Выбор параметра регуляризации линейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.968

А.Д. Камбарова

старший преподаватель, кафедра математического анализа, Ошский государственный университет,

г. Ош, Киргизия

ВЫБОР ПАРАМЕТРА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА ПЕРВОГО РОДА

Аннотация. Целью данной работы является выбор параметра регуляризации решений линейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода на оси, здесь регуляризирующий оператор построен по М.М. Лаврентьеву.

Ключевые слова: линейные интегральные уравнения Вольтерра первого рода, регуляризация третьего рода, единственность, система, параметр, пример.

A.D. Kambarova, Osh State University, Osh, Kyrgyzstan

SELECTING THE PARAMETER REGULARIZATION OF THE LINEAR VOLTERRA INTEGRAL EQUATIONS ON THE FIRST KIND

Abstract. The aim of this work is the choice of the regularization parameter of solutions of linear Volterra integral equations of the first kind on the axis, here regularizing operator is constructed by MM Lavrentiev.

Keywords: linear integral equation of Volterra the first kind, regularization the third kind, uniqueness, system, parameter, example.

Актуальность проблемы обусловлена потребностями в разработке новых подходов для регуляризации и единственности решений линейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода.

Одновременно рассматриваются следующие линейные интегральные уравнения

t

J K(t,s)u(s)ds = f (t), t e (-¥, +¥), (1)

ev(f,e) + J* K(t,s)v(s,e)ds = f(t) + eu0, (2)

где K (t,s) и f(t) известные непрерывные функции на

G = {(t,s): -¥ p s < t p +¥},(-¥, +¥), соответственно u(t),n(t,e) - искомые функции,

0 < e - малый параметр, u(t) - решение уравнения (1), u0 = lim u(t).

t

Различные вопросы для интегральных уравнений Вольтерра первого и третьего рода исследованы в работах [1-7]. В частности в работе [3] доказаны теоремы единственности и построен регуляризирующий оператор для систем интегральных уравнений Вольтерра первого рода на отрезке. В данной работе выбран параметр регуляризации решения для линейного интегрального уравнения(1).

Введем следующие обозначения:

1) Здесь С(-¥, +¥) пространство всех непрерывных и ограниченных функций u(t), определенных на (-¥, +¥) с нормой

||u(t)|| С = sup |u(t)| С.

( —¥ , ¥ )

2) Обозначим через С0(-¥, +¥) пространство всех функций u(t) e С(-¥, +¥), таких что

lim u(t) = u0 e R.

t ®-¥

||u(t)||C = sup |u(t)|.

te (-¥,¥)

3) через С0Г(-¥, +¥), 0 р у< 1, пространство всех функций и^) е С0(-¥, +¥), таких что для

любых t1,t2

j^ K (s,s)ds

|и(^1) - и«2)\ < Мо

где положительная постоянная М0 не зависит от t1,t2, но зависит только от е 1.11ос (-¥, +¥) и К(t,t) > 0 при всех t е (-¥, +¥).

4) Через ^(-¥, +¥) обозначим пространство всех функций и^) таких, что

|и(0| с№ р ¥.

5) Через Ц1ос (-¥, +¥) обозначим пространство всех функций и^) таких что для любого

Т е (-¥, +¥)

|7 |u(t)| Л Р ¥ .

Предположим выполнение следующих условий: а) К(^)30 при всех t е (-¥, +¥)

t

| |К(^)| дв е С(-¥, +¥),К(t,t) е 1.уос(-¥, +¥)

б) для любых t1,t2 +¥)

Ik(ti,s) - к(t2,s)| < i(s)

jK (s,s)ds

где 0 < /(t) при всех t е (-¥, +¥),/(t) е ^(-¥, +¥).

В работе [7] доказана следующая теорема.

Теорема 1. Пусть выполняются условия а), Ь) и и^) е С00(-¥, +¥), где u(t) - решение уравнения (1). Тогда решение уравнения (2) при е® 0 стремится к решению u(t) уравнения (1). При этом справедлива оценка

\\^,е) - и($)||С < М2е0,

где

М2 = М1М0 ехр{]"" /(в^в},"^,t2 е (-¥, +¥), |и(д- и&)| <

3)

(4)

< Mn

j2 K(s,s)ds ,M1 = sup(e-V) + £e-vvrdv.

Далее предположим, что

\\f(t)- Щ\ = sup If(t) - fs(t)\ <d,U - uj< C^Vd,

(5)

ie(-¥,¥)

где

^ и с1 - положительные постоянные, ^Ц)е С0(-¥, +¥),и0^е Я. Рассмотрим уравнение

, (t, e) + J-¥ K(t, s(s, e)ds = f, (t) + e^, t e R.

Вычитая из (2) , (6) получим

eXd(t,e) + j-¥K(t,s)Xd(s,e)ds = [f(t) - /d(t)] + eK -

(6) (7)

где

g

t

где

Далее из (7) имеем

Х,(',е) = п(',е) -уг((,е).

1 '

£е(',е) = -1Г К(s,s)Xd(s,e)ds -

1 г 1

- -1-¥ [К(г, 5) - К(5,5)] X (5, е)сС5 + - [/(') - /,(')] + [" - "о, ].

1Г' е

Отсюда применяя резольвенту

1 -1 Г' К(т,т)сСт

Я(',5,е) = — К(в,5)е е5 ядро

е

— К (ъ^)

е

имеем

1 ' 1

& (', е) = - е ¡ ¥ [К(', 5) - К(5,5)] X (5, е)с(5 + е [/(') - (')] + [" - "о, ] ■

+л (-еК т,^

Г'К(т,т)сСт Г 1

-1 Г [К(т,5) -

- К(5,5)] X (5, ес + - [/(т) - (т)] + ["о - "о, ]| Ст. Воспользуюсь формулой Дирихле, последнее уравнение запишем в виде

£Де) = {-¥Н(',з,е)ХЛ5,е)Сз + д(',е), 'е (-», +~),

(8)

(9)

(10)

(11)

Н(', в, е) = — [К (',в) - К (в, в)] +

е

1 г'

+-Т |5К (т,т)е

1 С '

-I К(т,т)Ст ет

[К(Т,5) - К(5,5)]сСт, (т,5) е в,

(12)

д(',е) = ["о - "о,] + -[/(')- /,(')]-е

1 г' -

+-1 К(т,т)е

1 г '

-I К(т,т)Ст

(Т) - /,(т))

е

+ ["о - "о,] К

Далее, используя равенства

из (12) и (13) получим

1 г' -

-Г К(т,т)е

1

-Г К(т,т)е

1

11 К(т,т)Ст

ет ,-/„- _

сСт = 1 - е

1

11 К(т,т)Ст

1 г' 1 г'

--1 К(т,т)Ст —1 К(т,т)Ст

ет сСт = 1 - е ,

1 Г Т -1 Г К(т,т)сСт

Н(',5,е) = --[К('5)-К(5,5)]е ^

е

1 Г',^ / N ~ |к (т,т)Ст

-— I К(т,т)е еГт

е2 ^

[К(',5) - К(т5)]сСт,

1 г'

--I К(5,5 С

д(',е) = ["о - "о,]е

1 г т -1 Г' К(5,5С 1 г' -

+■ [/(') -/,(')]е еГ-¥ +—| К(т,т)е е е •'-¥

х/(') - /,(') - / (Т) + /,(т)] Ст. Учитывая условию Ь) ,из (14) имеем

1 г '

-I К(т,т)Ст

^ х

(13)

(14)

(15)

|Н(',в,е)| < /(в) 1 г'

1 г'

-Г К{т,т)бт

ев

1с '

-11 К(т,т)с1т

е е в +

+1Г К(т,т)е~

с ¿в

Г'К (т,т)с<;

ев = / (в)

/ (в)

1 г'

-Г К{т,т)бт

1 г'

-Г К{т,т)бт

ев

1 с1

— | К(т,т)сСт

е е в +

+/(в )Г' - Г 'к (т,т)Ст

•'в е

Отсюда, интегрируя по частям, получим

|Н(',в,е)| < /(в)

1 г'

--1 К(т,т)сСт

е еJ'

1с'

— I К(т,т)йт

1 - е е в

Из последнего неравенства имеем

|Н(',в,е)| < /(в),(',в) е в = {(',в): {-¥ р в < ' <+¥},'е (-¥, +¥)}.

Теперь учитывая условию (5) из (15) Оценим д(',е):

I I 11 11 I

д(',е) <1 /(')- ) + и - им\ + е

1 г' —I к(т,т)ат , ,

+е2 К(г,г)е еГг /(') - /8(') - /(г) + /6(г)\ сСт<

8 Г= 28 -- Г'К (т,т)сСг < —+ сЛ 8 +—е е г

1с'

1 \ К( г,г е г

Г г

Учитывая (16) и (17) из (11) имеем

г =' 38 г=

< — + с Л 8.

= -¥ Г

Хз(',е) < £\(в)£з(в,е)<Св + — + 0^73, ' е (-¥, +¥),

+ — + ( е

Применяя неравенства Гронуолла Белмана из (18) получим

38

Хз(',е) < М3I—+ 0^78), ' е (-¥, +¥),

где М3 = ехр

{Е/ (5)4

далее учитывая (8) и оценки (3) и (19) имеем:

|и(1)-\8(1,е)| = |[и(1)-\(1,е)] + [\(1,е)-^(и)] <

< |и® -\(1,е)| + \(1,е) -\8(и)| <

< М2е0 + М3 (— + 0^ л/8), ' е (-¥, +¥).

Выбирая параметр е = 48 из (20) получим

и®-\8(1,78)С < М282 + М3(378+

(16)

(17)

(18)

(19)

(20

(21)

/С — '"2^ 1 "'3 \ ^ 1 "1

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 2. Пусть выполняются условия теоремы 1. Тогда решение и8(',е) уравнения (6) при е = 48 сходится по норме С(-¥, +») к решению и(\) уравнения (1). При этом справедлива оценка (21).

е

е

Список литературы:

1. Асанов А. Об одном классе интегральных уравнений Вольтерра первого рода // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. - Фрунзе: Илим, 1984. - Вып. 14. -С.227-234.

2. Асанов А. Регуляризация и единственность решений уравнений Вольтерра первого рода: дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Новосибирск, 1982. - 91 с.

3. Асанов А. Об одном классе систем интегральных уравнений Вольтерра уравнениям первого рода // Функциональный анализ и его приложения. - 1983. - Т. 17, Вып. 4. - С 73-74.

4. Асанов А. Один класс операторных уравнений Вольтера // Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. - Фрунзе: Илим, 1983. - Вып.16. - С. 269-276.

5. Асанов А. Об одном классе систем линейных интегральных уравнений Вольтера первого рода на полуоси // Исследования по интегро-дифференциальным уравнением. - Илим, 1985. - Вып. 18. - С. 17-2о.

6. Апарцин А.С. О полилинейных уравнениях Вольтерра первого рода // Автоматика и телемеханика. - 2оо4.- № 2 - С.118-125.

7. Асанов А., Камбарова А.Д. Регуляризация и единственность решений линейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода на оси // Известия КГТУ. - 2о15. - № 39. -С.184-189.