Многоскоростная коэффициентно-обратная задача переноса с малым параметром при интеграле столкновений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Многоскоростная коэффициентно-обратная задача переноса с малым параметром при интеграле столкновений Омуров Т. Д.1, Саркелова Ж. Ж.2

1Омуров Таалайбек Дардайылович / Omurov Taalaibek Dardaiylovich - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математического анализа; 2Саркелова Жыыдын Жанышевна / Sarkelova Jyldyz Zhanyshevna - старший преподаватель, кафедра кибернетики и информационных технологий, факультет математики, информатики и кибернетики, Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: заметим, что не только уравнения переноса без параметра имеют физические приложения, но и задачи с малым параметром имеют конкретные физические приложения. Так, например, в работе [10] изучается проведение решения задачи для телеграфного уравнения при большой абсорбции, где £ = и 1, и> 1 -коэффициент абсорбции, / = / (х, t) - заданная функция источников. В связи с

этим в данной работе рассматривается многоскоростная обратная задача переноса с малым параметром типа Каца-Больцмана, то есть обратная задача требует нахождения неизвестной функции распределения и восстановления неизвестного коэффициента в правой части.

Ключевые слова: задача переноса, функция распределения, многоскоростная обратная задача, малый параметр, гладкие функции, весовое пространство.

Введение

Кинетическая теория или теория переноса [1, 2, 4, 5, 7] восходит к работе Больцмана по кинетической теории газов, которая не потеряла своей актуальности и в настоящее время. Именно предположение о линейности так сильно упрощает уравнение для потока нейтронов по сравнению с кинетическими уравнениями теории газов. Нелинейные уравнения должны, в частности, рассматриваться при расчетах устойчивости реакторов [3] ив других областях, где нелинейная теория переноса является вполне справедливой.

В связи с этим в работе исследуется нелинейно-нагруженная многоскоростная обратная задача переноса с малым параметром. Поэтому, естественно, возникает проблема: построить решение возмущенной задачи с учетом тех условий, которые

накладываются на известные функции и [11]: И0 > 0 . Причем на основе этих условий

и вытекает близость решений возмущенного и вырожденного уравнений в пространстве гладких функций.

Результаты работы могут быть использованы при дальнейших исследованиях по дифференциальным и интегро-дифференциальным уравнениям в частных производных более высокого порядка для уравнений переноса более сложной структуры.

Пусть требуется найти пару неизвестных функций (/е(^у,...,Хп,t\У£()) для уравнения с малым параметром при интегральном члене в многоскоростном случае, если

if + I*' i '+ = Ve(t )F (x 2,-, t) + *[£

Ot i=i ex. ,=1

V(xi,x2,...,хи,t) eQi = Rn x [0,70],

Ox.

n

K/E = J K (x; ) ho (xí,..., хП) /f( xí,..., хП, t) d Ц; ho = X4( x),

Л| t=0 = /o(xí,x2,..., xn), x 2,..., xn) е rn, (2) / (x0, x20,..., x0, t) = ^), Vt е [0,70], (3)

1) 0 < ai = const, 0<^(x ),^(t ),0 < K (.), F(x1, x2,..., xn, t), /0 - заданные функции, Rn э(x°,x°,...,x°),(x*,x2,...,x*);

2) 0 ф F (x0, x0,..., x0,t),V(x1°,x20,..., x0, t) еЦ, причем: J K (xp..., xn; x1i,..., x^ dQ = 1.

n

Здесь функции (fE(Xl,...,xn,t),VE(t)) gWc = /.К/-Г11 Q, ()./;, |

с нормой:

к.

n

+ I

i=1

t lie

1. Проводя интегральное преобразование [6, 8]:

( п 1 X Л

/ = Q^ x 2,..., xn ,t)eXP

-I г J Л

да

,V( xi, x 2,..., xn ,t) еЦ,

OQ ^ OQ f ^ 1 x-

■ir + I= exP I-

Ot i=1 Ox i=1 a

^ v xi )dxi

[V (t )F (x1, x 2,..., xn, t) +

(4)

+f[I Шx1, x*,..., xn,t) ]K/ ],

Ox

б|,=0 = бо(х1'Х2хп) = /с(Х1.Х2Хп)еХР Е_

^¡=1 «Ь

из (1) получим

•Л = /0(Х1 - «А- Хп - «пО еХР

-ivx/)dxi'

V( x1, x 2,..., xn) е Rn

i n г x, \ t f n : x >\

-I — J Л(x!)dx! + J exP -I — J Л(x )dx

n J J n -i

x{ V(s) F (x1- *1(t - sX ..^ xn- *n(t - s);s) +

O/f( x2, x^.-x2, s)n

(5)

[I-

Ox.

-] JK(x1 - a1(t-s),...,xn -

-*n (t - s); xi,..., x')h0 ( xi,..., xn) /f( xi,..., xn, s ) d Q}ds = H a[V„ /е, Д, /„.,..., f^ ],

так как

- * (t-s)

Q = Qo (x - *t,x - a2t,...,x - *,t) + Jexp I— J Xi(x[')dx[ [V(s)F(xj - *(t - s),x2 -

-a2(t - s),..., xn- an(t - s);s)+f[I

O/f( ^ x2 x„,s)

dx.

] JK(x1 - a1(t - s),...,xn -

-ап(г - 5);X,■■■,х')к0 (х|х^)/,(х^,5)d Лемма 1. Уравнение (5) является эквивалентным интегральным представлением задачи (1)-(3).

Доказательство. Действительно, дифференцируя (5) последовательно по г и х[:

Q=R

e

e

i=1

/=1

Ц

i=1

Ц

п п 1 !

=-Еа^01 (х -хп -апг)ехр -Е_ I 4(

ТТ ! ТТ п >>

+ А(Х " ^ хп " апО >

х ехр

п 2 п

-Е- I 4(Х)^ [-Е4(Х -а,г)] + (х,х2,...,хп,О +

ТТ п >> ТТ

1=1 t (

дх,

]К^+1 ехр -Е- | {[-£4(х -а1(г-з))]>

0 ^ 1=1 а>х-а,(!-*) ^ ,=1

>К£з)Р(х1 - а1(г - хп - ап (г - з)'; з)-Ё¥£)а!РК (х1 - а1( - хп

—/1 I —

(г - з); з)+£[-Ё4( Х - а, (г - ^ЖЁ

дЛ (X, Х2 Х'„,з)

-ап(г - з); х')Ио (Х^.^ хп) Л( Х^.^ х'п, 3) а-

=1

Х ,..., х' , 3 |

дх

^К(х -а1(г-з),...,хп -

д/е ( х12, Х*,^ х2,3) дх

п

^ (Е а,КК

(х -а1(г-з),...,Хп

а ¡=1

-ап(г-з);Х1,...,х')И0 (х[,...,х'п)/£(х'1,...,х'п,з))Да}<1з,

I = х - а,г, И = Х - а (г - з),(, = 1,п),

п п 2 х

£ = ЕА,(х1-alг,...,хп-апг)ехр -Е_ I 4(х,)аХ

+ Л(Х1 - а1гХп - апг) х

> ехр

-Е- I 4(х№ [-Е 1(4(Х)-4(х, -а,г))] +

=1 а

\

г п 1 х п 1

+| ехр -Е - I 4( Х^Х х{[-Е 1(4(х1)-4( Х- а< (г - з))ГЛз)Е( х -

-а (г-з)

,=1 а1

-а1(г - а^..^хп - ап(г - з);з) + ЕГ£(з)рк(х -а1(г -хп -ап(г - з);з) +

+£[-Е-(4(х,)-4(х, - а, (г - з))] х[ЕЕ К (х - а1(г - з),..., Хп -

,=1 а, ,=1 дх, а

-ап(г - з); х^.^ х)И0 (х^.^ Х)х А( х^.^ Хп, з) ^ а +

+£

[Е

д/лх2, x2,..., хп,з)

дх

п

]| (Е Кк(Х1- а1(г - хп- ап(г - з); Х^.^х)

(6)

а ,=1

(х[,..., хп) их,..., хп, з))а а}с1з = (н1 V, /е, /ещ, /еХ2,..., ^ ж х, х2,..., Хп ,г),(, = 1, п). Подставляя найденные производные и функцию в (1), получим тождество. Лемма доказана.

Далее, подставляя х = хг°, , =,, п в (5) и дифференцируя по г, выразим неизвестный коэффициент У5 (г), причем, учитывая (4), (5), получим систему в виде

!е= (Н£ ^ , !ехп ]) (^^ Хп, г ),

<£ = (Н, ^ £ ^ /е^..^ /£*:„ МХ!,.. Хп , ^ == (6^)

К(г) = (н[К,I, £, г ,..., г ])(г),

где

=1

=1

п

п

п

=1

а

п

=1

(н ув, Е Д, /хг ,■■■, и ])(г) - (Р (х0, Х0,-, х0, г ))/) - [е[Е /е( ^ х»,г) ] х

дх,.

Г п 1 ^ п

/х0,х0,-,хп,г) + |ехр -Е- | А,.({[-Ел(х0 - а,(г - 5))]Кг(5)Р(х0 -

- а (г-5)

-а1(г - 5),■■■,х° - ап(г - 5);5) - Е V. (5)аЛ, (х10 - а1(г - ■■■,х»° - ап(г - 5);5) +

,=1

+4-Ел(х,0 - а,.(г - 5))][Е^/^Сх^-:!^]!к(х0 - а1(г - з),...,х0 - «п(г -5);х',-,х') х

хАо(xl', хп)/е(xl', ■,хп,5)d°-е[Е

д/Е( х2, x*,■■■, х',5) дх.

п

]! (Е аКи, (х° - а1(г - 5), ■■■, х0 -

о ,=1

-ап(г -5);xl,■■■,х>о (x',■■■,хп)Л(xl,■■■,хп,5))d0}d5]},

п п 1 г

/(г) (г) - {-Еа/01, (х10 - аlг,■■■,хп° - апг)еХР -Е_ ! Л(Х.')аХ

ТТ 1 ТТ /7

+ У0(х10 -alг,■■■,х°° -

-а г) еХР

-Е- ! Л(хЖ [-ЕЛ(х,0 - а.г)]}■

Таким образом, для решения обратной задачи (1)-(3) получается замкнутая система (п+2) интегральных уравнений Вольтера второго рода (6) по переменной

г е [0,7 ], решение которой может быть найдено методом Пикара:

/е,т+1 _ (Н0[^Е,т , /е,т , /ех1 ,т , /ехг ,т ,■■■, /ехп ,т ]) (X1,■■■, хп , г ) ,(т = -^^■■О,

< ех1 ,т+1 = (нг V

,т , /е,т , /Ех1,т , /Ех2,т ? ^ехп,т

Жх,-, хп, г), (г =1, п), (7)

^Е,т+1(г) = (Н [К , т , /е, т , Лх, , т , /Ех? , т , ■■■, ./Ехи, т

])(г),

при этом [V , / , / , / ,■■■, / 1 -

Е,т'~* Е,ти Ех,ти Ех2,т?"'? ^ Ехп,тJ т—./Е, ./Ех! , ./Ех ^^ ./Ехп -К X1,■■■, Хп , ^ ) е (8)

Теорема 1. Пусть имеют место условия (2)-(4) и (8). Тогда задача (1)-(3) имеет единственное ограниченное вместе со своими частными производными решение в №с. 2. Доказать, чтобы

(/еЛН^НУТ) (9)

в№с, поступим следующим образом, т. е., предполагаяЕ = 0, получим вырожденную задачу:

1Г + Еа + К/ = V (г)Р (Х1,х о,-, х„ ,г), у( Х1, х о,-, хп ,г) е о = Я" х [0,70], (10)

дг г=1 дх,.

/г=0 = /)(х1, x 2, ■■, хп), х1, x о,-, хп) е яп, (11)

/ (Х0, х0, ■■■, Х0, г) = кг), V/ е^Л! (12) Следовательно, учитывая (4), имеем

/ = /0( Х1 - alг,■■■, Хп - апг )еХР

г п г Xх Л г Г п ! Xх ^

-Е_ ! л()+!ехр -Е_ ! л(х'^х

V

г хг -а,г ; 5)

(13)

XV(5)Р(х1 - а1(г - 5),■■■,хп - ап(г - 5);5^5 - (G0V)(x1,■■■,хп,г) или

г=1

0

/ = (О0У) (Х1,..., Хп, г),

д — /х = — (О0У) = (Оу)(х,..., Хп, г),(, = 1, п), ' дх,.

V (г) = (ОУ )(г),

г ( п 1 Х0

(ОУ)(г) = ^(х0,х0,...,х0,г))-/)-[Iехр -£- I МхС,

0 ^ <=1 а,х0-а (г - з)

пп

х{[-Е4(х0 - а, (г - з))]У(з)Р (Х0 - ах(г - з),..., х0 - ап (г - з); з)-Еу (з)а^ (Х0 -

= ,=1

-а1(г - з),..., х° - ап(г - з);з)}Сз]},

( х0 ^

п п 1 !

/(г)(г)-{-Еа/ (х1-alt,...,х°-апг)ехр -Е11 4(х<)сСх<

^ ! ^ п У

'=1 а х0 -

+/0(х0 - . ^ х°- а„г) ехр

п | ! п

-Е~ I 4(х<)сх< [-Е4(х0 -агг)]}.

^Т п У ^Т

Так как уравнение относительно функции У (г) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода, то разрешимо в С[0, Т0 ]. Поэтому функция / и все частные производные первого порядка / , (, = 1, п) определяются с точностью на

основе функции У (г) . Следовательно, вырожденная задача (10)-(12) разрешима в . Далее, полагая

'/E{Х1,..., хп , г )= / (xl,..., Хп , г )+ZE{Х1,..., Хп , г),

(15)

к(г ) = у (г )+ъ(г), %(0) = 0, <^Е(Х1, х 2,..., хп ,0) = 0, (16) Де( х0,4,..., х0, г) = 0,

из задачи (1)-(3) следует

^Д^ + ^^а, дДт + (х„ х 2,.., х„ ,г) +

+е[Е д (Д£(х1, х ^ Х ,г) + / (х1, Х ^^ Х",г) ] (К (Д + /))Х, х2,..., Х„ ,г),

(17)

дх /

,х2,...,хп,г) е а,

К (Д8 + /) = | К ( Х1,..., хп; х[,..., х'п) К ( х[,..., х'п )[£ х[,..., Хя, г) + /8{ Хп, г )]С а.

а=яп

Тогда, воспользовавшись системой (5) для задачи (16), (17), имеем:

Д£ = (Н0 [^£,Д£, Д£Х1 , Д£Х2 ,...,> Д£Хп ]) (Хп, г),

^ Дещ = (Н, [ЪДД Дех2 ^..Дехп ])(Х',..., Хп, ^ = = (18)

% (г) = (н [ъДД , Дех ,...,Дх жг),

причем

- г " 1 г

№,^ехДх2,-,£х„])(Х1,-,хп,г)-|ехр -Е- ! Л(x¡)dx¡

¡=1 - (г-5)

М5) Р ( Х1 -

-а— - 5),..., хп- ап(г - 5);5) + е[Е

д(£ (Х1 , Х„ Хп ,5) + /(Х1 , X ,..., Хп ,5))

дх,.

] | к (х—

-а1(г^Х..,х-ап(г-5);x',...,Х)\ (xl,...,хя)[£(xl',...,х„,5) + /(xl,...,х'п,5)]d

- г " 1 г

тъ,^,^,...,^])(х,Х2,...,хпг) -|ехр -Е7 ! Л^щ

'г х-а; (г-5)

х{[-ЕЕ _(Л( X ) -Л( X - аг (г - 5))Ш5)Р (Х1 - а1(г - •^Х.- Хп - «п (г - 5); 5) +ЕЕ ^^^^^^^^ (X =1 а =1

"а1(г - 5),■■■, хп - ап (г - 5);5) + е[-Е — (Л(Х )-Л(хг - аг(г - 5))]х

<Е

д (Xl, Х2 ,■■■, Х„,5) + У(X1, X2,■■■, X„, 5))

дх.

]|К(х— -а1(г-5),...,хп -ап(г-5);х—,...,х')>

х^0 (xl,■■■,xl,■■■,Х,5) + у (xl,■■■,,5)]dо + Е[Е

д РЕX , X2,■■■, Х„ ,5) + У ( X , X2,■■■, Хп,5)) ]

дх

п

<1 (Е К (х—- а1(г - 5),■■■, хп- ап(г - 5);х— х')к0 (х—хп)[Е xl,■■■, хп, 5) +

о ¡=1

+/ (х',..., х„, 5 )])d 0}d5,(i = 1, п),

(н ])(г) - (Р (х—0, Х0,..., Х0, г))-1-

х(-[Е[^ д ^ x2,■■■, х„ ,5) + У (Х2, x2,■■■, х„ ,5)) ](К (£ + /е ))(х—0, Х0,..., Х0, г) +

=1

г (

дх

+! ехр -Е _ ! {[-ЕЛ( X0 - а, (г - 5))]^(5)Р(х° - а—(г - 5),..., X

0 ^ ¡=1 а,х° - а (г-5) ¡=1

ап (г - 5); 5)-Е^Е^ар (X—0 - а—(г - 5),..., XI - «п (г - 5); 5) + е[-ЕА( х" - а (г - 5))] х

,=1

]|К(х—0 -а—(г-5),...,х0 -ап(г-5);х—,...,х')>

д (Xl, X2,■■■, Х„,5) + У(X1, X2,■■■, X„, 5))

дх

>^0 (xl,■■■, хп )[£( xl,■■■, хп, 5)+у (x^■■■, , 5 )]d

[Е

д (^е ( х— , х2 ,■■■, х„„,5)+у (x—, x2,■■■, х„,5))

дх

п

]! (Е «¡Кк ( х—0 - а1(г - 5),■■■, хп-

О ¡=1

-ап(г - 5); xí,■■■, х)К (xí,■■■, хп)[£е( xl,■■■, хп, 5)+у (x—,■■■, хп, 5 О}d5]}■ Поэтому, учитывая результаты теоремы 1 и

^Е,т+\ = (Н0 [^Е,т ,^е,ш , ^ел— ,т, ^ех2 ,т , ■■■, ^Ехп ,т ]) ( Х1, ■■■, Хп , г), (т = -1, 2, ■■■), < ^ех, , ш+1 _ (н, [^е,ш ,^е,ш ,^ЕХ1,т ,^ЕХг,т ,■■■,£ехп ,ш ])(х—,..., Хп, г),(¡ =п), (19)

^Е ,т+1 (г) = (н [ле

, т , ^Е,т , ^ЕХ— ,Ш , т , ■■■, ^ЕХп ,ш

])(г),

получим

0

=1

о

0

=1

=1

о

=1

о

[ЪДеДВХ1ДеХ1,-ДеХя ] —— >0,Ц*!,-,Хп,*)е°г (20)

Теорема 2. В условиях теоремы 1 и (20) решение (/5 ;Уе ) исходной задачи (1)-(3) равномерно сходится к решению (/;У) вырожденной задачи (10) -(12) вЖс , когда 0 .

Замечание. Известно, что при выполнении условий теоремы 1 задача (1)-(3) разрешима в . Следовательно, альтернативно можем считать, что на основе

теоремы вложения К. Фридрихса [9] обратная задача (1)-(3) и разрешима в W2, и

при этом имеет место (/е,Уе) ————>(/,У)в смысле нормы W2 , где

Wl = {/е е С (О,); /ехи, ^ е Ь\ (О); у е Ь (0,Т ),1 = \п}, к, = ^х,) х ^(х2) х... х ^ (хя ),

п

-а д1и 41 аи+1 и |2.

Литература

1. Агашков В. И. Некоторые вопросы теории приближенного решения задач о переносе частиц. М: ОВМ АН СССР, 1984. 206 с.

2. Владимиров В. С. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц [Текст] // Труды МИАН СССР / В. С. Владимиров. М.: 1961, № 61. С. 3-158.

3. Винг Дж. М. Кинетическая теория и спектральные проблемы [Текст] // Теория ядерных реакторов: Сб. / Дж. М. Винг. М.: Госатомиздат, 1963. С. 160-171.

4. Марчук Г. Н. Численные методы в теории переноса нейтронов [Текст] / Г. Н. Марчук, В. И. Лебедев. М.: Атомиздат, 1981. 454 с.

5. Максвелл Дж. Основатели кинетической теории материи. М.: Л. ОНТИ, 1937. 201 с.

6. Омуров Т. Д. Прямые и обратные задачи односкоростной теории переноса [Текст] / Т. Д. Омуров, М. М. Туганбаев. Бишкек: Илим, 2010. 116 с.

7. Смелов В. Б. Лекции по теории переноса нейтронов [Текст] / В. Б. Смелов. М.: Атомиздат, 1978. 216 с.

8. Туганбаев М. М. Прямые и обратные задачи для многоскоростных уравнений типа Каца - Больцмана [Текст] / М. М. Туганбаев. Бишкек, 2011. 122 с.

9. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 196 с.

10. Smith D. R. On the Behavior of the Solution of the Telegraphist's Equation for Large Absorption [Text] / D. R. Smith, J. T. Palmer. // Arch. Ration Mech. and Anal, 1970. 39. № 2. P. 146-157.

11. Kac MFoundations of kinetic theory, in the Proceeding of the third Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, edited Neyman J. (University jf California Press, Berkeley, 1956). [Text] / M. Kac. Vol. III. P. 171-197.

12. Омуров Т. Д. Трехскоростная коэффициентно-обратная задача переноса типа Каца [Текст] / Омуров Т. Д., Туганбаев М. М., Саркелова Ж. Ж. // Наука, техника и образование. № 5 (23), 2016. С. 8-18.

1=1