Задача Коши для нелинейного сингулярно-возмущенного интегро-дифференциального уравнения третьего порядка в неограниченной области Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.955

Т.Д. Омуров

д-р физ.-мат. наук, профессор, Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына, г. Бишкек, Киргизия

А.Р. Алиева

старший научный сотрудник, Институт теоретической и прикладной математики Национальной академии наук Кыргызской Республики,

г. Бишкек, Киргизия

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО СИНГУЛЯРНО-ВОЗМУЩЕННОГО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ

Аннотация. В работе исследована сингулярно-возмущенная задача в неограниченной области. Разработан метод, дающий разложение асимптотического характера с решением вырожденной задачи, с функцией типа погранслоя и линейным интегральным оператором с остаточной функцией, преобразующий сингулярно-возмущенную задачу в интегральное уравнение второго рода. Данный метод позволяет эффективно оценить близости решений сингулярно-возмущенных и вырожденных задач в пространстве Lh(D), когда задается априорная информация о входных данных L2(R).

Ключевые слова: сингулярно-возмущенные уравнения, задача Коши, интегро-дифференциальные уравнения, функция типа погранслоя, вырожденная задача.

T.D. Omurov, Kyrgyz National University named after J. Balasagyn, Bishkek, Kyrgyzstan

A.R. Alieva, Institute Theoretical and applied mathematics of the National Academy of Sciences Kyrgyz Republic, Bishkek, Kyrgyzstan

THE CAUCHY PROBLEM FOR A NONLINEAR SINGULARLY PERTURBED INTEGRO-DIFFERENTIAL

EQUATION OF THE THIRD ORDER IN AN UNBOUNDED DOMAIN

Abstract. The singularly perturbed problem in an unbounded domain has been investigated. The method was developed at expansion giving to the asymptotic of the character with the solution of the degenerate problem, with the function of type of the boundary layer and the linear integral operator with a residual function. A method that converts the singularly perturbed problem in the integral equation of the second kind. This method allows estimating effectively proximity of solutions of the singularly perturbed and degenerate problem in space Lh(D) when aprioristic information of

the input data iL (R) is give.

Keywords: singularly perturbed equations, Cauchy problem, integro-differential equations, function of type of the boundary layer, degenerate problem.

Известно, что существенные трудности возникают при исследовании нелинейных сингулярно-возмущенных задач в неограниченных областях с разрывными сосредоточенными источниками. Аналогичные трудности возникают и в сингулярно-возмущенных задачах типа Кор-тевега де Фриза [3] с априорной информацией о входных данных в L2(R) [9], где доминируются дифференциальные [1; 2; 5; 7; 10] и интегро-дифференциальные уравнения в частных производных [4; 6; 8]. В этих задачах малость погранслойной функции нарушается не в начальной точке, а на отрезке, где х = t,(хе R,t е [0,7]), а в случае tе R+, то малость нарушается в области R+, где х = t в чем и заключается актуальность исследований данной работы.

Рассмотрим сингулярно-возмущенное уравнение с условием Коши, где содержится ин-тегро-дифференциальный оператор в области D0 = {(t,х): 0 < t < 7,хе R}, т.е.

_ (х-t )2

£2(utx2 + ихз) + eu(t,х)(Ku)(t,х)-a2(ux + ut) + u = f(t,х) + e e , (1)

u(0, x) = J(0, x) + e e, "x e R,

Ku ° j K(t, x, t)ut (t, r)dr, "(t, x,t) e D x R; D = {(t, x): 0 < t < T, x e R},

(2)

здесь 0 <a = const <¥, C1,3(D) э f(t, x), C(D1) э K - известные и ограниченные функции, кроме того, функция 0 < K(t,x,t) и интегрируемая функция по t в R, где

(sup j |K(t,x,tfdt)2 < C1 = const; (t,x,t) e D1,

D -¥

sup j |K(t,x,t)\dt< C2 = const, (C0 = max(C1,C2).

D -¥

При этом близости решений сингулярно-возмущенной и вырожденной задачи оценивается в пространстве L2h (D), так как задается априорная информация следующего вида

Ж'

C6(R) п L2(R) э b0(x,e) ° e~s, "xe R, (|b0\< 1, "xe R), 1 —

b0x(x,e) °-2-xe e, xe R; h(x) ° e^2 < h0 = 1, "xe R, (je-tdt = 4f),

e R

KMUr) = (je-2^dt)1 <§ = mfg, m = ^ g = -1),

b0x (x,e)

L2(R)

1 t -2t 1 1 -— 1 1 1

(4-[— e e dt)2 < (41 e^1 j e e dt)2 = (4-e^^Vei e~p dp) <? j <? <? J <? J

1 2 _

11 — 1 T2

= (41 e^Vff)2 = 24/ie"4 = mf*, (m1 = 24/f; b = 1; sup^, ^ = t),

4 ^>0

b0( x - t,e)|| l2(d ) = (sup j j h(t)e2^{t ')2 dt)2 = ( if sup j j h( S

Lh (D) [0,T ]0 R V2 [0,T] 0, R V 2

2p +t)ep dp)2 <

< i/— x V Th0 = m2e4, (m2 = 4/- x

# xVr);

b0x (x,e) °-2- xe e,

1 t -2- 111 - -1

b0 x (x,e)|| L2(R) = (4 f j f e e dt)2 < (4 f e-1)2(Vfj e~p2 dp)2 = 2^fe~i=rhf

e dt)2

R f f R

1 1 )2 = 2ifc 4 =mi

(3)

П. 1. Пусть e = 0 , тогда из (1) получим вырожденную задачу вида

j + j = a~2 [ J(t, x) - f (t, x)], Jt=0 = J(0,x) e C3(R),"x e R.

Следовательно, из этой задачи следует интегральное уравнение

t

J(t, x) = J(0, x -1) + a'2 j [ J(s, x - (t - s)) - f (s, x - (t - s))]ds ° (BJ)(t, x),

0

при этом (6) удовлетворяет уравнение (4).

В самом деле, дифференцируя (6) по совокупности аргументов, т.е.

t

J (t, x) = - J (0, x -1) + a-2 [ Jt, x) - f (t, x)] - a-2 j [ J (s, x - (t - s)) -f (s, x - (t - s ))]ds,

0

t

J (t, x) = J (0, x -1) + a-2 j [ J (s, x - (t - s)) -fh1 (s, x - (t - s))]ds, (h = x -1, h, = x - (t - s)),

(4)

(5)

(6)

R

R

f

0

и полученные частные производные подставляя в (4), получим

а~2 и х) - f у, х)] = И у, х) + у, х) = -Ц (0, х -1) + а~2 [ Щ, х) - Г у, х)] -t t -а-21 [^ (5, х - « - 8)) (8, х - « - 8 ))]С<8 + Ц (0, х - t) + «2| [ ^ (5, х - « - 8)) -

о о

(8, х - Ц - 8))]сС8 = а-2 [х) - f(t, х)], Щ, х) е О.

Что и требовалось доказать.

Уравнение (6) является интегральным уравнением Вольтерра второго рода, и поэтому она разрешима в классе функций С13(О). Значит, допуская

1

С = а-2Г <-< 1, 2

В : ^(Ц) ® ^(Ц),

Щ - ЦIС < (1 - С)г; ^ (Ц) = {И: \&-А\ < гх) е О},

}В0- 0о\С < \\B0- В0о\С +1\В0О - 0о\\С < Сг + (1 - С)г = г, решение уравнения (6) находим методом Пикара: Ц+1 = В$п ,(п = о,1,...) с оценкой погрешности

— о,

(7)

\\0п+1 - ^п 1С < СI№ - Ц-11|С <... < Сп И - Ц |С < Сп (1 - С)г—

где г?0 - начальное приближение. Кроме того, так как известные функции г?(0,х) е С3(Я), f(t,х)е С13(О), входящие в уравнение (6), непрерывно дифференцируемы до требуемого порядка по совокупности своих аргументов, то функция х) е С13(О). Лемма 1. При условии (5), (7) задача (4), (5) разрешима в С13(О). П. 2. Далее исследуем задачу (1), (2). Решение задачи Коши (1), (2), учитывая условия леммы 1, представим в виде

'ие=0($, х) + П(,, х,е) + З£, х)|,=о = г?(0, х), "х е Я,

(8)

П^,х,е)|(=о = Ь0(х,е) ° е е, "х е Я,

1 'гх-'г+п -а(х-,+п-8)¥ а(8-,)

I I е

ее £(у,т)сСт<С8сСу,

причем

и, (,, х) = 4 (,, х) + П, + (ЗХ),,

их (,, х) = 0Х (,, х) + Пх + (ЗХ)х, (,, х) = 0^ (,, х) + Пх + (ЗХ),х, и,Х2 (t, х) х) + П,х2 + (^

ихз(,, х) = 0^, х) + Пхз + (ЗХ)хз.

Тогда, подставляя в (8) и (9) в (1) и при этом учитывая (4), имеем

(9)

0

8

где

-а2{дх + $) = ^(/, х), ¿(Г, х )| 1=0 = ¿(0, х), "х е Я, П (¿, х,е) + П х (¿, х,е) = 0,

- х2

П(^,х,е)|(=0 = Ь0(х,е) ° е е, "хе Я,

е2[(3 £)х + (3 Х)хз] - а2 [(3 X) + (3 Х)х ] + £[Ш х) + П(/, х, е) + 3 X) х | К(/, х, т);

х(3£)Дт)с(т + (3Х)х | К(¿,х,т)[г?Дт) + ПДт,е)]с(т] + (3£) = ¡(¿,х,е),

¡(Г, х, е) ° -е2 [(Г, х) + ¿з(Г, х)] - е(¿(/, х) + П(Г, х, е)) х | К(Г, х, т)[¿т (Г, т) + +ПДт,е)]сТ, (¿, х) е О,

(10)

и х а. . ¥ а. . и ? ¥ а

1 Г--(х-в) г —(в-т) 1 с с —(х- Г+п-т)

(3Х) , =е2 I е е Iее %Ц,т)с1тс1в--21 | ее £(п,т)с(тсП +

в

0 х- t+v

„ t х - t+v а, ™ а,

а г г - -(х-+п-в) г -<в-т)... , , , , +—I I е е I ее ¿;(v,т)dтdвdv,

0

и Г ¥ а , , г х-г+п

(3Х)х =-1,| | е^—ХМСС-а| | е

^ 0 х-г+п ^ 0 -¥

л х а. .¥ а, . I г--(х-в) г —(в-т)

(3£) + (3Х)х = — | е е |ее Х(Г,т)СтСв,

Г х-Г+п а, , ¥ а,

а г г - -(*-'+п-в) г -(в-т)

е ое

Г ~(в-т)

I ее ¿;(v,т)dтdвdv,

1¥ а, х а. . ¥ а, с —(х-т) а г--(х-в) * —(в-т)

(3Х)х + (3Х)х2 =-21ее Х(ит)€/т-а I е е )|ее Х(Г,т)бтс/в,

¥ а ¥ а

(3Х)х + (3Х)хз =--2 Х(Г,т) + 4 I ее< х-т)Х(Г,т)Ст-^аа I ее< х-%,т)с(т +

е е х е х

2 х а ¥ а 2 х а ¥ а

а г - -(х-в) г -(в-т). , , 1 ч а г - -(х-в) г -<в-т), -г I е е I ее Х(Г,т)/тс/в = —2£(Г,т) + — I е е I ее Х(Г,т)/т/в.

(11)

е -¥ в е е

Чтобы, определить функцию П(^,х,е), рассмотрим задачу

П + П х = 0,

П(Г,х,е)|г=0 = Ь0(х,е) ° е е,"хе Я.

Отсюда следует

(х-г )2

П(Г, х,е) = Ь0(х - Г,е) ° е е ,"(Г, х) е О,

(12)

(13)

(14)

т.е. (14) является точным решением задачи (12), (13). Причём, при заданной информации (3) относительно функции П(^,х,е) получим оценку в ¿2(О) в виде

1 _^ _

||п||4(о) = (эырIIЛ(т)|П(5,т,е)|2 с/тс/ву = (эырIIе /т)2 <

£ (ёж IIФ

п(т-в )2 1

[0,т] •

\-р + Ъе-Р бр)2 < ^7770 = ^2е4 0,

(15)

т2 = 4Рх47; 0 < 7(х) °е< 770 = 1, "хе Я: Iс1т = 4я,

в

в

х

в

в

т.е. имеет место:

Лемма 2. При условиях (13), (15) решение уравнения (12) определяется единственным образом по правилу (14) и сходится к нулю в смысле ¿2(О), когда е ® 0 .

Далее, учитывая (11) и (14), из (10) имеем

X(t, x) = e[(|t, x) + e e +-2 J J

^ 0

¥ ^t ¥ a

1 Г С —(r-t+v-r )

(x-t)2 1 tx-t+v a,.. a

—(x-t+v-s) f — (s-r)

e e I oe

Г _(s-r) c.

J ee x(v,r)dTdsdv);

л t r-t+v a, ,

arc - -(r-t+v-s)

1 1 - e

e3 ' ' "

:J K(t,x,r)[-2J J e^t+v-T)X(v,T')dT'dv-aJ J e"

-¥ e 0 r-t +v e 0 -¥

¥ a t x-t+v a ¥ a

Г _(s-r К . . 1 Г Г — (x-t+v-s) —(s-r)

:J ee X(v,r )dr'dsdv]dr + J J e e J ee £(v,r)drdsdv;

0 -¥ (r-t )2

t x-t+v a. . ¥ a.

If j» --(x-t+v-s) f —(s-r)

с 1 ---— 1 f с --(x-t+v-s) с

;J K(t,x,r)[Jr(t,r)- 2(r-1)-e e ]dr] +—J J e e J

ee x

(16)

xX(v, r)drdsdv - Y(t, x,e) ° (P£)(t, x), ¡(t, x, e) ° -e2 [ | (t, x) + JJ3 (t, x)] - e(J(t, x) + e ") x J K(t, x, r)[ Jr (t, r) -

(x-t )2

e

1 (т-, )2 -2(т-1)- е е ]сТ, е

[Т(,,х,е) ———0, Щ,х) е О. Из (16) видно, что функция У(,, х,е) допускает условие

|Т(,,х,е)| <АДе) ——— 0, Щ,х) е О. В самом деле, оценивая У(,,х,е), получим

(17)

_ 1 ¥ 1 _^ ^

|Y(t,x,e)| < 2e2r0 + e(r0 + 1)[C2r0 + (sup J |K(t,x,r)|2dr)2 xsup(2- J 2-(т-1)2e e dr)2] <

d J [0,7] e J e

—¥ 1 J —¥

1 3

<2e2r, + e(r0 + 1)^ + Cme 4] = 2e2r, + e(r, +1)^ + fo + 1)C0m1e4 =A,(e), "(t,x)e D, C0 = max(C1,C2); It,x)|, It,x)| <r0, "(t,x)e D, (/ = 13),

2 -2^ 1 e WtVI

(x-t )2 1 (x-t )2

||||C <r0; e e < 1; b0x °-2—(x-t)e e , "(t,x)e D,

1 ¥ 1 •

(sup J |b0r (r-t,e)\2dry = sup(2— J 2-(т-1)2dr)2 < sup(21 e- J dr)2 <

[0,7] -¥ [0,7] e -¥ e rn-ri e j

1 ¥ 1 1 1 1 1 < supV2(-^ J e-p2dp)2 = 4 = m1e-4, (m1 = V2p4).

i0,7 ] Ve -¥

2 -2^ 1

\2o e WtV

1 ¥ (r-t )2 1

[0,7 ] e

Что требовалось доказать.

Уравнение (16) допускает условия принципа Банаха, так как малый параметр ee (0,1) и 0 < a = const < ¥ позволяют выбрать коэффициент Липшица оператора Р:

dp = C07a- [2(r0 +1 + a_2r17 + 7r1a_1) + a~1(f0 + m1)] + a"27 < 1, (18)

так как

s

s

s

0

s

(х-Г )2

л Г х-Г+п а, . ¥ а.

1 Г Г —(х-Г+п-в) * —(в-т)

, - I ^^--1 Г Г --(х-Г+п-в) ^ -(в-т) ,

£(Г, х) - Х1 (Г, х)| =| —{(¿(Г, х) + е е + — II е е I ее £2{v,т)атаваv) х

е Г\ о

1Г ¥ а. * /ч Г т-Г+п а. . ¥ а.

с С -(т-Г+п-т ) ^ Г Г - -(т-Г+п-в)г -(в-т )

(I К (Г, х,т)[—21 I ее хптст сп—з I I е е I ее £(п,т) х

-¥ е 0 т-Г+п е 0 -¥ в

1Г х-Г+п а. . ¥ а. ¥

г г — (х-Г+п-в) ^ —(в-т) , с

хат авау]сст+—{{ е е I ее £2(v,т)атаваv I К (Г, х,т)[г?т(/,т) -

е 0 -¥ в -¥

1 1 УТ ~(Х-г+п-в)¥ а(в-т)

-2—(т-Г)е е ]ст} + —II е е Iее £2(v,т)атаваv)-¡(Г,х,е)-е е 0 -¥ в

-^ 1 УТ а-Г+п-в)¥ а(в-тК ¥

-—{(¿(Г, х) + е е + — II е е I ее £1(n,т)атаваn) х I К (Г, х,т) х

е 0 -¥ в -¥ Л Г ¥ а, > ,,, Г т-Г+п а, , ™ а, „

г 1 г г ~(т-Г+п-т ) г / /ч . / . а Г Г - -<т-Г+п-в) Г -<в-т ) , , , , , . , х[— I I ее £ (п,т )стсп- — I I е е I ее £(п,т )атаваn]ат+

е 0 т-Г+п е 0 -¥ в

1 -Г-+п а-Г+п-в)¥ а(в-тк ¥ 1 -

+-2II е е I ее X1(n,т)атаваn I К (Г, х,т)[г?т(/,т) - 2-(т- Г)е е ]ст} -

е 0 -¥ в -¥ е

л Г х-Г+п а. , . ¥ а, . л

1 г г —(х-Г+п-в) * —(в-т) , 0 1 „

—21 I е е Iее X2(у,т)атаваv) + ¡(Г,х,е) |< {е[(г0 +1 + а'2г17)-202а 7 +

+2С2а 7 г1 + а~27(С/0 + С1т1е 4)] + а~27} х £2 (Г, х) - X (Г, х) I < {[2(г0 +1 + а_2г17) х

(19)

хС0а 7 + 2С0а 72г1 + С0а~27г0е + С0а~27т—4 ] + а~27} х ||£2 (Г, х) - £ (Г, х)||С < < ср ||£(Г,х) -£(Г,х)||С ,

ср = С07а~\2(г0 + 1 + а_2г17 + Т^а"1) + а~\г0 + т1)] + а~27, т.е. оператор Р является сжимающим оператором. Поэтому, если имеет место (18) и

'IIР0С < (1 - ср )г„ ^(Х = 0) = {£: IX <Г1,"(Г,х)е О}, Р: Б^ (0) ® 5Г(0),

Л(Р£)(Г, х)\\С < 1(Р£)(Г, х) - (Р0)(Г, х)||С +1|(Р0)(Г, х)||С < срГ, + (1 - сру, = ^ то уравнение (16) имеет единственное решение в С(О), и это решение находим методом Пика-ра: £п+1 = Р£п ,(п = 0,1,...) с оценкой погрешности

||£+1 < сР+1Г1 --— 0. (20)

Лемма 3. При выполнении условий лемм 1, 2 и (17)—(19) уравнение (16) разрешимо С(О),причем

IXIIС < (1- ср )||Уе||С < (1- ср)А1(е) = Д2(е)-

0.

..9— 1С ~"Р>\\ 1С е®0 (21)

Теорема 1. В условиях лемм 1-3 и (3) сингулярно-возмущенная задача (1), (2) имеет единственное решение, представляемое в виде (8), причем близость решений уравнений (1) и (4) устанавливается в ¿¿7 (О).

Доказательство. В самом деле, доказали что функция ¿е С13(О) определяется единственным образом как решение вырожденного уравнения (4). Кроме того, из уравнения (12) единственным образом определяется и функция П(Г,х,е) по правилу (14) с оценкой (15). Также показано, что непрерывное и ограниченное решение нелинейного интегрального уравнения (16) равномерно сходится к нулю в смысле нормы С(О), когда малый параметр стремится к нулю. Поэто-

0

в

му представление (8) является решением нелинейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных (1) с начальным условием (2). Следовательно, из полученных выводов лемм 1, 2 следует, что (8) является решением асимптотического характера задачи (1), (2).

Значит, чтобы оценить \u(t, x) -Jt, x)| в смысле нормы пространства L2h (D), сперва на основе (8) выражение |u(t,x) -Jt,x)| возведём в квадрат и умножаем на h(x), и затем, интегрируя по

переменным (t,x) е D, имеем

t t t J J h(t) |u(s,r) - Js,r)|2 dtds < 2[JJ h(t) |n(s,r,e)|2 dtds + (T\|£(t, x )|| c )2 J J h(r)dr] <

< 2[sup if e

[от] 0 R

—ep dpds + (TA2(e)):

'■Tp < 2[ VP-

(T A2(e))2^VP],

(x-t)

e

n(t, x,e) ° e e ; 0 < h(x) ° e^2 < 1 : J e-t dr = 4P.

Далее, переходя к норме пространства L2h (D), получим

U^ x) -J x )|| Lh (D) <

Jll^TyP + (T A2 (e))2 Tp = N0 (e),

No(e) =

(T A 2(e))2 T VP]

(22)

->0.

Что и требовалось доказать.

Замечание. Уравнение (1) является сингулярно-возмущенным интегро-дифференциальным уравнением с правым возмущением в неограниченной области, а точнее

(x-t )2

содержится функция вида b0(x-t,e) ° e e с априорной информацией (3). Указанная функция может задаваться и в общем виде, т.е. b0(x - t,e) с априорной информацией b0(x,e) е C3(R) п L2(R), b0(x,e)®0, когда e® 0,"xе R, b0\< m., "x е R; 0 < h(x) < h0 <¥, "x е R, (J h(t)dt< h0),

R

|b0Cx,e)||L2(R) = (J |b0(t,e)|2 dt)2 < me7, (23)

R

lbx(x,e)||L2(R) = (J |b0t(t,e)|2 dt)2 < mye b, (0 < m,,m„m, = const, 0<g,b < 1).

R

И в этом случае для задачи (1), (2) с функцией b0 (x - t,e) выполняются все условия теоремы 1.

0R

0R

0R

R

Список литературы:

1. Бутузов В.Ф. Угловой погранслой в сингулярно-возмущенных задачах с частными производными // Дифференц. уравнения. - 1979. - Т. 15, вып. 10. - С. 1848-1862.

2. Булычева О.Н., Васильева А.Б., Сушко В.Г. Асимптотические разложения по малым параметрам решений некоторых задач для параболических уравнений // ЖВМ МФ. - 1991. -Т. 31, вып. 9. - С. 1328-1337.

3. Бубнов Б.А. Общие краевые задачи для уравнения Кортевега де Фриза в неограниченной области // Дифференц. уравнения. - 1979. - Т. 15, вып. 1. - С. 26-31.

4. Винокуров В.П. Асимптотические поведение решений одного класса интегро-дифференциальных уравнений Вольтера // Дифференц. уравнения. - 1967. - Т. 3, № 10. -С. 1732-1744.

5. Дородницин А.А. Об одном методе решения уравнений пограничного слоя // Некото-

рые проблемы математики и механики. - Новосибирск, 1961. - С. 77-83.

6. Иманалиев М.И. Методы решения нелинейных обратных задач и их приложение. -Фрунзе: Илим, 1977. - 348 с.

7. Наумкин П.И., Шишмарев И.А. Обобщенные решения для уравнения Уизема // Диф-ференц. уравнения. - 1992. - Т. 28, вып. 1. - С. 121-126.

8. Омуров Т.Д., Омуров М.Т., Алиева А. Задача Коши для сингулярно-возмущенного уравнения с интегро-дифференциальным оператором типа Кортевега-Де Фриза // Известия НАН КР. - Бишкек: Илим, 2015. - № 2. - С. 11-19.

9. Треногин В.А. Функциональный анализ. - Москва: Наука, 1980. - 496 с.

10. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. - М.: Мир, 1977. - 622 с.