CC BY
51
УДК 513.83
А.Б. Байзаков
д-р физ.-мат. наук, главный научный сотрудник, Институт теоретической и прикладной математики Национальная академия наук Кыргызской Республики,
г. Бишкек
E-mail: [email protected] Т.Р. Кыдыралиев
старший преподаватель, кафедра информатики и вычислительной техники, Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына,
г. Бишкек E-mail: [email protected]
РАЗРЕШИМОСТЬ И СТРУКТУРА НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ СИНГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА С ТОЧКОЙ ПОВОРОТА
Аннотация. Изучена разрешимость решений задачи Коши для сингулярно-возмущенных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных с точкой поворота и найдено интегральное представление этих решений.
Ключевые слова: интегро-дифференциальные уравнения в частных производных, задача Коши, принцип сжатых отображений, условие Липшица, интегральное уравнение Вольтерра.
A.B. Baizakov, Kyrgyz National Academy of Sciences of the Kyrgyz Republic, Bishkek
T.R. Kydyraliev, Kyrgyz National University named after Jusup Balasagun, Bishkek
THE SOLVABILITY OF THE INITIAL PROBLEM AND THE STRUCTURE OF SINGULARLY PERTURBED
INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS IN PARTIAL DERIVATIVES OF THE FIRST ORDER WITH A
TURNING POINT
Abstract. The solvability of the Cauchy problem for a singularly perturbed integro-differential equations in partial derivatives of a turning point, and found an integral representation of these solutions.
Keywords: integral-differential equations in partial derivatives, Cauchy problem, the contraction mapping principle, Lipschitz condition, Volterra integral equation.
С помощью метода преобразования решений в данной работе изучена разрешимость решений задачи Коши для сингулярно-возмущенных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных с точкой поворота и найдено интегральное представление этих решений. Сутью метода преобразования решений является нахождение преобразования решений исходной задачи Коши для сингулярно-возмущенных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных с точкой поворота к эквивалентному ей интегральному уравнению Вольтерра II рода. Приведем алгебраически-функциональные основы метода преобразования решений теории дифференциальных, интегральных уравнений.
Во многих задачах аналитической и асимптотической теории дифференциальных, интегральных уравнений применяется метод преобразования решений. Так, в работе [1] глава VIII посвящена методу преобразования решений, позволяющему проинтегрировать заданное дифференциальное уравнение или исследовать свойства его решений.
В связи с этим введем определение. Пусть W - некоторое множество, операторы А и К отображают его в себя. Рассмотрим уравнение
Ax = b (1)
где b - фиксированный элемент из W и преобразование
x = Ky. (2)
Из (1), (2) непосредственно имеем
AKy = b . (3)
Отсюда, если существует «полуобратный» оператор(AK)-1 к оператору АК, то получим
У = ( AK )-1 b (4)
и из (3), (2) имеем решение уравнения (1) в виде
х = К (AK )-1 b .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Оператор Сбудем называть оператором преобразования решений оператора А.
ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если (2) имеет вид
х = Kx,
то решение (1) запишется в виде
х = ( AK)-1 b,
в частности, если окажется AK = E , Е- единичный оператор, то K = A1.
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Необходимо выбрать оператор К так, чтобы получить более упрощенное новое операторное уравнение (3), к которому можно было бы применить один из следующих методов:
- топологические методы доказательства существования решений, например, принцип сжатых отображений;
- методы разложения решений, например, методы разложения решений в степенные ряды (первый метод Ляпунова);
- непосредственно произвести различные, в том числе асимптотические оценки, используя предположения относительно операторов А и К и элемента b, при стремлении независимой переменной к некоторому предельному значению.
ЗАМЕЧАНИЕ 3. Отметим, что определение 1 включает в себя и методы интегральных преобразований y = Fx , преобразования Фурье (Лапласа), если подставить (2) в виде
У = Fx,
где F = K_1, т.е. заранее предположить существование обратного оператора K_1, тогда как в (4)
предполагается существование полуобратного оператора (AK )-1.
Теперь рассмотрим сингулярно-возмущенное интегро-дифференциальное уравнение в частных производных с точкой поворота
J— + —] + sinntu(t,х) = f(t,x,u(t,х)) + ÍK(t,s,u(s,x))ds, (5)
I at эх) 0
с начальным условием
u(0, х) = j). (6)
Приведем математические обозначения, используемые в данной работе: R - числовая ось, R+ := (0; + ¥;
Qa.p,... (w®l) - пространство функций, ограниченных и непрерывных вместе с производными до соответствующего порядка;
Lip(L\u) - класс функций, удовлетворяющих условию Липшица по переменной u с коэффициентом L.
ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ (Т). Пусть
f(t,x,u) е C([0,7]хRхR)n Lip(L1 |u ), j(x) e C1(R), K (t,r,u) e C ((0 <t< t < 7) х R) n Lip (L2 |u). Решение задачи Коши (1)-(2) ищем в виде
'f -a(i-s)+b 1
u(t, x) = j(x -1) + I e £ £ - Q(s, x -1 + s)ds ,
j c-
(7)
где О(*,х) - новая неизвестная функция, подлежащая определению; R+ и их значения
будут определяться ниже.
Последовательно дифференцируя по * и х соотношение (7), имеем
1 Ь а * _а„-*)+1
и*(*, х) = х - *) + - ее О(*, х) -—(и - ®) - Г е
с с 3
a,* л b л —(t-s s 1
£ £ - Qy (s, х -1 + s)ds;
г х
^ -í(t-s)+b 1 г г
их(t,х) = р(х-t) + fe г — Qx(s,х-1 + s)ds. í £
(8) (9)
Откуда
a a
ut (t, х) + их (t, х) = - e£ Q(t, х)--и + — р(х -1).
е ее
Умножая обе части последнего уравнения на е, имеем
b
e(ut + ux) + au(t, x) = ee Q(t, x) + ajx -1).
В силу (6)
Si
e(ut + ux) + sin tu = e eQ(t, x)-(a-sin t) u(t, x) + a<p(x -1). Отсюда, учитывая (7), получим
(10)
Q(t, х) = e
f (t, х,и) + f К (t,T,u(t,T))dr
bt
+e £ (a-sinnt)
í -a(t-s)+b 1
<р(х -1) + I e £ £ - Q(s, х -1 + s)ds
J с
- e £ ap(х -1),
или
t. -a(,-s)+b 1
Q(t,х) = e £ f(t,х,р(х-1) + I e £ £ -Q(s,х-1 + s)ds +
í £
-bLf Г f -a(T-s)+b 1 '
+e £ I К^^,р(х-f) + I e £ £-Q(s,х-t + s)ds
n £
0
* Л -a«-s)+b 1 -b r n
+e £ (a-sin nt) I e £ £ -Q(s, х -1 + s)ds + e £ sin ntр(х -1) ° P [Q ].
n £
dt +
(11)
Далее для доказательства разрешимости решения задачи Коши (5)-(6), к нелинейному интегральному уравнению Вольтерра II рода (11) применим принцип сжатых отображений, т.е. к операторному уравнению
и = Ри,
где оператор Ри - правая часть уравнения (11). Пусть множество
О = {О(*,х):О(*,х) е С(11 ([0,7] х R)и ||О|| < Л}.
Величины Т и Л будут определены позже. Из (11), в силу предположения (Т) имеем
о
о
г
+
0
о
рт _
||РО|| < e е [M1 + М2Т] + (а +1) |e е " x _ t + 5)||ds +e е М3 <
п е
г (а
Ч _) 1,
рг
рг
а +1
< е е (М1 + М2Т + М3 ) + ||О||. 112 3' а + р
Отсюда, в силу определения множества О , имеем
рт
а +1
\\PQW < е е (М1 + М2Т + М3) + —-Л.
11 11 11 2 3' а + р
Если выберем Т, а,р,Л , так чтобы
_рг
а +1
е е (М1 + М2Т + М3 ) + < Л,
(12)
а + р
то оператор Р [О] переводит множества О в себя: Р [О]: О® О .
Покажем теперь, что оператор Р является оператором сжатия. Из (11), используя предположение (Т), получаем
||Р [О, ]_ Р О ]||<
_р . _ е е ^(г,х,р(х_г) + I е е ' е — О1(s,х_г + s)ds)_
п е
г- )+р 1
г- )+р 1
Г —(^)+-— I
-/"(г,х,р(х_г) + I е е е - О2(s,х_г + s)ds)
2
0
е
т а, , bs л ■--(t_s)^ 1
г Г —(т _s)+— 1
| КI г^,р(х_т) +1 е е е -01(s,х_т + s)ds
т а fis а ---(т _s 1
Г Г —(т _s )+-— 1
КI т) +1 е е е -О 2(в,х_ т+ s)ds
Р> г а ч Ь л
_ / \ г —(^)+— 1 Г
е е (а_этпг)|е е е -[Ох_г + s)_Ох_г + s)]ds
Ц +Ц2 +(а +1)
01(г, X) _О X)||,
(13)
а + р
где учтено, что Цэт пг\\ < 1, "п е N .
Теперь наложим на а, реще следующие ограничения
Ц + Ц2 +(а +1) < 1 а + р
Тогда из (11) следует, что оператор Р[О] есть оператор сжатия на множестве О. По принципу сжатых отображений уравнение (11) имеет единственное решение О(г, х) еО. Подставив найденную функцию в (7), получим решение задачи Коши (5)-(6).
Исследуем теперь дифференциальные свойства решений задачи Коши (5)-(6) в области О . Для всех О(г,х) е О из равенства (7) следует неравенство
||и(г, х )|| <||^( х_г )||+ Из (8) имеем
г а рs А
Г —(^)+— 1
Iе е е— О(^х_г + s)ds
л
< К + е е--К = const.
а + р
+
е
е
+
0
0
+
0
0
+
0
е
0
h (t, x ) =
1 b a ' -j(x -t) + - ee Q(t, x) — (u -j) - i e
e e J
t
-i
a,< л b л —(t-s )+-s 1
e e - Qx (s, x -1 + s)ds
e
<||-j'( x -1 )|| +
1 bt a
+ -e eQ(t, x) + —(u - j) +
e e
a,* , b л —(t-s)+^s 1
e e e - Qx (s, x -1 + s)ds e
< N - const.
Из (9) имеем
h (t, x )\\ = м x -1 )ii+
^ -a(t-s)+b 1
e e
—Qx (s, x -1 + s )ds
e
< N2 - const.
Итак, доказано, что все производные, входящие в уравнение (5), равномерно ограничены. Таким образом, справедлива ТЕОРЕМА.
ТЕОРЕМА. Пусть выполнены предположения (Т), (12), (13). Тогда 3 T0 > 0 такое, что задача Коши (5)-(6) имеет решение u(t,x)е C(11)([0,T0]хR), которое имеет представление в виде интеграла (7).
Список литературы:
1. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. - Изд. З-е, пер. и доп. - Минск: Наука и техника, 1979. - 743 с.
2. Иманалиев М.И., Иманалиев Т.М., Какишов К. О задачах Коши для нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными шестого порядка // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. - Бишкек: Илим, 2007. - Вып. 36. - С. 19-28.
3. Иманалиев М.И., Байзаков А.Б., Айтбаев К.А. Разрешимость задачи Коши для интег-ро-дифференциальных уравнений в частных производных // Тез. докл. междунар. науч. конф. «Функциональный анализ и его приложения». - Астана, 2012. - С. 135.
4. Baizakov A.B., Aitbaev K.A. On a solution of Volterra equations with irregular Singularities // Abstracts of the IV Congress of the Turkic World Mathematical Society, Baku, 1-3 July, 2011. -Baku,2011.- P. 145.
5. Imanaliev M., Baizakov A., Kydyraliev T. Sufficient conditions for the existence of solutions of the Cauchy problem of partial differential equations of third order // Abstracts of the V Congress of the Turkic World Mathematicians, Kyrgyzstan, "Issyk-Kul Aurora", 5-7 June, 2014. - P. 179.
6. Байзаков А.Б., Айтбаев К.А. Об одном методе решения задачи Коши для дифференциальных уравнений в частных производных четвертого порядка // Приволжский научный вестник. - Ижевск, 2016. - № 1 (53). - С. 5-9.
0
