О методах преобразования в теории переноса Текст научной статьи по специальности «Математика»

В = A + A Y В

1 2 j,

j1=0

Ви =(А] +А2В0)(1 + А2Г',(г1 >1) (15)

является решением уравнения (14). Тогда при всяких значениях > 1 для погрешносш |ДА|

верна оценка

Ъ1г

< (4 + 4 \ph0 \)(1 + 4Г1 <-J—[r(h) + CjS + hK0 \/3h0 \]K[1 + J-hKJ--1,(ij > 1)

1-q

[r(h)+c>§+hK° \] x exP(jr Ko)'

l-q

(16)

i, - i

T

Т

где I1 < N < — к

т. е искомая оценка погрешности приближенного решения (6) получена.

заменим на — , учитывая (i + u)u —

А это означает, что если приближенное решение уравнения (6) удовлетворяет (8), то справедлива оценка:

I I 1 I I Т 11 к - И <; --Кй) + С,3 + кК0 ] X ехр(--К0) = уф, 3, И),

II 11 1 -д 1 1 1-д 1 1 (17)

7{h,SM\)-

->0 ,(h = S2).

v0 у /г—>0

Далее, так как по условию f (X, t) — точное решение системы (6), то с учетом (7), (17), справедлива оценка:

(х,о - fh(х,о||с < схё+гх(И)+кмк S,кЩ\), (18)

где K ,\R. < r,(h),R. = J N°(x. ,t.,s,)V(s)ds — h Y N0. .V. .

1 II He I i2 | Л 7 i2 J 1 i2 i1 7 1 7 /—I i2.i1.J1 J1

J1=0

Теорема 1. В условиях (17), (18) приближенное решение (f^ ; V^ ) построится по правилу (7) и

если h достаточно малое, то

> 0

К-V

h h

<6,

f -f"

J ;2'7i ^ h>h

<sv

0

Литература

1. Туганбаев М. М. Обратные задачи для нестационарного дифференциального уравнения // Труды ИВМ и МГ СО РАН. Новосибирск, 2007. Сер: информатика. Вып. 7. С. 310-316.

О методах преобразования в теории переноса Туганбаев М. М.

Туганбаев Марат Мансурович / Tuganbaev Marat Mansurovich — кандидат физико-математических наук, доцент, Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: исследуется развитие новых подходов к решению задач переноса - интегральным преобразованиям. Требуется доказать существование и единственность решения уравнения переноса, удовлетворяющего начальному условию. Обратная задача требует нахождения неизвестной функции распределения и восстановления неизвестного коэффициента в правой части. Исследования проводятся также и в пространстве весовых функций.

Ключевые слова: теория переноса, интегральные преобразования, прямая задача, обратная задача, пространство весовых функций.

Как известно [1], одна из причин многих трудностей, возникающих при исследовании сходимости алгоритма приближенного решения задач теории переноса, состоит в том, что решения этих задач не обладают, как правило, классической гладкостью, то есть они не принадлежат пространствам типа

С{к) , к > 1. Эти решения имеют определенную специфическую гладкость - гладкость вдоль

направления полета частиц, и в них, например, могут иметь место разрывы в подобластях, в которых исходные данные являются гладкими. В связи с этим, решения задач переноса будем искать не только в пространствах с чебышевскими нормами, но и в пространстве весовых функций.

Отметим, что при использовании, например, метода дополнительного аргумента относительно дифференциальных уравнений в частных производных с эйлеровским оператором, получены решения только в случае пространства с чебышевскими нормами. Однако в физических приложениях эти уравнения, в основном, имеют разрывные решения. Поэтому с позиции прикладного характера необходимо найти для задач переноса аналитический метод, которой способствовал бы оценке решений и в пространстве с чебышевскими нормами, и в пространстве весовых функций. Схема составного интегрального преобразования прямых задач Рассматривается задача для уравнения переноса

Ь/ + к/ = К/, /(и,г)= /(и), (и,г)еЦ = ЯхЯ+, (1) Т г д/ {и, г) ( ,д/ (и, г)

где Ь/ = ' > + а(и)^ / ,

дг ди

да

| к (и, и%и% (и', / (и', г + ^ (и, г) = К/, 0 < а^0 < к(и)

—да

1. Вводится преобразование [2]

/ (и, г ) = <2(и, г )ехр I —|

М.

а(и')

ёи'

Vvе Я, V/ е Я

(2)

где для новой неизвестной функции получается задача:

^ + а{и)дЯЫ = ехр I }

дг

и

ди 11—да а(р')

0(и,г)^ = у(и\ Vие Я, , ч , ч (Ч к (и') ^

Пи) = Л(и)ехР^ ёи

ёи'

К/,

(3)

2. Вводится функция, которая является решением дополнительной начальной задачи

р (и, г, s)+а(и)ри(и, г, ¿)=о, р(и, г, г)=и (4)

3. Доказывается эквивалентность полученной задачи (3) и интегрального представления

г (р(и,г,8) ,/ А ^

д(и, г) = рр(и, г,0))+1 ехр I | ёи'

0 У —да а(и ) у

К/ёк.

(5)

Замечание 1. Отметим, что введенное интегральное преобразование фактически представляет собой следующую систему:

Л

Vи е Я, Vt е Я

/ (и, г ) = а{и, г )ехр (— Г ^ ёи'

У —даа(и)

г ( р(и,г) к(и') Л 0(и, г) = ф(и, г,0))+$ехр I | -Т ёи' (К/)(р, 8уь,

о У —да а(и) )

р (и, г, 8) + а(и)ри [и, г, = о, р(и, г, г) = и.

и

—да

4. Из полученной функционально алгебраической системы (2), (5) находим

/ (и, г ) = /о (р(и, г,0))ехр — | -Л) ёи' + { ехр — { -Л) ёи' / = Я С/"!! (7)

У р(г,',о) а(и) ) о 1 р(и,г,8) а(и ) )

5. Доказывается эквивалентность исходной задачи (1) и (7).

6. На основе (7) доказывается разрешимость задачи в пространстве с чебышевскими нормами и в пространстве весовых функций.

Схема интегрального преобразования коэффициентно-обратныш задач

Здесь тф, г ) = V (г (г, г).

Если имеется дополнительная информация

/ (ио, г )=ф( ), (8) то схема преобразования выглядит следующим образом [2]. 2.1. Используем решение прямой задачи с условием (8)

( и <(,л Л г ( и , / л А

У о (г) = /о г,о))ехР — | -Л) ёЛ +| ехр — |

, р(и„,г,о)а(и ) ) о | рГо,

ки и

р(ио,г,8)

) а(Г')

{К/\р, з)ёз (9)

и получим эквивалентную систему интегральных уравнений для определения двух неизвестных функций:

/ (г, г ) = (я [/ V ])(г, г), V(г) = (Яо[/У]Л^г)и,Го е Я,г е Я+.

Интегральные преобразования прямых задач для односкоростного уравнения переноса

Задача 1. Найти функцию распределения /(и, г)е (п): ||/||

(10)

1С +11 Л|с + 11/Лс , если

^кЛ + а(и+ -Л)/Л, г )= ] к(и,и%и')К (и', /Л, г))ёи' + Т (и, г ) = К/, (11) дг ди

—да

1(Л *) *=о = /о (и) (и, г)еП1 = Я х Я+, (12) Р1{и,г)еС1'0 (ц), о < /о (и) е С1 (Я), ^ Л',/)е С11 (Я х Я), о < а (и), о < к(и,и') о < к(и)

+да

/ \ II I* +да

Т^р М = сотг, V(и, /) е Я х Я, I = о,1, М | к (и, Л) к (и')ёи'<+да, | к{и)ёи<+да,

|к (и, и' )ёи ' = 1.

Доказываются последовательно леммы, в результате чего имеем интегральное представление

/ Ч / / чч ( Л к (Л)

/ (и, г ) = /о (р(и, г, о)) ехр — | -ЛёЛ

у рЛ,',о) а (и ) )

г ( и кЛЬил

ь|ехр — |

"Iехр — í

о у р{и,г,8)

У р{и,^,8) а (и )

^Л) и

| к(р(и, г, 8) , и')к(и') Т (и', / (и', 8)) ёЛ-

(13)

'(Л)

Т1р(и, г, 8), 8 )ё8=я [ / ](и, г), v(и, г )еП,.

На основе (13) доказывается теорема о разрешимости задачи в (П) методом

последовательных приближений.

—да

о

Задача 2. Найти решение f (и, t ) в пространстве Lph (^ ), p > 1 уравнения

+ о(и)2№ + А(и)Ди, t)=j k{v,v'W)F0 (и' f (и, t ))dv' = Kf (14)

dt du J

—да

Доказываются теоремы о разрешимости в пространстве LPh (^ ), p > 1, а также в пространствах Lh (^ ) и в LPp (^ ), p > 1 на основе интегрального представления

f Y и ^ t ^ 1 и f (и, t)= f (и — at )exp I--J h(v')du' l + J exp--J h(u')du' J k(u — a(t — s),u')h(u')x

(t—s ) ) —

u-ayt-.

f (v', s)dv'ds, V(v, t . (15)

для уравнения

+ a + h{v)f (v, t) = Tk(v,v>(v')f (v ', t)dv' = Kf (16)

dt dv J

где

a = i

< +œ.

const, Jk(v,v')du' = 1, Jh{p')du'

— !Ю — !Ю

Замечание 2. Если Kf = F(и, t), то есть в случае не интегро-дифференциального, а дифференциального уравнения, то

f(u,t) = f0(р(и,t,0))exp - J hh(t)dv' + JexP - J h7t)dv' F(p(tt,s),s)ds (17)

v p(t,t,0) a(U ) ) 0 ^ p(u,t,s) a(U ) ,

Замечание 3. В случае a(u) = a = const (17) имеет вид

( 1 v A t ( Л v ]

f (v, t) = f (v-at )exp I -1 J h{v')dv' I + J exp -1 J h(v')dv' F(v-a(t - s), s)ds (18)

1 и

а I п а л \

и-ш / 0 ^ и-a(t-s)

Обратная задача для нелинейного интегро-дифференциального и нестационарного дифференциального уравнения Обратная задача:

ЙИ + аМЗИ^ + к(и)/(и,I) = |к(и,и'к(и'К(и,/(и,t))Ни+У(It). / (19)

(v)'

dt dv

-да

f (v, t ) ,=0 = f (v), f (v, t ) v=v = ¥0 (t ) ' vo G R. t e R+ (t ) e C (R+ ) , f0 (v0 ) = Yo (0) (20)

F(v0, t)* 0, Vt G R+

(21)

сводится к эквивалентной системе, где каждое из интегральных уравнении является уравнением второго рода [3]:

/ (и,1 )=(Н [/ ,У ])(и, I),

(22)

у(I)=(Но[/,У])(ио,I),и,и еК,IеК+, на основе которой доказывается теорема о разрешимости задачи в исследуемой области. Задача 3. В условиях задачи 2 необходимо найти неизвестную функцию распределения

[ коэффициент У (I) е Ьр (К ), р > 1, 0 <Л = Л(и, I),

f (v, t) G Ц (Q )

и неизвестный i

где

\\f (p,t ) p,h =1 Jh(v) f (v, t ) 'do

<+да

n = i\v(i\

-да

+да

CO

Доказывается теорема о разрешимости исходной обратной задачи на основе эквивалентной системы интегральных уравнений второго рода в пространстве ^ = (ЬР (П), Ьр (Я+ )).

Литература

1. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач. Москва: Наука, 1988. 288 с.

2. Омуров Т. Д., Туганбаев М. М. Интегральное преобразование линейного интегро-дифференциального уравнения типа Больцмана // Наука и новые технологии. Бишкек, 2006. № 3-4, С. 8-12.

3. Туганбаев М. М. Обратные задачи для нестационарного дифференциального уравнения // Труды ИВМ и МГ СО РАН. Новосибирск, 2007, Сер: Информатика. Вып. 7. С. 310-316.

Вывод формулы для расчёта индуктивности Земли Акопов В. В.

Акопов Вачакан Ваграмович /Лксрсу УасНакап Vagramovich — учитель физики, Муниципальное образовательное учреждение Средняя школа № 6, село Полтавское, Курский район, Ставропольский край

Аннотация: в данной статье представлен вывод формулы для расчета индуктивности Земли; численное значение индуктивности Земли, полученное здесь расчётным путём, можно использовать при теоретических геофизических исследованиях Земли и при решении задач.

Ключевые слова: индуктивность, магнитная постоянная, магнитная проницаемость, диэлектрическая проницаемость, электроёмкость, Земля, диаметр, электрическая постоянная.

Известно, что с научной точки зрения индуктивность - это способность извлекать энергию из источника электрического тока и сохранять её в виде магнитного поля. Определение индуктивности Земли и её областей очень сложно, но в некоторых простейших случаях её можно рассчитать. «Индуктивность Земли» определяется по формуле:

= Мо ' В3 , (1)

З

где ^0=4л10~7 Гн - магнитная постоянная, ВЗ ~ 12800км ~ 1,28107м - средний диаметр Земли.

м

Подставив численные значения в выражение (1), получим:

Гн

4ж-Ю—7--1,28-1о7 м

м

- = 1,28Гн» [1,177].

4ж

Полученное численное значение является внешней индуктивностью Земли. Какова же внутренняя индуктивность Земли и её областей? Реально внутренняя индуктивность Земли и её областей неизвестна. Попытаемся вычислить.

Магнитная постоянная в системе СИ имеет размерность:

Гн

ло ]

Мо ] = ^ (2)

Электрическая постоянная в системе СИ имеет размерность:

Ы = ф. (3)

м

Перемножив выражения (2) и (3), получим:

г т Гн - Ф Гн - Ф (ЛЛ

[Мо-ео ] =-=-—. (4)

м - м м

Заменив в выражении (4) единицы измерения их физическими величинами, получим:

,, „ _ Ь -с ,отсюда г _ Мо - £ , (5) Мо = £ Ь С

где Ь - индуктивность, С - электроёмкость, S - площадь поверхности.

Учитывая, что индуктивность зависит от магнитной проницаемости среды, формула (5) примет вид:

м