Задача коши для сингулярно-возмущенного интегро-дифференциального уравнения с двумя малыми параметрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННОГО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ МАЛЫМИ

ПАРАМЕТРАМИ Омуров Т.Д.1, Алиева А.Р.2 Email: [email protected]

'Омуров Таалайбек Дардаылович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математического анализа и дифференциальным уравнений, факультет математики, информатики, Кыргызский национальный университет им. Жусупа Баласагына; 2Алиева Айнур Рабатовна - старший научный сотрудник, лаборатория прикладной математики и информатики, Институт теоретической и прикладной математики Национальной академии наук Кыргызской Республики, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в области сингулярно-возмущенных задач уравнения с двумя и более малыми параметрами быгли исследованы в работах [6, 10] и др., причем вопросы устойчивости или условной устойчивости решения имеют важное значение в теории указанных задач.

Например, в работе [10] исследованы уравнения с двумя параметрами, когда р lAT = S -кинематический коэффициент «кажущейся» вязкости турбулентного течения, соответствующий коэффициенту кинематической вязкости ¡J = р V ламинарного течения (A - коэффициент турбулентного обмена). Поэтому, в данной работе изучается сингулярно-возмущенная задача с двумя малыми параметрами в весовом пространстве Lh (D), когда задается априорная информация о входных данных в L (R2 ) .

Ключевые слова: сингулярно-возмущённая задача, интегрируемая функция, вырожденная задача, малый параметр, единственное решение, интегральный оператор.

THE CAUCHY PROBLEM FOR SINGULARLY PERTURBED INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH TWO SMALL PARAMETERS Omurov T.D.1, Alieva A.R.2

' Omurov Taalaibek Dardaylovich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, DEPARTMENT OF MATHEMATICAL ANALYSIS AND DIFFERENTIAL EQUATIONS, FACULTY OF

MATHEMATICS, INFORMATICS, KYRGYZ NATIONAL UNIVERSITY NAMED AFTER J. BALASAGYN;

2Alieva Ainur Rabatovna - Senior Researcher, LABORATORY OF APPLIED MATHEMATICS AND INFORMATICS, INSTITUTE OF THEORETICAL AND APPLIED MATHEMATICS OF THE KYRGYZ REPUBLIC NATIONAL

ACADEMY OF SCIENCES, BISHKEK, REPUBLIC OFKYRGYZSTAN

Abstract: in the singularly perturbed problems equations with two or more small parameters were studied in [6, '0] and the others, stability issues and conditional stability of solutions are important in theory of these problems.

For example, in ['0] investigated the equation with two parameters when р lAT = S - kinematic-viscosity coefficient "apparent" of turbulent flow, corresponding to kinematic-viscosity coefficient of laminar flow (A - turbulent exchange coefficient).

Therefore, in this paper we study the singularly perturbed problem with two small parameters in the

weighted space Lh (D) when given prior information of the input data in L (R2) .

Keywords: singularly perturbed problems, integrable function, degenerate problem, small parameter, a unique solution, an integral operator.

УДК 517.955

Введение

Известно, что существенные трудности, связанные с вопросами разрешимостью, возникают при исследовании нелинейных сингулярно-возмущенных задач в неограниченных областях с одним малым параметром, когда в этих задачах малость погранслойной функции нарушается не

в начальной точке, а на отрезке, где x = t, ((t, x) £ [0, T] X R), а в случае t e R , то

малость нарушается в области R , где X = t. Тем более, в случае

(t, X, y) e D = [0,T] X R2 , еще труднее, в чем и заключается актуальность исследований данной работы. Аналогичные трудности возникают и в сингулярно-возмущенных задачах с двумя малыми параметрами [6, 10] и более, когда независимые переменные допускают указанные условия, где доминируются интегро-дифференциальные уравнения в частных производных [3, 4, 5] и др.

В связи с этим, в настоящей статье изучается нелинейное сингулярно-возмущенное интегро-дифференциальное уравнение четвертого порядка с двумя малыми параметрами с условием Коши на основе метода работы [8], дающий разложения асимптотического характера, где содержатся функции типа погранслоя и линейный интегральный оператор с остаточной функцией. При этом излагаемый метод модифицирует метод классической погранслойной

функции [1, 2, 4] с априорной информацией о входных данных в Z2 (R2 ) [7]. Рассмотрим сингулярно-возмущенную задачу вида:

е12[и<2x2 + utx,] - e2[e12(utyx2 + и^О - Uy - Uyx] = uf + иа + f (t,x,y) + Жu, (1)

u(0,x,y) = £(0,x,y) + b0(x,y,^,e2), V(x,y) e R2, ut (0, x, y) = (0, x, y) — b0 x

s2), V(x, y) e R ,

Ku = JK(t,x,y,rx,t2)u2(t,tj,t2)drdT2,V(t,x,y,t,t2) eD, (2)

r2

D = [0,T] x R2; D = D x R2, где 0 < Л = const, (0,1) Э £1 ,S2 — малые параметры,

Ь(x,y,S1 ,£2) e C3il(R2), f (t,x,y), K(t,x,y,TY,T2) — заданные функции, при этом Э f (t, x, y) - ограниченная функция в области D ; 0 < K(t,x,y,T,T2) e C2'зд'0,0(D) иинтегрируемая функция по (т,T2) в R2 , причем

"2

D R

1

(sup J |K(t, x, y,T,t2)|2 dTjdr2)2 < C

K(t, x, y,T ,t2 ) < K0 = const, V(t, x, y, t , T) e D, sup J |K(t,x,y,T,T)|d?xdr2 < C2,

D R2

C = max(C, C), C = const, (i = 1,2).

Для доказательства близости решений сингулярно-возмущенной и вырожденной задачи в пространстве Z^ (D) , требуется априорная информация вида

■

(3)

(6)

b0 (x, y, e , e2)^0, когда e ,e2^ 0, V(x, y) e R2, Ьо(x,y,e!,e2) < m{) <да, V(x,y) e R2,

i

Ilb0(x,y,ei,e2)|i2(R2) = (J Ib0(ri,r2,ei,e2)2dTidT2)2 <т1егГ,

r2

0 < у < i; 0 < щ = const, (i = 0,i).

П. 1. Если e, e = 0, то из (1) следует вырожденная задача:

^2 = -[/(t, x, y) + ÄK3], (4) 3(t,x,y)|t=0 = 3(0,x,y) = <p0(x,У), V(x,y) e R2, < 3(t, x, y )|t=0 =3(0, x, y) (x, y), V(x, y) e R2, (5) C31(R2) (x,y), (i = 0,i).

Задача Коши (4), (5) эквивалентно приводится к виду

t S

3(t,x) = (Р0(x -1,y) + JMx - (t - s),y) - J[f(v,x - (t - s),y) +

о 0

< +äJ K(v,x - (t - s),y,Tj,t2)32(v,Tj,t2]dv}ds = (B3)(t,x,y),

R2

Иxy) = Я\(xy) + %x(xy\

при этом (6) удовлетворяет уравнение (4).

Действительно, дифференцируя (6) по совокупности аргументов и подставляя (4), получим

t

3 (t, x) = -Ф0Ь (x - t, y) +y( x, y) - J / (s, x, y) + A J K (s, x, y, zx, z2) X

0 R2

t s

x32(s,Ti,T2)dZidT2]ds - J{^ (x - (t - s),y) - J/ (v,x - (t - s),y) +

0 0

+A J K (v, x - (t - s),y,T, r2)32(v,T, r2)d^dz2]dv}ds,(h = x -1, h = x - (t - s)),

R2

3x(t, x) = ^0h(x - t, y) + J (x - (t - s), y) - J / (v, x - (t - s),y) +

0 0

+A J K (v, x - (t - s),y,T, r2)32(v,T, r2)d^dz2]dv}ds,

R2

t

3, + 3x = x, y) - J / (s, x, y) + AJ K (s

, x, y,Tj ,r2 )32(s,T ,r2 )drj dz2 ]ds,

0 R 2

-[/ + AK3] = 3 2 + 3 = -[/(t, x, y) + A J K (t, x, y, zl ,z2 )32 (t, t, r2 )d^dz2 ] =

t R 2

= -[/ + AK3], V(t, x, y) e D,

K3= J K (t, x, y, z1 ,r2 )32(t,^ ,r2 )d^ dz2, (7)

R

x, y) = x, y) + %x (x, y).

Что и требовалось указать.

С другой стороны, уравнение (6) является уравнением Вольтерра второго рода и она разрешима в классе функций С2'3,1(В) , так как [9]: 1

й = Хт£Т2 <

2'

В: (К) ^ (К

-ЪЦ < (1"й)г; (К) = К<г,Щ,х,у) еВ}, (\Щ\с<г0),

причем решение уравнение (6) находим методом Пикара

К+1 = ВЗп ,(п = 0,1,...)

с оценкой погрешности

КК < йрп -К4 < •••< йп К К < йп(1 - й)г-

(8)

й <1

1С ' || п ~п-!\с ' 11 1 " Щ\с ' 1 ''' (9)

где 30 - начальное приближение. Кроме того, по условию задачи известные функции,

входящие в уравнение непрерывно дифференцируемы до требуемого порядка по совокупности своих аргументов, то и решение уравнения (6) допускает аналогичное требование, т.е. имеет

место: С2,3,1 (В) Э 3(г, X, у).

Лемма 1. В условиях (8), (9) задача (4), (5) разрешима в классе функций С2'3,1(В) .

П.2. Чтобы найти решение задачи (1), (2), предположим

'ы£ = К, X, у) + П(Г, X, у,81,82) + (3£)(Г, X, У),

КX,У )|(=0 =К(0,х,у), У(х,у) е Я2,

П(t, x, у,£1,^2)| (=0 = Ь0( X У,^1,^2), X у) е Я \

1 У-++у --(X-(+ у-г) ш -1(г-г')

= — 1! е |е"1 £(у,т\у)йт'йтс!у,

(10)

'1 0 -ш

причем

и=к+П(+ра,

"X = К +П X + (3£) X,

= К + П * + (3Ог, (11) ^ =К +^2 + ^ = К +П ^ + (3£) ^

Следовательно, подставляя (10), (11) в (1) и при этом, учитывая (4) имеем

<

г

3(2 + 3 = -[ / (', х, у) + ХКЗ], х, у) е Б, 3(1, х, у )| (=3(0, х, у), 3,(',х,у)|(=о =3,(0,х,у), У(х,у) е К2, П( (', х, у,* ) + П (', х, у,* ) = 0,

x,у,*,*2)|,=о = Ьо(ху,*1,*2Х V(x,у) еR1,

* 9[(3^ + (3£)хз] -^2 ^[^12((3^),х2 + (3^) - (3^ - (3£)х] =

д' х ду х

д г 1 ', г-Г --г

= -[(3^), + (3а] + л\ К(',х,у,Т1,Т2)[23(/,Т1,Т2^^| | е * х

д' К2 *1 о -да

, 1 (т-т' ) х'

да -(г-г') 1 ' --(г,-

|ег> £(у,т'г)ёг'ётёу + 2П(/,г,**) —{ { е *

г *1 о -да

-(г-г') 1 ' г -/+у -^г^у-г)да.-^(г-г') ,

|ег' £(у,т ')ёг Угёу + (—| | е * |е* £(у,т',г2)ёг'ёгёу)2] х

хё-г^Т +Т(/, х, у,* )

2х2 1 31хз] 1 °2[°1 (3ух2 1 3ухз) 3у

к2

х[23(/,г)П(/,г*) + П2(/,г*, (',х,у) е Б.

Т(/, х, у,**--^12[32х2 +3ыз] + В2[е11(3уухг +3ухз)-3, -3ух ] + л\ К(/, х, угг) х (12)

2 1 2 1 2 где

' да 1

(х-'+ у-г' )

1 х - — (х-г)" — (г-г') 1 ' " — (3#), = -2 I е * |е*1 4(',г',у)йг'йг-—| | е*1

е1 -да г *1 о х-'+у

1 1 'гх-',+У -1(х-'+у-г) да -1(г-г')

х£(у,г',у)ёг'ёу+ ——I I е * I е* £(у,г',у)ёг'ёгёу

*1 *1 о -да г

1 1 да -( х-'+у-г' ) 1 1 'х-'+у --( х-'+у-г)

(3#)х = -21 I е*1 #(у,г',у^г^у---1 I е*1

е1 о х-'+у *1 *1 о -да

да —(г-г')

х| е*1 <ЦУ,г',у)с1г'ёгёу,

г

1 х - х-г) да -1(г-г')

(3#)' + (3#)х = -2 I е 61 Iе*1 #(',г' ,у)ёг'ёг,

1 да 1(х-г) I I х -!(х-г)да 1(г-г')

*

- 2 I ■ .е*1

*1 х * *

I г —(х-г ) I I г--(х-г) с

(3#)х + (3#)х2 = -2|е*1 #(',г',у)^г'- -2- I е * I х£(',г' , у)^г' ^г,

1 11 да -(х-г' )

(3#)+ (3#)хз #(',х,у) + -2-1е*1 #(',г' ,у)^г' -

*1 *1 *1 х

1 1 да —(х-г) 1 1 х - -(х-г)да —(г-г') (13)

11

Iе*1 ^(',г ',у)^г' + —— I е 51 Iе*1 ^(',г',у)ёг'ёг ■■

х *1 *1 -да г

1 11 х - -(х-г)да -(г-г' )

-2#(',х,у) + -2-2 I е * Iе*1 #(',г',у)йг'йг.

7 о о ^ ^

2 х,у) '2 2 *1 *1 *1 -да

Отсюда видно, что из задачи

х

-да

г

г

nt (t, x, y, £, S2) + Пx (t, x, y, £, £2) = 0, (14) n(t,x,y,£1,£2)|1=0 = K(x,y, ££2), V(x,y) e R2 (15)

единственным точным образом определяется функция n(t, x, y, £, S2 ), т.е.

n(t,x, y, £, £2) = b0(x — t, y, s1, £2), V(t,x, y) e D, (16)

так как имеет место

nt (t, x, y, £, £2 ) = — b0h (x — t, y, £, £2 ), (h = x — t),

nx(U x y, £ £2) = b0h(x — ^ y, £, £2 X V(^ x, y) e D,

П t +П x = 0.

При этом, учитывая заданную информацию (3) относительно функции n(t, x, y,£ ,£2)

получим оценку в L (D) в виде

> I р._

шит :(sup[ f K^i^^'Wi'Zi'Zit d^dz^s)2 <Jh0Tmis[ s >0,

4>|| Lh ( D)

= (J ^(Т,^^)2 dzxdz2)2 < w^, (17)

D2

0 <^< 1; 0 < ^ = const,

0 < h(x,y) < h0 = const < со, \/(x,y)eR2'. | h(z1,z2)dz1dz2 < h0 = const.

R

Далее, учитывая (13), (16) из (12) получим

л t T—t+v 1 , . . 1 'r f --('1 —t+v —i)

£(t,x,y) — s2£y(i,x,y) = —{Л|K(t,x,y,Tl,T2)[23(t,Tl,T2)-jJ J e £1

R2 £1 0 —ад

1 . ^ it T—t+v 1 . . . —(i —T) 1 . 1 » --('1 —t+v —i)

Г ( ) 1 Г Г (

xl e£1 £(v,r',T2)dr'drdv + 2b0('— t,',r2,£) — I I e £

i £1 0 —ад

ад 1 . .. , t T — t + v 1, .ад 1 ,

ад — (i— I ) 1 'r 1 . --(l1 —t + v —l) . —(l —I )

xJ e£ £(v,T,T)dTdidv + (— J J e £1 J e£1 £(v,r',r2)dr'drdv)2] x

i £1 0 —ад i

xd'dr2 + Y(t, x, y,£ )} = (H£)(t, x, y),

Y(t,x,y,£1,£2) = —£12[£t2x2 + £tx3 ] + £2[£12(£tyx2 + £yx3 ) — £y — £yx] + Л J K(t,x,y,T,r2)

R2

x[2£(t,T,t)b(t — t,T,t,£) + b2(T — t,',t,£)]d'di, (t,x,y) eD, |T(i,< 2f0(£2 +£2£2 +£2) + /1(2г0(| \K(t,x,y,Tl,T2)\2d^dr^ x

X( J \b0(T1,T2,e1,ei)\2 dl1dl2)2 + K0( J |Ь0(Г1,Г2,£1,£2)Г dl1dl2)2 X

R2 R2

x( f \b(i(Ti,T2,si,s2)I dzldT2)'1') < 2r0(£2 + s2s2 +s2)+ + K^m^)2) =

i2 (18)

= Aj (£ ), V(t, x,y) e D,

Y(t, x, y, £1, £2) £„£^0 > 0, V(t, x,y) e D,

Kvl' КД Kl' (IHIc^o).

X

R

По условию задачи начальные условия относительно функция и определяется в виде (2), поэтому, на основе (10), (16) имеем

и = 3(', х, у) + П(', х, у,* ,*2) + (3£)(', х, у),

и, =3' +П' + (3£),,

П(',х,у,*,*2) = Ь0(х -',у,*,*2), V(',х,у) е Б,

и|'=о = (3(', х, у) + Ьо( х - ', у, *1, *2 ) + (3£))|' о = 3(о, х, у) + Ьо (х, у, *, *2 ),

и\, = о = (3' (1, ^ у) - Ьон (х - у,*1,*2) + (3 £)' )|, = о = 3, (0, ^ у) - Ьох (^ У, *1, *2),

1 да --сх-г) да -(г-г) 1 ' да -(х-'+у-г')

(3а |'=о = [— I е * Iе* £(,,т',у)ёт'ёт- — { { е*1 х

51 -да Р

* * (19)

1 1 ' х-'+у -'+у-г) да -1(г-г')

**

х£(у,г',у)йг'йу+——I I е * Iе* £{у,т',у)ёт' ётёу] [_о = о,

*1 *1 о -да г

до,х,у) = о, V(х,у) е К2. При условии (19) из (18) следует уравнение вида

' * ' г -'+у 1 , ,

' . 1 ' 1 ' --(г- '+у-г)

£(',х,у) К(',х,у + *2(' - 5),г1,г2)[23(5,г1,г2)—I I е * х

о К2 *1 о -да

да 1 '11 -;+у -1+у-г)

х| е*1 £(у,г',г )йг'йгйу + 2Ь„ (г- 5, г ,г2 ,* )—' ' " * у ()

г

да

х

г ( ) 1 г г

I е* £(у,г' ,г2 )ёг'ёгёу + 2Ь0 (г- 5, г ,г2 ,* I I е

*1 о -да

, -г-О 1 111 -'+у --(г-5+у-г)да -(г-О „

Iе*1 £(у,г',г2)йг'йгйу + (— I I е * Iе*1 £(у,г',г2)ёг'ёгёу)2] х

хёг ёг2 + У(', х, у + *2 (' - '),* ,*2 )}ё' = (Р£)(', х, у).

Действительно, дифференцируя (20) по ,, у и полученные выражения, подставляя в (18) имеем

' 1 ' г -'+у 1 (г г) да 1 (г г')

£ = Hf-j{Лjе2Kt¡ (',х,у + *2(, - '), г, ^ )[23(', г, ^) —} _[ е"**г1 -'+ |е* " х

о к2 * о -да г

II 1 ' 1 ' --(г1 -'+у-г) -(г-г )

х£(у,г ',г2 )ёг 'ёгёу + 2Ь0 (г- Т ,г2 ,* )~Т I I е * I е*1 £(у,г ',г2 )ёг 'ёгёу +

* о -да г

ч ' г -' + у 1 / 4 да 1 /

1 '' 1 л --(г -'+у-г) -(г-г )

+(— I I е * I е*1 £(у,г)ёгёгёу) ёг2+*2Т^(',х,у +

+* (, - '),* )}ё' = Н£ +*И1

' 1 ' г -' + у 1 (т З+У г) да 1 (г г')

£у = -!{Л! К^ (', х,у + *2(, - '), г1, г2 )[23(', г1, г2 ^ ^ I I е~*г1 -'+'-г { е^ £(у,г',г2) х

о к2 о -да г

' г - '+у ^ 4 да 1 /

1 ',. 1 ' --(г-'+у-г)-(г-г )

хёг'ёгёу + 2Ь0(г - Т^ — I I е * I е*1 £(у,г',г2)ёгёгёу +

1о

' г -'+у ^ 4 да 1 /

1 ' 1 ' --(г -'+у-г) -(г-г')

I I е * I е* £(у,г',г2)ёгёгёу) ёг2+Ть (',х,у +

* о -да г

+*(, - '),*,*)}ё' = И£, ^ = у +*2(, - '),

' 1 ' г-'+у 1 _у+1/ да 1 г')

H-£^-J{ЛJ К^ (', х,у + *2(, - '), г1, г2 )[23(', г1, г2 ^ ^ I I е-*" -'+у-г / е^ г-г £(у,г',г2) х

о к2 * о -да г

Г

Г

i t U - s + V 1 , . ад 1 ,

1 s 1 . --(U-J+v-г) —(г-г )

xdz'dzdv + 260(u - TSS)~f I I e s I eS1 |(v,r',r2)dz'dzdv +

£1 0 -ад г

s t - s+v 1 , . ад 1 , ..

1 s 1 . --(Г1 -s+v-г) ад -(г-г )

1 (• (• ('1 j + v ') p (' ' ) ? +(— I I e S1 I es1 |(v,r',r2)dr'drdv) ]dudr2 + Y^(s,X,У + S(t-S)}ds,

S1 О

h; = ; - s2; = h;+s2 H; - S2H;=H; .

Что требовалось показать.

С другой стороны, уравнение (20) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода. Поэтому, не нарушая общности, допускаем, что если относительно оператора Р выполняются условия Банаха, т.е.

2

dp = хт с (m + ~ Tr) + Xr0c0T < 1,

P : S,. ^ S,.,

Sr (О) = | : |(t,X,y) < r, V(t,X,y) e D}; ||(P0)(t,X,y)||c < (1 - P : ||(P|)(t,X,y)||c < ||(P|)(t,X,y) - (P0)(t,X,y)||c +1|(P0)(t,X,y)||c < dprx + (1 - dp)r = rp здесь

s e (0,1); С = max(Q,C2); см.(8), d = Xr0C0T2 < 1,

/ 1 s t1 -s + v__1(r -í + V-r)

||= |-J{X J K(s,X,y + s2(t - s),zl,z2)[2S(s,zl,T2)—I I e~s U" V-T x

0 R2 s1 0 -ад

(21)

ад

1 / <\ л s T -s + v 1 - -

(t t ) 1 s > --(T-s+v-z)

г — ) 1 г г ~

xI es ;(v,z',z2)dz'dzdv + 2\(z¡ -,SSI I e s x

T s1 0 -ад

ад 1 / i\ л s T - s+v 1 . , . ад 1 .

f —(t-t') 1 s 1 - --(U-s+v-z) . —(t-t')

xI es1 |(v,z',z2)dz 'dzdv + (— I I e s I es |(v,z',z2)dz'dzdv)2] x

t S1 0 -ад t

xdz dz2 + Y(s, X, y + s2 (t - s),s ,s2 )}ds +

t - s U - s + v 1 .

f r 1 s 1 s --(U- s+V-T)

-j {XI K(s,X,y +s2(t - s),z1,z2)[25(s,z1,z2^ — I I e

0 R2

2s

ад

1 / ^ л s U -s +v 1 - -

(t t ) 1 s > --(U -s+v-z)

г ( ) 1 г г

xI es ; (v,z',z )dUdzdv+ 2\ (u - ,U ,S ,S)~ I I e s

T S1 0 -ад

ад

1 / л s U -s + v 1 , , -ад 1 . f —(T-T ) 1 s ^ --(U-s+v-z) . —(t-t )

xI es1 ;(v,z',T)dz'dzdv + (— I I e s I es1 ;(v,z',z2)dz'dzdv)2] x

T S1 0 -ад T

2

xdzdz2 + Y(s,X,y +s2(t - s),s)}d^ < (XT2(cmis[ c2Tr) + Xroc2T2) x

x; - c < (XT 2c0(m1 + 2 Tr)+x^c^t 2) x; - c = dP x 1^2 - c, то уравнение (20) имеет единственное решение в c(D) , причем

;||c < (1 - dP)-1T||Y(t,X,y,S1,S2)\\с < (1 - ^^^^^^MsS = ^^(s„s2) >0- (22)

Поэтому решение (20) находим методом Пикара и при этом имеем

;+1=pi„ =0,1,...),

+1 С < ^^ 0. (23)

Лемма 2. Если имеют место условия (21), (22), то уравнение (20) разрешимо в C(D) . Таким образом, мы показали, что непрерывно-ограниченное решение интегрального

уравнения (20) есть решение сингулярно-возмущенного интегро-дифференциального

уравнения (18). Следовательно, учитывая (10), (17) и (22) получим

' t

||us(t,х,y) -&(t,x,y)||i2(IJ) < -\/2[sup J J к(тх,r2),r2,s2)|2 dтхdr2ds +

L [0-Г 1 0 R2

I .____I (24)

„ +(ГА2(г1,г2))2ГА0]2 <л/2[h(iT(mlSD2 + (7,A2(g1,g2))2Th(i]2 = N0(svs2) >0,

0 1; 0 < OTj = const,

0 < h(x,y) ^h0= const < со, \/(x,y) e R2: j h(r1,T2)dT1dT2 < h0 = const.

Теорема 1. В условиях лемм 1, 2 и (24) близость решение сингулярно-возмущенной и

вырожденной задачи оценима в смысле L2h (D) по правилу (24), когда £х, Б2 —^ 0 .

Список литературы / References

1. Бутузов В.Ф. Угловой погранслой в сингулярно-возмущенных задачах с частными производными // Дифференц. уравнения, 1979. Т. 15. Вып. 10. С. 1848-1862.

2. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно-возмущенных уравнений. Москва: Наука, 1973. С. 272.

3. Винокуров В.П. Асимптотические поведение решений одного класса интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра // Дифференц. уравнения. Т. 3. № 10. С. 17321744.

4. Иманалиев М.И. Методы решения нелинейных обратных задач и их приложение. Фрунзе: Илим, 1977. С. 348.

5. Касымов К.А., Дауылбаев М.К. Об оценке решений задачи Коши с начальным скачком любого порядка для линейных сингулярно-возмущенных интегро-дифференциальных уравнений // ДУ, 1999. Т. 35. Вып. 6. С. 822-830.

6. Ландау Л.Д., Лифщиц Е.М. Теоретическая физика: Т. 6. Гидродинамика. Москва: Наука, 1988. С. 736.

7. Омуров Т.Д., ТуганбаевМ.М. Прямые и обратные задачи односкоростной теории переноса // ИТ и ПМ НАН КР. Бишкек: Илим, 2010. С. 116 .

8. Омуров Т.Д., Алиева А. Задача коши для нелинейного сингулярно-возмущенного интегро-дифференциального уравнения третьего порядка в неограниченной области // Приволжский научный вестник, 2016. № 12-1 (64). С. 36-43.

9. Треногин В.А. Функциональный анализ. Москва: Наука, 1980. С. 496.

10. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. Москва: Наука, 1974. С. 712.