Трехскоростная коэффициентно-обратная задача переноса типа Каца Текст научной статьи по специальности «Математика»

другую. С увеличением кремния в составе подвижность дырок с температурой уменьшается по

г-р-1,5 закону Т .

Установлено, что при температуре жидкого азота для твердого раствора Ge 1-хБ^ при изменении состава от нуля до значения х = 0,15 подвижность дырок уменьшается, приблизительно, в два

раза (от 7000 до 3200 см/В-с). Твердый раствор Ge1-xSix состава х» 0,15, благодаря своим физическим свойствам более похож на полупроводниковый материал, близкий германию и наличие атомов не приводит к достаточно большим внутренним структурным изменениям.

Литература

1. ТагировВ. И. Полупроводниковые твердые растворы германий-кремний. - Баку: Элм, 1983.

2. Нуруллаев Ю.Г. Электрон-дефектное взаимодействие в частично-неупорядоченных кристаллах: автореф... дисс.. .д. ф-м.н. Баку, 2005. 28 с.

3. Джафаров К. А., Тагиров С. И., Тагиров В. И. Исследование поведения термических акцепторов в твердых растворах германий-кремний. // Изв. АН Азерб. ССР. Сер. физ. мат. Наук, 1986.Т. 5. № 4. С. 15 - 19.

4. Болховитянов Ю. Б., Гуматовский А. К., Верябин А. С., Пчеляков О. П. Возможности и основные принципы управления пластической релаксацией пленок GeSi/Si и Ge/Si ступенчатого изменяемого состава. // Физика и техника полупроводников, 2008. Т. 42. № 1. С. 32 - 35.

5. Емишев В. В., Абросимов Н. В., Козловский В. В., Оганесян Г. А. Электрические свойства твердых растворов n- и p-Si1-xGex при малых х // Физика и техника полупроводников, 2014. Т. 48. № 12. С. 1592 - 1594.

6. Тагиров В. И., Тагиров У. В., Гулиев А. Ф., Гахраманов Н. Ф. Получение монокристаллов бинарного твердого раствора с большим поперечным размером методом зонной плавки // Научные Известия Сумгаитского Государственного Университета, 2011. Т. 11. № 2. С. 3 - 13.

7. Мотт Н., Девис Э. Электронные процессы в некристаллических веществах. М: Наука, 1994. 180 с.

Трехскоростная коэффициентно-обратная задача переноса типа Каца Омуров Т. Д.1, Туганбаев М. М.2, Саркелова Ж. Ж.3

'Омуров Таалайбек Дардайылович / Omurov Taalaibek Dardailovich - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математического анализа; 2Туганбаев Марат Мансурович / TuganbaevMaratMansurovich - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей математики и образовательных технологий; 3Саркелова Жылдыз Жанышевна /Sarkelova Jyldyz Zhanyshevna — старший преподаватель, кафедра кибернетики и информационных технологий, факультет математики информатики и кибернетики, Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в статье исследуется обратная задача переноса с малым параметром, где требуется нахождение неизвестной функции распределения и восстановления неизвестного коэффициента в

правой части банахова пространства Wc и весовом пространстве W. Фактически, здесь

развиваем теорию кинетических нагруженных уравнений типа Каца, считая, что частота

столкновений h ограниченно-неотрицательная и интегрируемая функция в R3, а

электростатическое ускорение 0 < a = const. Кроме того, излагаемый метод решение задачи переноса позволяет оставаться в исходных координатах.

Ключевые слова: задача переноса, функция распределения, трехскоростная обратная задача, малый параметр, гладкие функции.

Введение

Основа современной математической теории задач о переносе частиц заложена, как известно, в работах [1 - 6, 9, 10, 13] и др., где было выявлено то, многообразие проблем, которые предстояло решить. В этих работах излагаются односкоростные и многоскоростные задачи теории переноса. Сформулированы теоремы существования: на основе вариационных методов, на основе метода

введение функциональных пространств с дифференциально-разностными характеристиками, на основе специальных функций, позволивший получить ряд оценок о свойствах решения и др.

Известно, что теория возмущенных задач переноса [4, 8, 11] отличается от теории сингулярно-

возмущенных задач [7,14], причем выбор пространства зависит от функции И и при £ = 0 порядок уравнения в задаче переноса не меняется. Поэтому, в качестве развития этого направления, здесь рассматриваем нагруженную трехскоростную обратную задачу переноса типа Каца с малым параметром. При этом требуется доказать разрешимости изучаемой задачи с учетом тех условий,

которые накладываются на И > 0 и установить близость решений возмущенного и вырожденного уравнений в тех или иных пространствах. Пусть исследуется задача переноса вида

а И о/£ = адп^х 2,Хз,о+ШХ.Х 2,х З/)], (1) ОТ ,-=1 ОХ- ,-=1 ОХ-

fs\t=0 = fo(X1>xV(x^X2.X3) G (2)

-0 x0 X0

*2 ,X3 ,

f£(Xi0,X20,X30,t) = p(t),Vt e[0,U (3)

3

h0(Xi, Xo, X3, t) = (xi ) + h( Xi, Xo, X3, t), (4)

i=1

где 0 < a = const, 0<Д (X ), (p{t) ,0 < h(X, X2, X3, t), 0 Ф F(X, X2, X3, t), f - известные

гладкие функции, Qj = R3 X [0,^ ]; R3 Э (Xj0,X°,X°),(Xj, X* ,X*) — фиксированные точки. При

этом надо определить неизвестные функции(f ,V£) в тех или иных пространствах. Известно, если £ = 0 имеем вырожденное уравнение вида

— + Ya f + hnf = V(t)F(X,X7,X,,t), (5)

dt tl i dx

(0,1) Э £ — малый параметр. Чтобы, ответить на поставленные вопросы, сперва докажем разрешимость задачи (1)-(3) в Wc = f,V'.f G С1'1'1'1 ,VeC[0,7^] - пространство

3

'' L + I—c ■ »'»с-

Далее, установим близость решений (f ,VS) к (f, V), когда £^0 в смысле нормы пространства Wc . Поэтому результаты данной работы состоит из двух пунктов.

В первом пункте исследуем разрешимости задачи (1)-(4) в Wc, а во втором пункте докажем

близость решений возмущенной и вырожденной задачи в этом классе функций.

I. Рассмотрим задачу (1) - (3). Следовательно, используем преобразование вида [8, 11]:

функций (f,V) с н°рмой: ||f||w f||c + t\\f

i=1

/ = б(х, хг, хз ,*)ехр

-I -

Л

а,.

1\ I' I

, , X, хъ ,*) е Ц,

б = бо (X - а},х2 - а2*,х - а30 + |ехр I — | ^i(x,i )dx,¡ {V(*)Е(х - а (* -*),

о у '=1 а' у

х - а (* - *), х - а (* - *) - ^(х - а (* - *), х - а (* - *), х - а (* - *)/(х - ах х(* - *), х - а (* - *), х - а (* - *)+;/ (х - а (* - *), х - а (* - *), х - а (* - *) х

3 /(x1*,х2\хз*,*)

[I-

дх,.

А

б|,=0 = б0( X1, х 2, х 3) = /0( X1, х 2, х 3)ехР I —

У 1=1 а'

Л

, У(х,X,х3) е Я3,

так как

3

"б + 1а дб = ехр I-

д* ,=, дх,. ,=, а,

/ V I ' I

{V (х, X, х3, *) - х ,Х >х3,*) / (х ,Х >х3,*) +

+/хр х 2, х,*)[]гд/;( ^ ^) ]}.

'=1 дх

Тогда с учетом (*) и (**) из (1) следует Л = /0 (х1 - а*, х2 - ^, х3 - а3Х) еХР

С 3 1 х ^

I - | л(хк

= а.

'=1 1 х1 -а*

+| ехР _I — | Л(х'Мх7 п ,--1 а,_„ ,

У '=1 "1 х'-а1 (*)

{^ (х1 - а1 - х2 - а2 -

(*)

х3 - а (* - *); *)+;/Е (хх - а (* - *), х2 - а (* - *), х3 - а (* - *) х [I д/(х1 ,_х*, Xз,Л ) ] - и(х - а (* - *), х2 - а (* - *), х3 -

(6)

х

1=1 дх

-а (* - *); *)/ (хх - а (* - *), х2 - а (* - *), х3 - а (* - ^

=(н0\уе, у;, /еХ1, /вх2, Лх,]) (х1, х2, х3, *).

Лемма 1. При условиях (2)-(4) уравнение (6) является составным представлением проблемы (1) - (3). Доказательство. На основе (6) и дифференцируя последовательно по * и х., получим

1=1

/я = "X аАт (Х " Х2 - а2Т- Х3 - а3Т) еХР -Х— 1 4(Х )аХ.'

=1 ' I =1 а1х,-аТ

+ /0(Х1 " а1Т , Х2 "

-а2/, х " а3Т) ехр

3 1 3

"X — 1 ЛСХ-Ух' [-ХЛ(Х -а'Т)] + ХХ2,Х3,Т) "

'=1 а х

-И(X, Х2, Х3,//Х,, Х2, Х3,/) + £/(Х,, Х2, Х3,ТО/£(Х'дХ2'ХЗ'Т)]

+1 еХР "X _ 1 4 (Х'-)^Х'' {[-Х 4 (Х< " а<(Т " ^Ж^С^ (Х1 " а1(Т " ^ Х2 "

0 ^ '=1 а' Х' - а' (<-• ) ) '=1

-а2(/ - 5), Х - а (Т -•);- И(Х - а(г - •),Х - а (г -•), Х - а(г - •);•) х х/ (х - а (Т - •), Х - а (Т - •), Х - а (г - •); •)+£/ (Х - а (г - •), Х - а (г - •),

Х3 - а3(Т -•);5)[Х О/£(Х* ,.Х2,Хз,5)]) - X V,(••)а?1 (Х, - а, (Т -•),Х2 -а2(Т -•),Х3 -1"Т ОХ. 1"Г '

-а (Т - •); •) + Х аИ (Х - а (Т - •), Х - а (г - •), Х - а (г - •); •)/ (Х - а (г - •),

' =1 '

3

х - а (г - •), х - а (г - •); •)+ХаИ(х - а (г - •), х - а (г - •), х - а (г - •); •) х

¡=1

3

х/1 (х - а (т - •), х - а (т - •), х - а (г - •); •)-£Х а/е1 (х - а (г - •), х -

'=1

-а2(Г - • ),Х3 - а3(Г - •);5)[]Г О/£(X • ]

3 3 1 '

/£Х =Х Л< (Х1 - а1Г' Х - а2Т, Х3 - а3Т)еХР -Х _ 1 4 <Л'¥Х

+ /0 (Х1 а1Т, Х2

(

-а-Т, х - аТ)ехр

Т (

3 | л' 3 |

X — 1 х',УХ [-X — (Х') -Л' (Х - аТ))] +

)

л

+1 ехр -X- 1 4' (х[)аХ {[-X—(4 (Х) -4' (Х - а' (Т - 5))](г£(5)^(х1 -

0 ^ '=1 а' х - а ('-•) ) '=1 а'

-а (т - •), х - а (т - •), х - а (т - •); •) - и(х - а (т - •), х - а (т - •), х --а (т - •); •)/ (х - а (т - •), х - а (т - •), х - а (т - •); •)+£/ (х - а (т - •), х -

3 Ж V2 V2 ^ 3

-а (Т - •), Х3 - а3 (Т - •); 5)[]Г О/£( Хl^Х2, Х*,5) ]) + XX К£ (5)^, (Х - а, (Т - •), х2

'=1 Ох' '=1

Х -

-а (т - •), х - а (т - •); •) - X И (х - а (т - •), х - а (т - •), х - а (т - •); •)/ (х - (7)

'=1 '

3

-а (г - •), х - а (т - •), х - а (т - •); •)-X и(х - а (т - •), х - а (т - •), х -

'=1

3

-а (г - •); •)/; (х - а (г - •), х - а (г - •), х - а (г - •); •)+£X/л (х - а (г - •),

'=1

; -а2(г-•),Х3 -а3(Г-•);5)[]Г О/£(х2дх2,Х*,5)]

= (Н, [V,, /£, , /£Х, /£Х ])(Х , Х2,X ,г), (I' = Х' - а'Г, 1 = Х - а' (Г - •);' = 1,3). И как результат, подставляя (7) в (1), получим тождество. Лемма 1 доказана.

'=1

3

1=1

'=1

Отметим, что уравнение (6) содержит две неизвестные функции (/ , V) . Поэтому, принимая во

внимание (3) и далее, дифференцируя (6) по *, выразим неизвестный коэффициент У5 (*), т.е. получим систему в виде

У; = (Н0 ^^ у; , /;х1 , /;х2 , /;х, ] )(х1, х2 , х3, * X

/;хс1 = (Н1, /;, /;х1 , /;х2 , /;х3 К^ X2, х3 , *X (1 = 1,3) (8)

^ ) = ( Н [V;, /;, Г , ^ , ^ ),

где

(Н [V;, /;, /еч , ^ , ^ ^ ) ^ ^ ^ ^ ^ЦС ) - ^^ ^ ^ ^^ ^ +

'31 -I 3

+|ехр -I- | 4(х/К {[-I(х0 - а,.(* - - а,(? - *),х2° - а2(? - *),

0 У 1=1 а1х°-а (* - *)

х0 ■ а . х3 а3(

х° - а (* - *);*) - ь(х° - а (* - *),х0 - а (* - *),х° - а(* - *);*)/(х0 - а (* - *),х0 - а (* - *),

х0 - а3(* - *);*) + ;/(А - а,С - *),х20 - а2(? -*),х0 - а3(* -*);"ОМ.^) -

1=1 дХ

33

-IV (х0 - а (* - *), х0 - а (* - *), х0 - а (* - *); *) +1 аЛ (х° - а (* - *), х0 -

1=1 1=1

3

-а2 (* - *), х° - а (* - *);*)/е(х° - а (* - *),х0 - а (* - *), х° - а(* - *);*) +1а1Ь(х'° -

1=1

-а (* - *),х° - а (* - *),х° - а(* - *);*)/^ (х° - а (* - *), х0 - а (* - *),х0 - а(* - *);*) -

а,; (х0 - а,(? - *),х20 - а2(? - *),х0 - а3(* - *);^"^'V*]}, 1=1 1=1 "с.

3 3 1 1

/1 ) = ^) - {-I а/01 (х0 - аl', х0 - ат1, х3 - а3*) ехР — [ Л (^г)^

1 а *

а У

+ /0(х10 -а1

х0 - а2(, х° - а*)ехр

| Л(х;)^х; [-^Л(х0 - а/)] - к(х0,х0,Х30,?)^(?)}.

—. п * —.

1=1 а1Х0 -

Если

I+ + ^ = ^ < 1,

(9)

1=1

где , Ьн , Ьц , 1 = 1, 3- коэффициенты Липшица операторов Н, Н0, Hi ,(1 = 1,3), при этом отображают области определения в себя, то система (8) разрешима в , причем

т+1 т+1} строится методом Пикара:

1=1

f£,m+1 - (H0[V£ , m , f£, m , fsxl, m , fex2, m , .^Xg, m ])(Xi, Xo, X3, t ),(m = 1,2,...),

•^x^ ,m+1 = (нг V

, m , f£, m , Д , m , fsx2, m , fsx3 , m

])(X1, xo, X3, t ),(i =1,3),

V£,m+1(t) = (H [V£ , m , f£, m , f£x , m , fex2, m , fsx3 , m

])(t),

где (f ,V0 ) начальные приближения с ошибками вычисления:

E < dm+1E _

Em+1 - d E0 <^<(d<1)

■>0,

E =1 f — f || + VI \f — f 11 + IIV — V II - dm+1E

m+1 ||-'£,m+1 £llc Ц г ,m+1 £xi Ц £,m+1 £|lc *

i=1

3

E0 fs,0 — f ||c + X II f£xc, ,0 — f£xi |L + \V£,0 — Vs\\c ,

0 <1)

0,

(11)

-iKJ^lx, ,fs,2 Js4 ] V( x^ Xo, X3, t) e Q (12)

при этом

[V , / , / , / , / ]-

Теорема 1. При условиях (2)-(4), (9) исходная обратная задача решена в , причем

3

1жГ =1 ЛИ С +^|| /£Х' с +| /£(|с + с '

i =1

»0) Q0,(d0

Л|W - (1 — d0)—1Q0,(d0 < 1,0 < Q = const).

Замечание 1. При выполнении условий теоремы 1 задача (1) - (3) разрешима в . Следовательно, альтернативно можем считать, на основе теоремы вложения К. Фридрихса [12], что задача (1) - (3) и разрешима в О = К3 х (0,Т0)), где пространство

Wo

= f e с(Q1); fSXiU, fst e 4 (Q); Vs e L (0,7;),i = 1,3}

3

+ 31 L +1 f£tll o,h +1И lo-

нормой:

Заметим, что обратные проблемы связаны с весовой функцией И = 444 . Поэтому должны получить результаты, когда

'/е (х,,х2,х3 ,г) б ¿2 (о), v£ (г) б и (0,т0),

|( F (X

q0, x°, x30, t)) 1 < ^o = const.

Пусть выполняется (9), (13). Тогда решение обратной проблемы (1) - (3), может быть расценено как последовательности пределов {f£m+1}, {V£ m+1} в пространстве W Действительно, оценивая,

f — f f — f

J £, m+1 J £ ' J £xt ,m+1 J £Xt

(13)

V — V

£,m+1 £

в L° и L , имеем

i=1

<

w.

<

4

Далее, принимая во внимание

' _ 4

а = I ц < 1,

1 =0

3

II/ - /II + У / - / + IV -VII = Е (14)

И-/;, т+1 / . | у ;х ,т+1 ||2 ^ II т+1 ;|12 т+1,(2)'

1=1 '

3

/;,0 - ./г ||2 & + II,0 - -^х ||7 к + ||^г,0 - У ||2 = Е0

0,(2),

1=1 получим

Е < ат+1Е _>0

Ет+1,(2) < а Е0,(2) т^оо(а<1) ' 0

в смысле К'2 ■

Теорема 2. В условиях (1)-(4), (9) и (12), (14) обратная задача (1)-(3) имеет единствен-ное решение в Кь , причем это решение расценено как последовательности пределов {/; т+1} {^ т+1} в

к.

II. Чтобы доказать

(ЛЛ)-^ (/ V) (15)

в Кс, поступим, следующим образом, т.е. учитывая результаты теоремы 1 и предполагая, что вырожденная задача:

"г +1 а1 / + к 0/ = V (*) F (Х1, х 2, Х3,*), (16) д* 7"! дхг.

Д=0 = Х 2 , Х эХ V(xl, Х 2 , Х 3) е ^

(17)

[/(Х10,х2,Х30,*) = ^), V е [0,70],

разрешима в Кс, устанавливаем близость решений (/;,У;) к (/, V) , когда £ ^ 0 в смысле нормы пространства к . Действительно, для этого учитывая результаты формулы (6), имеем

' х! ^ * Г X Л

/ = / (х - а/, х - а*, X - а*) ехр

-¿- 1 л (хк +| ехр -¿- } Л (Л

- я. . п а.

У

а

1 1х -а*

х¥(s)F(x - а(* - *), х2 - а(* - *), х3 - а(* - *);= (н2[V]) (х:, х2, х3, *).

(181)

Следовательно, с учетом (17) из (6) для решения обратной задачи получается система двух уравнений

Х-^, х2, х, * ), ^ ( Х|, х2, х3, * )е

/ = (Н2 [V]) (х, х2, х3, *), х, х2, х3, *) е Ц,

V = ^(х0,Х20,х30,*Э)-/) -1*(*,*)У(*)а*] = (Н3[!])(*), V е [0,7,],

где

3 3 1 х.

/1С) = ФС) + I а/ (х° - , Х20 - «2*, Х30 - а^)ехр -I — | Л (х_

1=1 а „0

ОаХ/

- /0( х0 -

-а/, х° - а*, х° - а*) ехр

I- Х| Л(хЖ [-^Л(х0 - а;)],

у 1 ^ " 1х0 - а*

^ (*, *) = ехр

0

I- ] Л(Х)аХ {[-IЛ(х0 - а(* - X - а( - *),х0 -

у 1=1 а1х0 - а С - *)

-а (* - *), х30 - а (* - *);*) -I(х0 - а (* - *),х0 - а (* - *),х0 - а(* - *);*)},

=1

I = х0 - а*; к = х0 - а.(* - *), (1 = 1,3).

Отсюда видно, что второе уравнение (182) является уравнением Вольтерра второго рода, поэтому разрешимо в классе непрерывных функций. Тогда имеет место теорема вида:

Теорема 3. Обратная задача (16), (17) разрешима в классе функций Кс, так как система (18)

разрешима в к .

Далее, учитывая результаты теоремы 1

I /;(Х1,Х2,Х3,*) = /(х1,Х2,Х3,*) + ^;(Х1,Х2,Х3,*),

^Уе(í) = V (г) +

(19)

Т7;(0) = 0,

Х1>Х 2>Х 3,0) = 0

4( Х10, Х20, Х30, *) = 0,

(20)

из задачи (1) - (3) получим

-р 3 д£ 3

+ I а1 (IЛ( X ))4( X'Х 2> Х3>0 =7;(г)F (Х1,Х 2>Х 3^) - к( Х1>Х 2>Х 3,г) х

д* 1=1 дх 1=1

х£( Х1, х 2, х 3,!) + ;(#;(Х1, х 2, Х3,0 + /(х, х 2, Х3,/))[^ д(^;( ^ 4 МН / (^ X, Х^, (21)

=1 дх

,х2 X е Ц. Воспользуясь системой (8) из задачи (20), (21) имеем

4 = (Н0 [7;, 4, ^ , 4х2 , 4х3 ])(Х1 > Х2 > ^ "X < = (Н1 [7еЛеЛеч ^ ]ХХ1, Х2> Х3, Ы1 = = (22)

7; (*) = (Н[7;,4,4х1 , 4х2 ДО),

здесь

Р(Х, -

(Н0[^£;^£*2А])(Х,,x,X,Г)=1 ехр -X- 1 4'.(Х^

0 ^ '=1 а, х -а (<-1)

-а (г - •), х - а (г - •), х - а (г - •); •) - И(х - а (г - •), х - а (г - •), х - а (г - •); •) х х а (х - а (г - •), х - а (г - •), х - а (г - •); •)+£[а (х - а (г - •), х - а (г - •), х --а3 (г - •); •)+/(х - а (г - •), х - а (г - •), х - а (г - •); 5)]х

о(а (X , X ,Х3* ,5) + /(X , X ,Х3* ,5)) ]

'=1

дх.

_ г 3 1

(Щ^а, а а ])(Х, Х,Х,Т) = 1 ехр -X - 1 4 (х/УХ/

0 ^ ¡=1 а , х-а, (1-5)

3 ,

х{ [-X _ (4 (Х ) - 4 (Х - а, (г - 5))](^£ СОР(Х1 - а1 (Г - •х Х2 - а2 (Г - Х3 - а3 (г - 5);5) -

'=1 а1

-И(х - а (г - •), х - а (г - •), х - а (г - •); 5)а (х - а (г - •), х - а (г - •), х --а3 (г - •); •)+£[а (х - а (г - •), х - а (г - •), х - а (г - •); •)+/(х - а (г - •), х -

2(Г-5),Х3 -а3(Г -•);•)]х [^ О(а(х2,х2,х2,5) + /(х2,х2,х2,5))]) + Xът (Х .

'=1 Ох, '=1

-а (г - •), х2 - а (г - •), х3 - а (Г - •); •) -X И (Х - ах (Г - •), х2 - а2 (Г - •), х3 -

=1

3

-а (г - •); 5)а (х - а (г - •), х - а2 (г - •), х - а (г - •); •) -X И(х - а (г - •), х -

-а2 (г - •), х3 - а (г - •); 5)А (х - а (г - •), х - а (г - •), х - а (г - •); •)+

3

(А (х - а (г - •), х - а (г - •), х - а (г - •); •)+/ (х - а (г - •), х - а (г - •),

Х - а (Г - 5); 5))]х[2 0 (£ Х1, Х2, Х3,5) + / (Х1, Х2,Х3,5)) ]}Д,(, = 1,3),

I=1

Ох,

(Н [^ ,А ^£Х1, ^£Х2, А„3 ])(Т) = (Р (Х,0, Х20, Х30,

О (А (х,2, ,х3 ,•)+/ (х', х2 , х' ,•)) Ох,

]+

+_[ехр| 1 4(х,')аХ,' ¡{[-XX4(Х,0 - а, (Г- 5))](^МР(Х - а,(Т -•),х2 -

О (А (х1 , Х2,..., Х2 ,•) + / (х: , Х2,..., Х2,5)).| Ох,

-а (г - •), х° - а (г - •); •)+£[X

х[А (х° - а (г - •), х° - а2 (г - •), х° - а (г - •); •)+/(х° - а (г - •), х° - а (г - •), х° -а (г - •); •)] - и(х° - а (г - •), х0 - а (г - •), х° - а (г - •); 5)А (х0 - а (г - •), х° -

-а (г - •), х° - а (г - •); •)) - (5)аР (х0 - а (г - •), х° - а (г - •), х° - а (г - •); •)+

=1

3

+£ а и (х° - а (г - •), х° - а (г - •), х° - а (г - •); 5)А (Х10 - а (г - •), х° - а (г - •), х° -

-а (г - •); •)+X аИ(х° - а (г - •), х0 - а (г - •), - а (г - •); 5)А (х° - а (г - •), х° -

=1

3

-а (г - •), х° - а (г - •); •) - £[2 а, А (х° - а (г - •), х° - а (г - •), х° - а (г - •); •)+

=1

а, / ( х0 - а, (Г - •), х2 - а2 (Г - •), £ - а3 (Г - •); 5)][^ О (А,( ^ ^ + / (x'•, ^ х3,5)) ]}^]}

,=1 ,=1 ОХ,

=1

=1

=1

=1

=1

Далее, оценивая (22) в смысле к , при этом учитывая

I Ьн1 + ЬН0 + ЬН = а < ^

1=1

где Ь^, Ь^ , Ь^ , (1 = 1,3) - коэффициенты Липшица операторов Н, Н0, Н\, (1 = 1,3),

получим

Е < ат+1Е_

Ет+1 < а Е0 т—оэ(а<1)

■>0,

Ет+1 р;,т+1 4

+

III4

/ I ра,

!+1

+\7;,т+1 -пХ< ат+1Е

0 т—о( а <1)

0,

Е0 = ||£ II с +Ц1 |4х1 с +||7;|| с ,

(24)

1=1

(25)

так как

4;,т+1 _ (Н0[|;, т ,^;,т ,^;х1,т ,^;х2,т ,£;х3,т ])(Х1, Х2, Х3, 0, (т = " ^;х1 ,т+1 _ (Нг\Л;,т ,^;,т ,^;х1,т ,^;х2,т ,£;х3,т ])(Х1, Х2, Х3, 0, (1 =1,3), ,т+1 (*) = (Н [7 ])(*).

Тогда система (22) решена в Жс, причем, , т+1}, ,

ОТ + 1} построенЫ методом последовательных приближений: где (^ = 0, |0 = 0) - начальные приближения, при этом

—[7;, 4, ^ , ^ , ], V ( Xl, Х2, Х3, *) е Ц,

(26)

[п ,£ ,£ ,£ ,£ ] -

I- /;,т' ~;,т' ~;х,т' ~;х2,т' ~;xз,mJ

Е0 = II с +Ik;JL +7

;| 1с'

->0,(0 < < = сопф.

Е0 < (1 - а У1;<20 -

Следовательно

(7;,^;) ;—>0 К0,01, V(X1,X2,X3,*) е (27)

Теорема 4. В условиях теорем 1,3 и (27), устанавливается близость решений (/;,Уе) к (/, V) в смысле Кс , когда £ ^ 0.

Литература

1. Агошков В. И. Некоторые вопросы теории приближенного решения задач о переносе частиц. -Москва: ОВМ АН СССР, 1984. 206 с.

2. Арсеньев А. А. Кинетические уравнения. М.: Знание, 1985. 64 с.

3. Владимиров В. С. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц // Труды МИАН СССР. М, 1961, № 61. С. 3158.

4. Винг Дж. М. Кинетическая теория и спектральные проблемы // теория ядерных реакторов: Сб. М.: Госатомиздат, 1963. С. 160-171.

5. Гермогенова Т. А. Локальные свойства решений уравнения переноса. М.: Наука, 1986. 272 с.

6. Марчук Г. Н., Лебедев В. И. Численные методы в теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1981. - 454 с.

7. Найфе А. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 455 с.

8. Омуров Т. Д., Туганбаев М. М. Прямые и обратные задачи односкоростной теории переноса. Бишкек: Илим, 2010. 116 с.

¡=1

9. Смелое В. Б. Лекции по теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1978. 216 с.

10. Султангазин У. М. Дискретные нелинейные модели уравнения Больцмана. - Алма-Ата: Наука, 1985. - 192 с.

11. Туганбаев М. М. Прямые и обратные задачи для многоскоростных уравнений типа Каца Больцмана. Бишкек: Илим, 2011. 122 с.

12. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 196 с.

13. Frosali van derMee, Paveri-Fontana, Conditions for runaway phenomena in the kinetic theory of particle swams // Journal Math. Phys., - 1989. - Vol. 30. No. 5, pp. 1177 - 1186.

14. Smith D. R., Palmer J. T. On the Behavior of the Solution of the Telegraphist's Equation for Large Absorption // Arch. Ration Mech. and Anal, 1970, 39, № 2, pp. 146 - 157.

Расчёт модуля упругости (Юнга) Земли Акопов В. В.

Акопов Вачакан Ваграмович /Akopov Vachakan Vagramovich — учитель физики, Муниципальное образовательное учреждение Средняя общеобразовательная школа № 6, село Полтавское, Курский район, Ставропольский край

Аннотация: численные значения модуля упругости Земли и её частей, полученные расчётным путём, можно использовать при теоретических геофизических исследованиях Земли. Ключевые слова: модуль упругости, Земля, масса, земельная кора, мантия, ядро.

Упругостью называются свойства тел восстанавливать свои размеры, форму и объём после прекращения действия внешних сил, вызывающих деформацию. Модуль упругости - это способность тела деформироваться при воздействии на него силы или же давления. Следует учитывать, что деформация в данном случае должна быть только упругой [1, с. 184].

В настоящее время модуль Юнга считается одним из основных фундаментальных понятий, которое применяется в инженерном деле.

Как известно, в Международной системе СИ:

[£] = Н = Па(паскаль).

м

По геофизическим данным Земля разделяется на три основные области: кору, оболочку и ядро. Под корой понимают верхний слой Земли, имеющий толщину до 33 км. Оболочка или, как часто говорят геологи, мантия Земли - на глубине от 33 км до 2900 км. Ядро представляет собой центральную часть Земли - на глубине от 2900 км до центра. Из всей массы Земли кора составляет менее 1 %, мантия -около 67 %, ядро - около 32 % [2, с. 8].

Известно, что Земля состоит из различных веществ. Модуль упругости всех веществ различен, и они обладают различными механическими свойствами.

Реально модуль упругости Земли и его частей неизвестен. Однако его сравнивают с модулем упругости стали - 210 ГПа. Попытаемся расчётным путём его вычислить.

Принимается, что химический состав Земли близок к среднему составу метеоритов. На основании космических и экспериментальных данных средний химический состав Земли и его частей, по данным различных авторов, представлен в таблице 1.