

s s

Из полученных результатов следует, что (41) регуляризируемо в C[0, Т ], причем имеет место

l(t)~f(t) п =||4||c<O(N,(s))^^0,

0).

(51)

(52)

\/о)\\с < ¡/(о - //о|с+|//о|с < о(ы,(8))+а.

Лемма 3. В условиях (42), (52), допустимая погрешность оценки между решениями уравнений (41), (46) будет порядка 0(Ы»(б)) в С[0,Тд].

Поэтому, с учетом (40), (52) и функция Ч* = (и/) определяется единственным образом в е Жс (Т)0 ) при этом получим

\C''UD0)

С[0,Т„]

<М, = const.

(53)

Теорема 2. При условиях (а2), (2), (3), (7) и (53) обратная задача (1)-(3), (7) разрешима в Шс(Од) . Замечание 2. Если функция P(t,X,U), входящая в уравнения (1) определяется в виде Р(t,X,U) = и, то уравнение (1) называется уравнением Бюргерса

<

Ut +UUx=ju0Ux2 +f(t),\/(t,x)^D0,(D0=(0,T0)xR), (54)

при этом (54), (2), (3) и (7) называется обратной задачей Бюргерса с фиксированным параметром, когда выполняется условие (4).

Все результаты теоремы 2 имеют место для задачи Бюргерса (54), (2), (3), когда задается условие (7).

Литература

1. Андерсон Э. Ударные волны в магнитной гидродинамике. Москва: Атомиздат, 1968. 271 с.

2. Ворожцов Е. В., Яненко Н. Н. Методы локализации особенностей при численном решении задач газовой динамики. Новосибирск: Наука, 1985. 224 с.

3. Лаврентьев М. М., Резницкая К. Г. Теорема единственности некоторых нелинейных обратных задач уравнения параболического типа // Докл. АН СССР 208. № 3, 1973. С. 531-532.

4. Омуров Т. Д. Существование, единственность и гладкость решения задачи Навье-Стокса для несжимаемой жидкости с вязкостью // КНУ им. Ж. Баласагына. Бишкек, 2014. 96 с.

5. Омуров Т. Д., Рыспаев А. О., Омуров М. Т. Обратные задачи в приложениях математической физики // КНУ им. Ж. Баласагына. Б., 2014. 192 с.

6. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод. Москва: Наука, 1977. 664 с.

7. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. Москва: Наука, 1978. 688 с.

8. Соболев С. Л. Уравнения математической физики. Москва: Наука, 1966. 443 с.

9. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. Москва: Мир, 1977. 622 с.

10. Friedman A. Boundary estimates for second order parabolic equations and their application. J. of Math and Mech. Vol. 7. № 5, 1958. P. 771-791.

MATHEMATICAL THEORY OF MUSIC Hang T. T.1, Thao L. D.2, Hieu L. V.3, Khoe N. H.4, Thuong T. T. M.5, Uyen V. T. P.6 Email: [email protected]

'Hang Tran Thuy — Student,

DEPARTMENT OF IT IN THE FUEL AND ENERGY INDUSTRY, FACULTY OF LASER AND LIGHT ENGINEERING;

2Thao Le Duc — Student,

DEPARTMENT OF GEOINFORMATIONSYSTEMS, FACULTY OFINFOCOMMUNICATION TECHNOLOGIES;

3Hieu Le Van — Student; 4Khoe Nguyen Huu — Student, DEPARTMENT OF SECURE INFORMATION TECHNOLOGIES, FACULTY OF INFORMATION SECURITY AND COMPUTER TECHNOLOGIES; 5Thuong Tran Thi Mai — Student, DEPARTMENT OF COMPUTER SYSTEM DESIGN AND SECURITY, FACULTY OF INFORMATION SECURITY AND COMPUTER TECHNOLOGIES; 6Uyen Vu Thi Phuong — Student, DEPARTMENT OF IT IN THE FUEL AND ENERGY INDUSTRY, FACULTY OF LASER AND LIGHT ENGINEERING ST. PETERSBURG NATIONAL RESEARCH UNIVERSITY OF INFORMATION TECHNOLOGIES, MECHANICS AND OPTICS, SAINT PETERSBURG

Abstract: in music, it is usually forgotten a lot of mathematics. We use Western European musical system, the basis of which - two quite strict frequency and time scale. The frequencies of the scale is a geometric progression with the coefficient ',059 ... ('2 degree root of 2), and temporal organization of this sounds and pauses are in multiple relationships (often acts denominator a power of 2). The structure of the piece of music is often very simple, presenting an alternation of several "modules block" a specific length. Keywords: music, challenge, frequency, theory, harmoniousness, musical note.