Линейное интегральное уравнение Вольтерра-Стилтьеса первого рода с двумя независимыми переменными Текст научной статьи по специальности «Математика»

Литература

1. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. -Новосибирск, 1962.

2. Саадабаев А. Приближенные методы решения нелинейных интегральных и операторных уравнений 1-го рода. - Бишкек, 1997.

3. Усенов И. А. О регуляризируемости решения нелинейного интегрального уравнения первого рода // Материалы международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и информатики», посвященная 80-летию со дня рождения академика НАН РК Касымова К. А., Алматы, Казахстан, 2015, стр. 124-125.

Линейное интегральное уравнение Вольтерра-Стилтьеса первого рода с двумя независимыми переменными Байгесеков А. М.

Байгесеков Абдибаит Мажитович /Baigesekov AbdibaitMajitovich - старший преподаватель,

кафедра высшей математики,

Баткенский государственный университет,

Сулюктинский гуманитарно-экономический институт, г. Сулюкта, Кыргызская Республика

Аннотация: в данной работе для линейных интегральных уравнений Вольтерра-Стилтьеса первого рода с двумя независимыми переменными построены регуляризирующие операторы по М. М. Лаврентьеву и доказана теорема единственности в C (G).

Abstract: in this paper, for linear integral equations of Volterra-Stieltjes of the first kind with two independent variables is constructed regularizing operators by M. M. Lavrentyev and proved the uniqueness theorem in C (G).

Ключевые слова: единственность, регуляризация, линейные интегральные уравнения Вольтерра-Стилтьеса с двумя независимыми переменными первого рода.

Keywords: singularity, regularization of the integral equations, linear Volterra-Stieltjes integral with two independent variables of the first kind.

УДК 517. 968

Рассмотрим уравнение

t t X

IK{t,x,s)u(s,x')d^<s)+^^N(t,x,s,y)u(s,y)dw(y)dq(s') = fit,x), (t,x)e G, (l)

t0 t0 x0

где u(t, x) - искомая, K (t, x, s), N(t, x, s, y) -ядра, f (^ x) - известная функция; f(to, x) = 0 при x e[xo, X ]; G = {(t, x) :to < t < T, xo < x < X },p(\^(x) -

известные строго возрастающие непрерывные функции.

Вопросы регуляризация, единственности и существования решений интегральных уравнений Вольтерра с двумя независимыми переменными исследованы в [1, 2]. В работе [3] исследованы интегральные уравнения Вольтерра в шкалах банаховых пространств. Различные вопросы для систем интегральных уравнений Вольтерра первого рода рассматривались в [4,5]. В [6,7] исследованы вопросы регуляризации решений интегральных уравнений первого рода. В данной работе построены регуляризирующие операторы по М.М. Лаврентьеву и доказана теорема единственности решения уравнения (1) в классе C (G).

35

Отметим, что множество C(G) всех непрерывных действительных функций, определенных на G, с нормой Ml = max |u| образует нормированное

II IIе о I I

пространство.

Пусть выполняются следующие условия:

а) При любом фиксированном (t, х)е G функция K( t, х, s )е Li{[t0, t ]), а функция

N(^ x, s, У) е t ]х [xo, х]), функции K(t , х, s) и N(t, х, s, У)- непрерывные

по совокупности (t, х) соответственно в областях

О = {(t, х, s): t0 < s < t < T, х0 < х < X} и

О3 ={(t,х,s,y):t0 < s < t < T,х0 < y < х < X},

K (t, х, t )е L (О), K (t, х, t )> 0 при (t, х)е G .

б) При t >T для любых (t, х, s) и (т, х, s)e G справедливо

t

\K(t, х, s)-K(т, х,s)< CJK(s, х,s)d^(s), где 0 < C - некоторая постоянная.

T

в) При t >т для любых (t, х, s, у) и (т, x, S, У)е Оз справедливо

\N(t, х, s, у)- N(т, х, s, у) < C1l1l2 J K(s, х, s)d^(s),

T

N(t, х, t, у) = 0 при (t, х, у)е G2 ={(t, х, у) :t0 < t < T, х0 < у < х < X} где 0 < l, 0 < l2 - постоянные.

Наряду с уравнением (1) будем рассматривать следующее сингулярно -возмущенное уравнение

t t х

sv(t, х, s) + J K(t, х, s)v(s, х, s)d^(s)+ J J N(t, х, s, y)v(s, у^)Дщ(у)d^(s) = f (t, х), (2)

^0 ^0 х

где 0 < s - малый параметр, (t, х)е G .

Решение уравнения (2) будем искать в виде

v (t, х^) = и=, х ) + + + x,s), (3)

где u(t, х) - решение уравнения (1).

Подставляя функцию v(t, x,s) в (2) и учитывая, что u(t, х)- решение уравнения (1), имеем

t t х

S;(t , х, s)+ J K (t, х, s )^(s, x,s )d^(s)+J J N(t , х, s, у )£(s , у, s)d \у(у )d^(s) + su(t, х) = 0. t0 t0 х

Последнее, разделив на s и преобразовав, получим:

t -it

1 1 ^ 1

#(t,х,s) + - [K(s,х,s)^(s,x,s)d^(s) = — J[k(t,х,s)-K(s,х,s)]^(s,x,s)d^(s) sr s?

А A

Y t х

—-- -s , у )£( s, у, s) d^( у) dф( s )-u (- х). (4)

s)-

Теперь применим резольвенту ядра

K (s, х, s)

t

s

36

, ч K (s, x, s) SJк(tx^(t)

R (t, x, s,s) =------------ e s

s

Тогда последнее уравнение имеет, вид

1 t 1 t х

— (t, x,s) = J—.K ([ x, s) - K (s, x, s)] —(s, x,s] ]ф —s) J J N (t, x, s,у ) — (s, y,s) d/(у ) —ф (s) -

— * -NJK,x,TdP(T) |

- u(t, x) + — J к (s, x, s)e s‘ jJ[K (s, x,t)-K (t, x,t)—(t, x,s]d^(r)

+

s x

+1JN ( s, x, t, у )—(t, y,s) d/( у) dф(т) + su (s, x)} s).

*0 x0

Относительно этого уравнения делаем следующие преобразования:

1 t 1 t x

—(t,x,s) = — J[K (t,x,s)-K (s,x,s)] — (s,x,s)dф(s) J J N(t,x,s,у) — (s,y,s)dy(y)dф(s)-

s to s to xo

J t

^ t s -—JK(T,x,T)dp(j)

-u(t,x)+ — JJK(s,x,s)e [k(t,x,t)-K(t,x,t)—(t,x,s)dp(T)dp(s)-

t s

JJ K (s, x, s )e

-— J K (t ,x,T)dp(y)

[K (t, x, t)- K (s, x, t)—(t, x, s]dpT)dp(s)

+

*o to t s x

, t

—J K (г ,x ,т')}ф(т')

JJJ K ^ x. s)e N(t,x,t,у—t,у,е^/{у)dpT)dp(s)-

j t

S J к ( t,x, т¥р(т)

+ — I I I K(s,x,s'" s

ttx

*o *0 x0 t s x

s

JJJ K (s, x, s)

[N (t, x, t, у) - N(s, x, t, у )—(t, у, s)d /(у ]dpT)dp(s )+

tn tn xo

^ t -—JK(t,x,T)dp(T) ^ t -—JK(t,x,t)1p{t)

+ — JK(s,x,s)e Ss u(t,x)dp(s)— JK(s,x,s)e e* [u(t,x)-u(s,x)dpPs).

s: s J

t

^ t -—JK(r,x,r'd9{r) -—JK(s,x,s)dp(s)

Так как — J K(s, x, s)e s dp(s)= — -e to , то из последнего

*0

уравнения, получим:

— — — — —

— (t, x,s) = ——— K —,— s') - K (s,— — — — ( s, —,s) —ф( — — — — N —, —, s, у) — ( s,————/(——ф(s) +

+ -

JJ K (s, x, s)e

—J K {r,x,T)dp{T)

[к (t, x,t)- K (t, x, t)—(t, x, s)dp(z)dp(s ) -

^ t

I t s —JK (t,x,T)dp.j)

— JJK(s,x,s)e [K(t,x,r)-K(s,x,t)—(t,x,s)dp{z)dp(s)

+

О •л0

tt

o lo

s

1

1

О лО

—

2

s

и t

О 1О

tt

О 1О

37

+ -

t

2 t s x -J к (t. Х,т)$ф{т)

72 JJJ к (s. x. s) £s N(t.x.t.y{(z.y.s)d^(y)d^(r)d^(s)-

t0 to x0 t s x

- — JJJ K (s.x. s)e

J K (t. x.T)d^(T)

N(t. x. г . y) - N(s. x. г . y){(t. y.s)d iy(y^^Dd^s) -

t0 t0 x0

1 t t

-JK(s.x.s]dp(s) ^ t -—JKiT.x.Tdvii)

-u(t.x)e t0 ----JK(s.x.s)e es [u(t.x)-u(s.x')]d^(s).

Сюда применяя формулу Дирихле, затем заменив г на s получим

, t

^ t —J K {j.x.T)fity{j)

{(t.x.s) =------Je ^ [K(t.x.s)-K(s.x.sj{(s.x.s]dp(s)-

s J

^2 J

, t

t —J K {r.x.T)dp{T)

JK(t . x.t) E' [K(t. x. s)- K(t . x. s')]d^(r)

{(s. x.s)dv(s )-

— t x -—JK(t.x.Tjd^r)

-JJn(t.x.s.y)e ss {(s.y.s)dw(y)dф(s)-

4 я

t0 x

J K (t. x.t) S‘

, t

- J K (r.x.T)dty{T)

[N(t. x. s. y) - N(t. x. s. y')]iq,(y)

{(s. y.s)d^(y)dp(s)-

-— JK{t.x.r)dv(T) ^ t -—JK{t.x.r)dp{T)

u(t.x)e t0 — JK(s.x.s)£‘ \u{t.x)-u(s.x)]d^(s) .

s

Отсюда

{(t. x.s) = J H (t. x. s. s){( s .x. s) d^( s ) +J J N (t.x .s .y. s){( s .y. s) dy(y ) d^( s )+p(t .x. s) . (5)

где

I -—J K (t.x. тУф(т)

H(t.x.s.s) = — [K(t.x.s)-K(s.x.s)]e ^

s

1 ^

-2 J K (t. x. г)

-—J K (t . x. т)йф(т)

N—(t .x. s. y. s) = — N (t. x. s. y )e s

[K (t.x.s)-K (t. x.s)^(r). (6)

J K (t. x. r)d^(T) -i t J K (t.x. r)d^(T)

sJ -~2JK(г.x. v)e ■■

t

0

s

<

s

0

U x.

0 "v0

S'

S'

38

'[# (t,x, s,y)~ N (г, x, s, y)]] ,

( 7 )

-S1K(т-x^r) i ' -11KГ«УФМ

p(t,x,s) = -u(t,x)e ---ГK(s,x,s)e s 1и(t,x)-и(s,x)lс1ф(р). (8)

7 t„

Предварительно докажем следующие предложения.

ЛЕММА 1. Пусть

-£ 1K(г,х,г}1ф(т) Y t --JK(т,хгЫг)

iy(t,x,s) = -u(t,x)e t0 ---1K(s,x,s)e ^ [u(t,x)-u(s,x)]lp(s),

где u(t,x)eC(G), u(t0,x) = 0 при xe [x0,X] K(t,x,t)eLG), K(t,x,t)> 0 при

почти всех (t, x)e G, функция ф(ф, x)=| K(s, x, s)lq>(s) непрерывна по

to

совокупности (t, x)e G. Тогда справедлива оценка

l

Ikfc x,s)||c < 3||u G x)\\ce +a-u (sP) = C0 (s),

где P - произвольное число из интервала (o,i),

CD-(S)= sup |u(p-1 (z, x), x)-u(<p1 (z0, x), x) |, p-1 (z, x) - обратная функция

|z-Zo |<£ xe[x0 ,x]

для функции z = p(t, x), (t, x)e G.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: 1) если t0 < t < p- (sP, x), x0 < x < X, то из (8) имеем

\p(t, x,s)\<a-u (sP)e s ’ +®-u (sP)1 -K (s,x, s) e*s 1ф(8) = а-и (sP). (9)

, S

2) Если p l(sP,x)< t < T, x0 < x < X ,

то

u (t, x)|< e s ** < ||u (t, x 1 e

l

,1-P

(10)

p 1 (p(t,x)-sP,x)

1 K (s, x, s )e

i

—1K (г, x,t)Ip(t)

\u(t, x) - u(s, x)]lp(s )+

^ t -—1K (г, x,t)Ip(t)

+ — 1K (s, x, s) G s [u(t, x)-u(s, x)lp(s)<

S p~l [p{t,x)-sP,x)

1

< 2IIu Gx ^1 ce S—P+°-u (sP). (11)

Из (9), (10) и (11) следует справедливость леммы 1.

ЛЕММА 2. Пусть функция H(t, x, s,s) определена по формуле (6) и выполняются условия а) ,б). Тогда справедлива следующая оценка H(t, x, s, s) <C2, где C2 = C(1 + e_1)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: С учетом условия б) из (6) получим

39

2 — J K (т, х,т)Лф(т) t

\H(t, x, ^,^)< — e t0 CJK(т, х,т^у(т)

+

+

1 t

— J K (т, х,т)е

— J K (т, х,т)3ф(т) £j

t

C J K (v, x,v)dy(v)

dq(u).

Для первого слагаемого

—J K (т,х,т)1ф(т) ^

Ce s

J K (т, x,r)dp(r)

r = — JK(т,х,т^ф(т\ = Cr/e r < Ce

r < Ce -1.

для второго

2 t

— J K (т, х,т)3ф(т) £J

1 1

C J—K (т, х, т)

J s

s

1 t

r = - J K (т, х,т^ф(т)

S s

t

— JK(т,х,т)Дф(т)< r < 0

1 t |

- J K (v, х, v)dp(v) Id^(r) =

= -C

Jre rdr <C Jre rdr< C.

— t

— J K (т ,х,т^р(т) Ss

Следовательно, отсюда вытекает справедливость леммы 2.

ЛЕММА 3. Пусть функция N(t, х, s, y, s') определяется по формуле (7). Если выполняются условия а) - в), то справедлива следующая оценка:

N (t, х, s, y,s)< C3 l—12,

где C3 = C2 (l + e—).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Принимая во внимание условия а) - в), из (7) получим требуемую оценку.

Далее, в силу лемм 1, 2 и 3 из (5) имеем:

t t х

х:> s) <Co (s) +J C2\£(s, х,е№ф($) +J JC3lJ2\£(s, y,s\dv(y)dp(s).

t0 х0

Обозначим a(t, х^) =

Тогда

a(t, х^) = C0 (s)+CII2 JJ|^(s, y, s) d^(y )dp(s )

\%(t, Xs)|< a (t, х, s) + C2 J\g( s, х^)\dф( s ).

(U)

ЛЕММА 4. Лемма Гронуолла-Беллмана: Если f (t )> 0 на [t0 ,T ] то из неравенства

y(t)< b(t)+J f (sMs')ds,

s

<

s

s

s

s

T

O

s

t

0

t х

U х

0 -'•0

40

j f T)dT

следует неравенство y(t) < b(t) + jb(s)f (s)es ds.

O0

В силу лемму (4) из (12) получим:

t

j ^ф(т)

\4(t, x,s)| < a (t, x,s) + C2 J a (s, x,s) es dф(s) = a (t, x,s) + C2 ja (s, x,s) e'* sSdф(s)

Oo Oo

или

Ox t

\£(t, x s) < Co (s) + C3kl2 j j |^(s, y, s)dW(y')d^(s) + C2Co(s)j e(0~*)dP(s)

s) +

+

CPlhjjje( s ЬТ, y,s] d \y(y )dv(T)dv(s).

К тройному интегралу, применив формулу Дирихле, затем заменив т на s и

учитывая, что C0 (s) - постоянная, из последнего

имеем

t x

\Ь(t, x,s)< Co (s)[l + C3TeT ]+ C3lil2 j j[l + e(T - s)]|^(т y, s) dw(y )dv(s )

или

\Z(0, x,s)\ < a (s) + jj K (T, S, y )|£( S, y,s)\ dw( y ) ^( s ), (13)

Oo x0

где ai (s) = Co (s)[l + C,TeT ], Kx (T, s, y) = C31,1г [l + eT (T - s)].

ЛЕММА 5. Пусть <^(t, x,s) - непрерывна, неотрицательна в G и выполняется неравенство (13). Тогда справедлива

Г O x >

b(t, x,s)< a(s)exp jj Ki(T, s, y)dy(y ')d^(s )|

V Oo xo

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Обозначим

R(t,x,s) = a, (s) +jjKi (T,s,y)b(s,y,s)dy(y)йф(s).

Oo xo

Введем функцию

G(R) = ’jf. (15)

ai ь

Тогда в силу (13)

8 2 R

= K(T, t, x)b( t, x,s)< K(T, t, x) l(t, x,s).

Находим

d2

(14)

[G (R)] = G' (R) — + G"( R) — • —.

8t8xL v 'J v ;8t8x v ’ 8t 8x

На основании (16) из (17) следует

8dx [ G <R >]-G"<R )f-f < G'<R > K1(T • x)R (t • ”>

(16) (17)

(18)

tx

0 -'•0

0

O s x

t^ t^ x

0 l0 л0

tx

o -vo

41

Согласно (15) G'(R) = -1, G”(r) < 0 , кроме того, из (14) следует,

дЯ дЯ

что --- и----- неотрицательны.

dt дх

Тогда из (18) имеем

д2

dtdx

[g(r)]< К-(Т , t, x).

Проинтегрируем

t x

G(R(t, x, s)) - G(R(to, x, s)) + G(R(to, Xo, s)) < J J К- (T, s, y)d/(y)dy(s) ,

to xo

t x

или G(R(t, x, s))< J JК-(T, s, y)d/(y)d^(s) .

Следовательно, R(t, x, s) < G 1 J J Kj(t , s, y)d/(y)dp(s)

V *o xo

Исходя из (15), получим G 1 (X) = a (s)eX.

Таким образом, R(t, x, s) < a-(s)exp

t x

JJ Ki (t , s, У )d/(У W(s )

V *o xo

Отсюда вытекает справедливость леммы 5. В силу этой леммы из (13) имеем

\^(t, x,s)\< С4 Co (s) ,

С4 = (l + СЪТ e )exp Сз 11h (j + TeT )}.

(19)

где c = (1 + Ci e )exp Сз i ,

Таким образом, доказана следующая

ТЕОРЕМА 1. Пусть выполняются условия а) - в) и уравнение (1) имеет непрерывное решение u(t, x) на G и u(t0, x)= o при x е [x0, X], кроме того, пусть К(t, x, t) > o при почти всех (t, x) е G. Тогда решение уравнения (2) представимо в виде (3), причем это решение при s ^ o сходится к непрерывному решению уравнения (1) в области G и справедлива оценка (19).

Теперь покажем, что решение уравнения (1) единственно в пространстве C(G). Следуя по вышеизложенному методу, из (2) получим:

t t x

u (t, x,s) = J H (t, x, s,s) u (s, x,s) dф(s ) +J J N (t, x, s, y,s) u (s, y,s) d/(y ) dф(s )+ Fi (t, x,s) , (2o)

где H(t, x, s,s) и N (t, x, s, y,s) определены по формулам (6) и (7)

соответственно,

i j * -1Jк

F (t, x,e) = - f (t, x)—- J К (s, x, s) ee‘ f (s, x) dф(s). (2l)

о O2 *

Предварительно докажем следующую лемму.

U x

o •vo

t x

t* x

42

ЛЕММА 6. Если функция F (t, x,s) определена формулой (21), то для нее справедлива оценка

2|| f (t,x )|| с

lF (t, x,s)|<‘

-, (t, x )e G.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Действительно, из (21) имеем

[ K (j,x,T)d^(y)

F—(t,x,e) У^х)) + -— JK(5,x,5)e

(22)

f (5, x )dy(s )

5 )<

<

, t

M^L j 1K (5, x, 5 КJK )< ^xl

Jo <P

s t s

Ml

Лемма доказана.

t

ТЕОРЕМА 2. Пусть выполняются условия а) - в) и J K(5, x, s)dp(s)> 0 при

m0

(t, x)e G. Тогда решение уравнения (1) в пространстве непрерывных функций на G единственно.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Пусть u(t, x)- ненулевое решение уравнения (1) при f (t , x) = 0. Тогда в силу условий а) -в) можно показать, что u(t0, x) = 0 на [x0, X]. В самом деле, пусть

t t x

J K(t, x, 5~)u(5, x]dv(5)+ J J N(t, x, 5, y~)u(5, y ')d^(y')d^K5) = 0

^0 tn xi

l0 x0

при (t, x) €= G. Последнее преобразуем к эквивалентному уравнению

t t

u(t0, x)J K (5, x, 5)^(5 ) = -J [K (t, x, 5 ) - K (5, x, 5 )]u(5, x)dp(5 )

l0

t x

JK(t, x, 5)и(5, x)- u(t0, x^d^)- J J[N(t, x, 5, y)- N(5, x, 5, y)]i(s, У)d w(y')d^5).

t0 t0

В силу условий а) - в) отсюда имеем

\u(t0, x) J K(5, x, 5)dp(5) < \u(t, x)|c C J J K(t, x, T)dyDdy(5)

(5)+

+ sup |u(5, x) - u(t0, x) J K (5, x, 5 +1 |u(t, x)|c CJJ2 J J J K (t, x, TdpTzfl yiydvfy.

*4^] t t x s

xe[x„,x] t0 t0 x0

Отсюда применяя формулу Дирихле, затем заменив т на 5 и в силу теоремы о среднем имеем

lufo, x)J K(5, x, 5]dy(5) < ||u(t, x)|CCJ

t

J K (t, x,t)4p(t)

dp(5)+

s

0

t t

t

U 5

0

t

t

0

0

43

t

t x

+ sup \u

sek,t ]

xefxQ,x J

(5, x) - u(t0, x) JK(5, x, s)dp(s) + C//21|u(t, x)|c J J

t0 t0 x0

t

J K (t, x, r)d^(i)

/0

d^(y )dp(s).

По условию теоремы

JK(s,x,s)dp(s)> 0 пРи x e[x07 X] •

г0

Тогда имеем

|u(t0,x) < C||u(t,x|cp(t)-pfo)]+ sup |u(s,x)- u(t0, x)+

se[t0,t ]

xe[xQ,x]

+ Ci li h\lu(^ x)C [^(x) - ^(x0 )\<P(t) - P(t0 )], (^ x)g G.

Отсюда, переходя к пределу при t — 0, получим u(t0, x) = 0 при x G [x0, X]. Далее, учитывая леммы 2, 3 и 6 используя леммы 4 и 5, из (20) имеем u(t, x) = 0 на G при f (t, x) = 0.

Тогда в силу (19) из (3) имеем

|u (t,x )|lc < C4 C0 (S) ,

где 0 < s < s0.

Отсюда при s —— 0 вытекает, что u(t, x) = 0 на G при f (t, x) = 0. Теорема доказана.

Литература

1. Асанов А. Регуляризация и достаточные условия единственности решения линейного интегрального уравнения типа Вольтерра первого рода с двумя независимыми переменными в пространстве непрерывных функций // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. - Фрунзе: Илим , 1979. -Вып.12.- С. 154-165.

2. Асанов А. Регуляризация и единственность решения линейных интегральных уравнений первого рода с двумя независимыми переменными // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. - Фрунзе: Илим, 1980. -Вып. 13.- С. 207-215.

3. Бухгейм А. Л. Операторные уравнения Вольтерра в шкалах банаховых пространств // Докл. АН СССР. -1978 . -Т.242, №2.- С.272-276.

4. Иманалиев М.И., Асанов А. О решениях систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода // Докл. АН СССР.-1989.-Т.309, №5.-С.1052-1055.

5. Иманалиев М.И., Асанов А. О решениях систем нелинейных двумерных интегральных уравнений Вольтерра первого рода // Докл. АН СССР.-1991. -Т.317, №1.- С.32-35.

6. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода // Докл. АН СССР. -1959 . -Т.127, №1.- С.31-33.

7. Сергеев В.О. Регуляризация уравнений Вольтерра первого рода // Докл. АН СССР. -1971. -Т.197, №3.- С.531-534.

44