Регуляризация и единственность решений систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра-Стильтьеса третьего рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №10/2015

ФИЗИКО- МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ISSN 2410-6070

УДК 517.968

Асанов Авыт

доктор ф.-м.н., профессор КТУМ, г. Бишкек, Кыргызстан

e-mail: [email protected] Н.С.Беделова

Ст.преп.каф.ИТАС ОшГУ, г. Ош, Кыргызстан e-mail: [email protected]

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА-СТИЛЬТЬЕСА ТРЕТЬЕГО РОДА

Аннотация

Актуальность проблемы обусловлена потребностями в разработке новых подходов для регуляризации и единственности решений систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра-Стильтьеса третьего рода. В данной статье рассмотрены решения систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра-Стильтьеса третьего рода. Для решения этой системы построен регуляризирующий оператор по М.М. Лаврентьеву и доказана теорема единственности. Решения задач интерпретации данных физических приборов, автоматического регулирования и обратных задач кинематики и сейсмики часто сводятся к интегральным уравнениям, где ядро представляет свойство среды, свободный член как результаты измерений на границах, а искомая функция показатели среды в внутренних точках. В частности интегральные уравнения Вольтерра и Вольтерра-Стильтьеса являются условно некорректными задачами, требующие качественное исследование.

Ключевые слова

Система, нелинейная, интегральное уравнение Вольтерра-Стильтьеса, третий род, регуляризация,

единственность.

Рассмотрим систему

t

m(t )u(t) + J K (t, v, u(s))dp(s) = f (t), t e[t0,T], T > t0, (1)

t0

в котором m(t)- неубывающая непрерывная функция на [t0, T], m(t0) = 0, K(t,s,u) — n-мерная вектор-функция, u(t),f(t) — n -мерные соответственно искомая и известная вектор-функции, (p(t)-возрастающая известная непрерывная функция на [t0, T].

Наряду с системой (1) будем рассматривать следующую систему

t

[s + m(t)]v(t,s) + J K(t, s,v(s,s))dp(s) = f (t) + su(^), t e [t0, T], (2)

*0

где v(t, s) -искомая n-мерная вектор-функция, u(t) -решение системы (1), 0 <£ -малый параметр.

Интегральные уравнения первого и третьего рода относится к некорректным задачам[1]. Различные вопросы линейных интегральных уравнений Вольтерра первого и второго рода изучены в работах [2-5]. В работе [6] исследовано обобщенное решение интегральных уравнений первого рода. Метод регуляризации по М.М. Лаврентьеву подробно описан в работах [7-9]. В [10] рассмотрен вопрос единственности регуляризации для нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода и их систем. В [11-12] изучены вопросы единственности регуляризаций решений систем интегральных уравнений Вольтерра-Стильтьеса первого и третьего рода. В [12,13] рассмотрено, что с использованием метода интегрированных моделей дает оптимальное решение задачи идентификации с обеспечением устойчивости решения.

9

международный научный журнал «инновационная наука»

№10/2015

ISSN 2410-6070

Для любых u = (u ), о = (о.) е Rn через щ о) = ^и.и. обозначим скалярное произведение векторов и

1=1

и о, через ||М|| и ||и||-нормы соответственно для n х n матрицы M = (a ^) и для n-мерного и = (и). вектора, где Mil = \aij\ )2, Ни! = (^М Л)2, Cn[t0, T] -пространство n-мерных вектор-функций с элементами из

1=1 j=1 i=1

C[t0,T]. Для и(/)еCn[t0,T] норма определяется по формуле ||u(t)||с = max||u(t)||, Cyn[t0,T], 0<у< 1

T ]

линейное пространство всех n-мерных вектор-функций u(t), определенных на [t0,T ] и удовлетворяющих условию

t

||u(t) - u(s)|| <M/(t) - /(s)| у,0 < у < 1, где /(t) = JK0 (s, s)dp(s) + m(t) (3)

t0

где M-положительная постоянная.

Предположим, что K (t, s, и) представимо в виде

K(t,s,и) = K0(t,s)u + K1(t,s,и), где (t,s;и) е G х R, G = {(t,s) : t0 < s < t < T}.

Потребуем выполнения следующих условий:

а) I Ko(t, s)|| е C(G) ||Ko(t, t)\\ е C[t0,T ], A(t) > 0, t e[t0,T ] где ^(t) = min Д.(t) , Д.(t) (i = 1, 2,...,n) - собственные значения матрицы

i

1

2

[K0(t, t) + K0 (t, t)], K0 (t, t)-сопряженная матрица к матрице K0(t, t),

||K„(1,0|| < ЛТД/), 1 е[Г„Г],

б) При t >т для любых (t, s), (т, s) е G справедлива оценка

t

||K0(t ,s)-K0(T,s)|| < l [ J A(s)d^(s) + m(t)], где l1 -известное неотрицательное число. т

в) ||K1 (t, s, и)||-непрерывная функция в области G х Rn , K1(t, s,0) = 0при (t, s) е G,

Kx(t, t, и) = 0, (t, и) е[t0,T] х R при t >т, для любых (t, s, и1),(т, s, u1),(t, s, и2),(т, s, и2) е G х R справедлива оценка

t

||K1(t,s,щ) - K1 (т, s,щ) - K1 (t, s,М2) + K1 (т, s,и 2 ^ < l2 [ J A(s)dHs) + m(t)]||М1 - U21|

т

где l2 -известное неотрицательное число.

Лемма 1. Пусть выполняются условия а) и X(t, s, г)-матричная функция Коши для системы dм(t)

dp(t) dX (t, s,s)

= -(s + m(t)) 1 K0(t, t)м(/), t е [t0, T], то есть

= -(s + m(t)) 1 K0(t, t) X (t, s, s), X (t, t, s) = En

dp(t)

где En - n х n -мерная единичная матрица. Тогда справедлива следующая оценка

||X(t, s, s)| < exP[-J Л(т) d^(т)], (t, s) е G.

11 11 s s + т(т)

Доказательство. Для любого и е Rn . С учетом условия а) имеем

—||X(t, s, s)u||2 =<~~~z X(t, s, s)m, X(t, s, s)u > + < X(t, s, s)u^d- X(t, s, s)m >= d^(t) d^(t) d^(t)

(4)

(5)

(6)

10

международный научный журнал «инновационная наука»

№10/2015

ISSN 2410-6070

= -2(s + m(t)) 1 < \[K()(t,t) + Ko*(t,t)]X(t,s,s)u,X(t,s,s)u > <—2Л(() ||x(t,s,e)||2,

2

s + m(t)

d

то есть ------||X(t, s,s)u\\2 < —2(() |x(t,s,s)||2, (t, s) e G.

dq(t) s + m(t)

Из последнего неравенства вытекает оценка (6). Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Пусть матричная функция X(t, s,s) = X(t,s)X-1(s,s) является матричной функцией Коши следующей системы

du(t)

d^(t)

dX (t, s,s)

= -(s + m(t)) 1 K0(t, t )u(t), то есть

= —(s + m(t))-1 K()(t, t)X(t, s,s), (t, s) e G, X(t, t,s) = En .

(7)

(8)

dy(t)

Тогда V(t, s) e G справедливо тождество

dXi.l\S,S) = X (t, s, s)(s + m(s))—1K (s, s). dg(s)

Доказательство. X(t, s,s) = X(t,s)X-1(s,s), X-1(s, s)-обратная функция к матрице X(s,s).

XS = —(s + m(t))—1 K0(t, t) X (t, s)

X(t,s)X - (t, s) = En

^ [X(t,s)X-'(t,e)] = 0 ^ dX(t,s) X-\t,s) + X(t,s)dX 1(t,g) = 0 ^

dq(t) ’ K - n dp(t) d^(t)

^ _1(t,g) =— X-1(t,s)dX (t,g) X-1(t,s) d^(t) d^(t)

Подставляя (8) в последную систему, имеем

dX'(s\£) = X-1(s,s)(s + m(s))—1 K0(s, s) aq\s)

Отсюда получим тождество (7), то есть матричная функция Коши X(t, s,s) удовлетворяет (5), (7) и X(t, t,s) = En.

Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Пусть выполняются условия а) и u(t) e C^n[t0,T], 0 < у < 1

/0(t,s) = (s + m(t)) lsX(t, t0,s)[u(t0) — u(t)] + jR(t,r,s)[s+ m(r)] 's[M(t) — u(r)]d^(r), s > 0

10

m(t0) = 0, m(t)-неубывающая непрерывная функция

(9)

где m\l0) = 0, m\l ^-неубывающая непрерывная функция на [t0,T],

R(t,s,s) = —(s + m(t))— 1X(t,s,s)K0(s,£)-резольвента матричного ядра [—(s + m(t))—1K0(s,s)], A(t) > 0 при

t

почти всех t e[t0,T], ¥(f) = jA(s)dp(s) + m(t), t e [10,Т]и ||K0(t, t^ < N^t) при всех t e[t0,T], Mt) e Cn[t0,T],

10

N0 >0.

Тогда на сегменте [t T] справедлива оценка

(10)

(t,s)||с <Me(M1 + N0M2)sy.

да

где M1 = sup(e~Vy), M2 = j e~vvydv.

v>0 0

Доказательство.

t

II/0 (t, s)|| < (s + m(t))—1 s||X(t, t0, s)||u(t) — u(t0)|| + j|R(t, t, s)||(s + m(r))—1 s||u(t) — u(r)|dqtr) <

11

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №10/2015 ISSN 2410-6070

<-

A(j)

S J s+m(T)

-e M

-} AAJ dpj) J s+m(j)

J Ajjdqj) + m(t) - m(t0)

s + m(t)

t

J Ajjdpj) + m(t) -J Ajjdpj) - m(j)

t -J-XA-Mt)

+ J (s + m(t)) 1 e ’S+mT N0A(t)(s + m(r)) 1 x

xsM

Далее

dp(r);

(11)

f Aj) A r \

I---7T dAT)

J s+m( t)

S fs+mj

s + m(t)

-e

t0

M

J Ajjdpj) + m(t) - m(t0)

<-

[s + m(tj] r [s + m(t)]

-[jnit^+r^T^ d^T)]

1 s+m(t) J s+m(T

ee t0 x

r

r m(t) r A(t) , . ,

t -[-----+I-----d<p{xT t д/ \

(• S 1 s+m(t) J s+m(T) <• A( T )

<M [JAJjdpJ) + m(t )]r=sr (------------—)1-r ee t0 *'rf T

s + m(t)

< sreM sup(evvr) = MeMxsr.

v>0

J(s + m(t)) 1 e jS+mT NoA(t)(s + m(jj) lsM

to

m(t) r A(t)

s ч1__т , dp(T)] A(t) ________1

M[J MT) ' d?(T) + m(,) % ]r<

s + m(j) s + m(t)

(12)

dp(j) <

<sr (7rm^ ^ NMe

s + m(t)

t

< srMN0eJe

J AJjdqAj) + m(t) - J AJjdpT) - m(j)

t0

t

[m(t) + J A(T)dp(T)]rdpj) <

s + m(T) (1 + m(t))r

m(t) r A(T)

n™ „ i „ s+m(‘)+is+m(T) 9 T [ m(t) +t_AATL-dpTY-y^-

s + m(t) s + m(T) s + mj)

dp(j) =

-mAA +f A(j) dp(T)

s+m(t) J s+m(T) t0

= MN0esr

да

J e~vvrdv< MN0esrJ e~vvrdv< MN0eM.

(13)

m(t) s+m(t)

Учитывая (12), (13) из (11) получаем оценку (10). Лемма 3 доказана. Лемма 4. Пусть выполняются условия а), б) и

P0(t, s, s) = -[s+m(t)]-1 X(t, s, s)[K (t, s) - K(s, s)] + jR(t, t, s)[s + mj)]1[K(t, s) - Ka(t, s)]dpr). (14)

Тогда справедлива оценка

Црд s, s)|| < (1 + N0e)l1, (t, s) e G, s> 0 Доказательство. В силу условия б) и оценки (6), из (14) имеем

(15)

s,S)|| < ||-[S + m(t)]-1 X(t,s,S)[K>(t,s) -K0(s,s)]|| + J|\R(t,t,s)||(s + m(T))A\K(t,s) - K>(t,sj^pj) <

s

t t

< [s + m(t)]4||X(t,s,s)||IK0(t,s) - K (s,s)|| + J|- (s + m(t))-X(t,t,s)(t, t)||(s + m(j))-lx[JA(s)dp(s) +

- ^AAj^dp(T) t t

+ m(t)]dp(T) < [s + m(t )]-1 e *e+m<J) I1 [ J Ajjdpj) + m(t)] + J (s + m(t ))-11| X (t, t, s)|| | K (t, t)|| x

x (s + m(j)) 1 ll [J A(s)dp(s) + m(t)]dp(j) ■

T

Далее

(16)

Г

Г

r

s

Г

т

T

sr.

T

12

международный научный журнал «инновационная наука»

№10/2015

ISSN 2410-6070

-j-^bd*) t

[s + m(t)] 1 e •e+mz l1[jX(r)dty(r) + m(t)]

m(t) f Л(т) t

< l1e e+m<,) j £+m(-) [j^^ dp(T) + ^%] <

, s + m(t)

s + m(t)

mit) r Mj) ,

{s+m(t) js+m(ф )* m(t) Г X(j)

lee s + --------—

< l1ee

[ ^ + j , -Ф)] = liesup(e Vv) = li;

s + m(t) s s + mj) v>o

(17)

j (s + m(t)) 1|X (t,r,s)||\K0 (т, r)||(s + mj)) ll1[jX(s)d^>(s) + m(t)]dy>(T) < j (s + m(t)) le

-ГЦ^т)

J s+m(z)

1 j £+m(r)

m(t)

______ t t M(r) ,

: e s+m(t)NM(r)(s + m(r))-1 l1[iХ(т)с1ф) + m(t)]dp(r) = N0 j l1ee Л - j) [-------x

• S s + m(r) s + m(t)

+-

m(t)

s + m(t)

m(t) 5- М(т)

]-ф(т) < N0l1ej e

t ч-^+ГМ^т)]

s+m(t) J s+m(T) [

m(t) t Х(т)

- +

s + m(t) J s + m(r)

J:

-d^(T)] x

m(t) s+m(t)

n(t) I- Mj)

Г-Т-мт)

J s+miz)

s+m(t) J s+m(T)

v

x (-^^[—^ + j —^dW-)] = N0l,e j(-1)e-vvdv =N0l,e je^vdv <

s + m(t) js + m(r) t . . J,)

+ И^ dw(T)

s+m(t) J s+m(r)

e

m(t) s+m(t)

ад

< N0l1ej ve-vdv =N0l1e[v(-e-v) ад+|e vdv] = N0l1e(-e-v)|^ = N0l1e.

0

(18)

Учитывая (17), (18) из (16) имеем оценку (15). Лемма 4 доказана.

Лемма 5. Пусть выполняются условия а), в) и

t

H (t, s, % (s, s), s) = -(s + m(t))- X (t, s, s)[K (t, s, u(s) + % (s, s)) - K (t, s, u(s))] + j R(t, т, s)(s + ш(т))-

s

x [K (t, s, u(s) + %(s, s)) - K (т, s, u(s) + %(s, s)) - K (t, s, u(s)) + K (т, s, u(s))]dp(T).

Тогда справедлива оценка

||H(t,s,%(s,s),s)\\ < (1 + %(s,s)||, (t,s) e G, s> 0

Доказательство. В силу условий а), в) и оценки (6), из (19) имеем

(19)

(20)

II#(t,s,%(s,s),s)\\ < ||- (s + m(t))AX(t,s, s)[K(t,s,u(s) + %(s, s)) - K(t,s,u(s))]|| + j|R(t, t,s)(s + m(x))A x

s

IK1 (t,s,u(s) + %(s, s)) -K(т,s,u(s) + %(s,s)) -K(t,s,u(s)) + K(т,s,u(s))]||dWx) < [s + m(t)ll\X(t,s,s|| x

t t

x ||[K (t, s,u(s) + %(s,s)) - K(t,s,w(s))]|| + j||- (s + m(t))-1 X(t, т,^^^(т,т)||^ + m<т)yll2[jX(s)dy(s) +

-j ) Мт) t

-1 1 s+m(т) , ^ г

-m(t)]dv(t)\%(s,s)||< [s + m(t)fle ’*+m(T) l2[jЦт^ф) + m(t)]|%(s,s)|| + j(s + m(t)yl\X(t,т,s)\\

s s

t

' IK0 (т, т)||(е + m<т)yl l2 [ j X(s)dw(s) + ш^ф) % (s, s)||.

т

Далее

(21)

f—XL J т)

[s + m(t)] xe s^m(l) 12[1М(т)-^(т)+m(t)

^ m() г А{т) d ( ) t

■(s,s)| < l2e ^ dm+Jmmii %(s,s)| <

s s + ^m(t) s+^m(t)

x

z

T

ад

x

г

13

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №10/2015

ISSN 2410-6070

1- m(t) -Г Л(т) d9(f) t ,, л s+m(t) f s+m(r) гГ A\T)

Ue s Г ------—

< l2e

{+ w}

s+m(t) •> s+m( t)

Г A(T) , . m(t) , 's+m(t) f e+m(T)

[I -----— '«(т) +---------—] < l2ee

J s + m(t) s + m(t)

s + m(t)

+ f A(t) л Mt)] = l21|£(s,s)|Iе sup(e-Vv) = l21|£(s,s)||;

J s + m(T) v>o

(22)

f (s + m(t)) 1|X (t,T,s)|| |K0(t,t)||(s + m(T)) al2[f l(s)d«s) + m(t)]d«r) < f(s + m(t)) 1 e t

f d«(T)

J s+m(T)

m(t)

1_____ t t ;( ) -[^L+\^T^dV(T)]

:e s+m(t)NoX(t)(s + + m(t)]d«t)|£(s,e)| = No||£(s,e)||J—T— l2ее s+m<f> x

t t -Г m(t) I f A(T) dp(t)]

x[^S^T) < no|l^(s,s)||leje — [SfO- +

+

S TTTTt) '«ТЖ-!#^^ + St^) d«T>] = Nol |^(s,s)|| l2e

s + m(t) \s + ш(т)

S Л1'ТТ d«T)

S s+m(T)

S (-1)evvdv< N0||£(s,s)||l2e f e~vvdv< N0||^(s,s)||l2eSve~vdv:

m(t) s+m(t)

m(t) r X(t)

s+m(t) f s+m(T)

[-^7 d«(T)

i s+m(T)

m(t) s+m(t)

X

i

т

X

= N0l2e| |^(S,S)||- (23)

Учитывая (22), (23) из (21) имеем оценку (20). Лемма 5 доказана.

Теорема. Пусть выполняются условия а), б), в), v(t) является решением системы (1) удовлетворяющее условию: v(t) е С'Ло,Т], 0 </< 1. Тогда решение v(t,s) системы (2) при s ^ 0сходится по норме C„[t0,T ] к v(t). При этом справедлива оценка

||u(t, s) - u(t)||с < KMM3sy (24)

ад

гдеM = sup||u(0-u(s)||/|^(f)-^(s)| r, M1 = sup(pr eM), M2 =f e~*zrdz,

t,se[to,T] M>0 0

M3 = (M1 + N0M2)e , K = exp[(1 + N0e)(l1 + l2)[«T)-«(t0)]

Доказательство. В системе (2) сделаем замену

v(t,s) = u(t) + g(t,s) (25)

где U (t)-решение системы (1). Подставляя (25) в (2), имеем

t t

[s + m(t )][u(t) + i;(t, s)] + S K (t, s, u(s) + %(s,s))d«s) = [m(t)u(t) + f K (t, s, u(s))d«s)] + su(t0),

t0 t0

Отсюда получим

t

[s + m(t )]£(/, s) + S [K (t, s, u(s) + £,(s, s)) - K (t, s, u(s))]d«(s) = s[u(^) - u(t)], (26)

^0

Подставляя (4) в (26), имеем

t

[s + m(t)]£(t, s) + S[Ko(t, s)(u(s) + g(s, s)) + Kx(t,s,u(s) + g(s, s)) - K{)(t, s)u(s) -

t0

- K (t, s, u(s)]d«(s) = ^[u(t0) - u(t)].

Далее

14

международный научный журнал «инновационная наука»

№10/2015

ISSN 2410-6070

1 f 1 t

£(t, s) =-----— f K(s, s)£(s, s)d^(s)------— f [K(t, s) -K (s, s)]£(s, s)d^(s)

S + m(ty p4-m( t)j

s + m(t) ■

-----1—~ f K (t, s, u(s) + £(s, s)) - K (t, s, u(s))]dq>(s) + g[u(to) u(t)].

s + m(t) • s + m(t)

to

Используя резольвенту R(t, s, s) = -(s + m(t)) 1X(t, s, s)K(s, s) матричного ядра [-K(s, s)/(s + m(t))] систему (27) сведем к эквивалентной системе.

1 ^ 1 *

^ s) =--------f [K0(t, s) - K0(s s)]£(5, s)d9(s)--7T f [K1(t, s u(s) + ^, s)) - K1(t, Уu(sWP(s) +

s + m(t) t PA-m(t\J

(27)

s + m(t) t

+ g[u(t°) u(t)] + f ^ т, s)|-----1 f[ K0 ^ s) - K0(s, s)£ (s, s)d^(s).

s + m(t) J 1 P-l-m(r)J

s + m(r)

—1—-f[K1 (r s u(s) + £(s s)) -K1 (rs u(s))]d^(s) + g[u(tc) u(r)] id^C<).

s + m(r) t s + m(r) I

Используя обобщенную формулу Дирихле [5], получим

£(t,s) = J-

f 1 * 1 1 1

t,s) =1-------— f[K0 (t,s) - K0 (s, s)]£(s, s)dq>(s) - f fR(t, r, s)-— [K0 (r,s) - K0 (s

у s+m(t) i i s s+m(r)

f 1 t t t 1

;£(s,s)d^(s)}+|---------— f[K1(t,s,u(s) + £(s,s))-K1(t,s,u(s))]d^(s)-f fR(t,r,s)------—

| s + m(t) ;0 ff s + m(r

s)]d^(r) x

x [K1 (r,s,u(s) + £(s,s)) -K1 (r,s,u(s))]dp(r)dp(s)}+1g[u(t0) u(t)] + s fR(t, r,s)[u(t0) u(r)] dqj(r') |.

s + m(t) r s + m(r) I

£(t, s) = f|----~T [K0 (t, s) - K)(s, s)] - fR (t, r, s)---X—— [K0 (r, s) - K)(s, s)]d^(r) l<£(s, s)dф) +

Jt у s + m(t) ; s + m(r) I

+ f |-----Цгг [K1 (t, s, u(s) + £(s, s)) - K1 (t, s, u(s))] - f R(t, r, s)-^—[K1 (r, s, u(s) + £(s, s)) -

• s + m(t) J s + m(r)

t0 у s

- K

(r, s, +g^u(tojZu^£jl+R(t,x, s) £[“(,"> - u(r)1 d^(r).

<T _1_ 7JJ ( / \ J P-LWI/tI

s + m(t) • s + m(r)

г0

Введем обозначения

t

P0 (t, s, s) = [-(s + m(t))-1 [K0 (t, s) - K0 (s, s)] - f R(t, r, s)(s + m(r))-1 [K0 (r, s) - K0 (s, s)]d^(r),

(28)

(29)

H(t, s, £(s, s), s) = -(s + m(t))-1 [K1 (t, s, u(s) + £(s, s)) - K (t, s, u(s))] - f R(t, r, s)(s + m(r))-1 x x [K (r, s, u(s) + £(s,s)) - K (r, s, u(s))]dp(r), (30)

t

f0(t, s) = s(s + m(t))-1 [u(t0) - u(t)] + s f R(t, r, s)(s + m(r))-1 [u(t0) - w(r)]d^(r). (31)

t<0

Учитывая (29), (30) и (31), систему (28) запишем в виде

t t

£(t,s) = fP0(t,s,s)£(s,s)dv(s) + fH(t,s,£(s,s),s)dv(s) +f0(t,s), t ^[t0,T]. (32)

^0 ^0

Преобразуем P0 (t, s, s), то есть покажем, что P0 (t, s, s) , определенный по формуле (29), можно преобразовать к виду (14). В силу (7), имеем

R(t, s,s)(s + m(s))-1 =—Хф. (33)

s + m(t) d<p(s)

0

0

15

международный научный журнал «инновационная наука»

№10/2015

ISSN 2410-6070

Тогда

t

Po (t, 5, s) = -(s + m(t))-1 [K0 (t, s) - Ko (s, s)] - JR(t, t, s)(s + m(r))-1[K0 (t, s) - Ko(t, s) + Ko (t, s) -

- K

(s, s)]dp(r) = -(s + m(t))-1 [Ko(t, s) - Ko(s, s)] + JR(t,r,s)[s + m(r)]-1 [K0(t, s) - Ko (t, s)]dp(r)

(34)

JR(t,t,s)(s + m(r))-1 d^(r)[Ko(t,s) - Ko(s,s)];

Учитывая (33), имеем

- JR(t, t, s)[s + m(r)]-1 dp(T)[Ko(t, s) - K(s, s)] = (s + m(t))-1 J dvT)[Ko(t, s) - Ko(s, s)] =

(35)

= (s + m(t)) l[K(t,s)-Ko(s,s)]-(s + m(t)) 1X(t,s,s)[Ko(t,s)-Ko(s,s)];

В силу (35), из (34) получим (14).

Далее, покажем что f0(t, s) , определенный по формуле (31) можно преобразовать к виду (9):

t

f0(t, s) = s(s + m(t)yl[u(t0) - u(t)] + s J R(t,r, s)(s + m(r)) 4[u(t0) - u(t) + u(t) - u(r)]dy(r) =

to

t t

= s(s + m(t))-1 [u(t0) - u(t)] + s J R(t, t, s)(s + m(r))-1 [u(t) - u(r)]d^(r) +s J R(t, t, s)(s + m(r))-

(36)

(37)

x dp>(r)[u(t0) - u(t)].

Учитывая (33), имеем

s[ R(t,r,s)(s + m(r))-1 dp(r)[u(t0) - u(t)] = -s(s + m(t))-1 [dX (t’T’s) dp(r)[u(t0) - u(t)] =

t l d?(r)

- s(s + m(t))-1[u(t0) - u(t)] + s(s + m(t))-1 X (t, t0, s)[u(t0) - u(t)];

В силу (37), из (36) получим (9).

Покажем, что H(t,s,4(s,s),s), определенный по формуле (30), можно преобразовать к виду (19).

t

H(t, s, 4(s, s), s) = -(s + m(t))-1 [K1 (t, s,u(s) + 4(s, s)) - K (t, s,u(s))] - J R(t, t, s)(s + m(r))-1 x

x [K1 (r, s, u(s) + 4(s,s)) - K (t, s, u(s) + 4(s,s)) + K (t, s, u(s)) - Kj(t, s, u(s)) +

+ (K (t, s, u(s) + 4(s, s)) - K (t, s, u(s))]dp(r) = -(s + m(t))-1 [K (t, s, u(s) + 4(s, s)) - K (t, s, u(s))] +

t

+ J R(t, t, s)(s + m(r))-1 [K1 (t, s, u(s) + 4(s, s)) - K (r, s, u(s) + 4(s, s)) - K (t, s, u(s)) + K (t, s, M(s))]d^(r)

x

t

- J R(t, t, s)(s + m(r))-1 d^(r)[^1(t, s, u(s) + 4(s, s)) - K (t, s, u (s))]. (38)

Учитывая (33) имеем

-1J dXyTs-dq)(T)[Kl (t, s, u (s) + s dq)(r)

+ 4(s,s) - K(t, s, u(s))] = (s + m(t))-1 [K1 (t, s, u(s) + +4(s, s)) - K (t, s, u(s))] - (s + m(t))-1X (t, s,s) x

x [K (t, s, u(s) + 4(s, s) - K (t, s, u(s))]; (39)

В силу (39), из (38) получим (19), а в силу леммы 3,4 и 5 из (32) получим

t

||4(t,s)|| < J [(1 + N0e)(h + l2)]||4(s,s)||d^(s) + Me(M1 + NM2)sr, t e[t0,T]

%

В силу обобщенного неравенства Гронуолла-Беллмана, из последнего неравенства получим оценку

- JR(t, t, s)(s + m(r))-1 d^(r)[K (t, s, u(s) + 4(s, s)) - K (t, s, u(s))] = (s + m(t))

16

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №10/2015 ISSN 2410-6070

T

(1+ВД j{l1+ll]dp( s)

\\£(t,e)\\c <Me(M1 + N0M2)sre t0 = KMM2sr.

Теорема доказана.

t

Следствие. Если выполняются условия а), б), в) и m(t) + JK0(s,s)dp(s) > 0 при t е (t0,T),

t0

K,(t, t, u) = 0 и iy(t) - строго возрастающая функция при t е [t0, T], то решение системы (1) единственно в пространстве CH[t0,T ].

Доказательство. Пусть система (1) имеет два решения u,(t) и u2(t) на [t0,T], то есть

t t

m(t)u1 (t) + | K (t, s, u1 (s))d p(s) = m(t)u2 (t) + JK(t,s,u2(s))dp(s), t e[t0,T]

Отсюда

t t

m(t)[u,(t) -U2(t)] + JK0(t,s)[u1(s) - U2(s)]dp(s) + J[K1(t,s,U1(s)) - K1(t,s,U2(s))]dp(s) = 0,

^O ^O

t

m(t)[ux(t:) -U2(t:)] + jK0(s, s)^) - U2(t0)]dp(s) + m(t)[u,(t) - U2(t) - (ul(t:) -U2(t:))] +

*0

t t

+ jK(s, s)[u,(s) - U2(s) - (ux(t0) -U2(t,))]dp(s) + j[K0(t,s) - K0(s,s)][u,(s) - U2(s)]dp(s) +

t0 t0

t

+ j [ K (t, s, u, (s)) - K, (s, s, Uj (s)) - Ki (t, s, U2 (s)) + K, (s, s, U2 (s))]dp(s) = 0.

t0

Умножим систему (1) скалярно справа и слева на разность u,(t0) -u2(t0) и складывая имеем:

2[m(t)[u, (<о) - u2 (<о )], u, (t, ) - ^(t,)) + / JK)(s, s)[u, (t, ) - u2 (t) )]dp(s), u, (t,) - u2 (t) )) +

V

/ u, (t,) - u2 (tj), J K, (s, s)[u, (tj) - u2 (tj )]dp(s) +2 m(t)[u, (t) - u2 (t) - (u, (t,) - u2 (t,)), u, (t,) - u2 (t,)]) +

\ t:

+ ( J K: (s, s)[u,(s) - u2(s) - (u, (t,) - u2 (t, ))]dp(s), u, (t,) - u2 (t, )) + / u, (t, ) - u2 (t,), J K) (s, s)[u,(s) - u2(s) -

\t: \ to

- (u, (to) - u2 (t:))]dp(s^ + [K: (t, s) - K, (s, s)][u, (s) - u2 (s)]dp(s), u, (t,) - u2 + ( u^t,) - u2 (t,),

, J [Ko (t, s) - Ko (s, s)][u2 (s) - u2 (s)]dp(s)\ + /J [K,(t, s, u, (s)) - K,(s, s, u, (s)) -K, (t, s, щ (s)) +

+ K2(s, s, u2 (s))]dp(s), u, (to) - u2 (to )) + ( u, (t,) - ^(t,), J [K (t, s, u, (s) - K2(s, s, u, (s)) - K, (t, s, u2 (s)) +

\ «О

+ K,(s, s, u2(s))]dp(s)} = 0.

В силу условия а), б), в), из (40) имеем

(40)

2[m(t) + J A(s)dps)]|u,(t0) -u2(t0)f < 2m(t)\\u,(t) -u2(t) -(u,(t0) -u2(t0))||||u,(t0) -u

+

,7

международный научный журнал «инновационная наука»

№10/2015

ISSN 2410-6070

(41)

+ 2N0 f X(s)dq(s) sup ||mj (s) - u2 (s) - (u1 (t0) - u2 (t0 ))|| ||uj (t0) - u2 (t0 )|| + 2 f l1 [ f X(j)dqAj) + m(t)] x

t se[t0,T] t s

'0 *0 л

t t

x | |uj (s) - u2 (s)|| d^(s)| |uj (t0) - u2 (t0 )|| + 2 f l2 [f А(т)й^{т) + m(t)]| |ua (s) - u2 (s)| |d^(s) x

t0 s

X| |U1 (t0) - U2(t0)|'

t

Деля обе части на 2[m(t) + f K0(s,s)d^(s)]||м1(/0) -u2(t0)|, из (41) получим

t0

U1 (t0) - U2(t0)|| < IU1 (t) - U2(t) - (U1 (t0) - U2 (t0))|| + N0 sup |U (s) - U2(s) - (U1 (t0) - U2 (t0))|| +

se[t0,t ]

t t

+ f lj|u1(s) -u2(s)||d^(s) + f l2||u1(s) -u2(s)|d^(s), t e [t0, T].

t0 t0

Переходя к пределу при t ^ t0 получим ||u1 (t0) -u2(t0)|| = 0при t e [t0,T]. Тогда u1(t0) = u2(t0) и из (24) имеем

||U1(t) - U2(t^c < U (t) - u(t, s)|| + ||u(t, s) - u2 (t)|| ^ 0, при s ^ 0, то есть v(t,s) является решением системы (2), поэтому u1(t) = u2(t) , при t e\t 0,T ].

Список использованной литературы

1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. -Москва: Наука, 1978.

2. Иванов В.К., Васин В.В. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. - Москва: Наука, 1978.

3. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. - М: «Наука», 1980.

4. Беделова Н. Регуляризация и единственность решений систем линейных интегральных уравнений Вольтерра-Стильтьеса третьего рода //Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. - Бишкек: Илим, 2013. - Вып. 45. -С. 85-94.

5. Магницкий Н.А. Линейные интегральные уравнения Вольтерра первого и третьего рода //Журнал ВМ и МФ, 1979, №4 , -С.970-980.

6. Иманалиев М.И. Обобщенные решения интегральных уравнений первого рода. - Фрунзе: Илим, 1978. - 144 с.

7. Лаврентьев М.М. Регуляризация операторных уравнений типа Вольтерра. // В кн.: Проблемы математической физики и вычислительной математики. - Москва: Наука, 1977, -С. 199 - 205.

8. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода //ДАН СССР, 1959, -Т.127, №1,-С.31-33

9. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода // ДАН СССР. - 1960. - Т.133, № 2.

10. Иманалиев М.И., Асанов А. О решениях систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода //ДАН СССР, 1989,-Т.309, №5,-С.1052-1055.

11. Асанов А. Система интегральных уравнений Вольтерра-Стильтьеса //Журнал Естественных наук

КТУМ, -Бишкек, №4, 2003, -С.65-79

12. Асанов А. Интегральные уравнения Вольтерра-Стильтьеса второго и первого рода //Журнал Естественных наук КТУМ, -Бишкек, №2, 2002, -С.79-95.

13. Асанов А., Беделова Н. Один класс линейных интегральных уравнений Вольтерра-Стильтьеса третьего рода // Вестник КазНПУ им. Абая, - Алматы, 2014, №4, Вып. 48. -С.8-13.

© А. Асанов, Н.С. Беделова, 2015

18