CC BY
8
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Regularization of a system of nonlinear Volterra integral equations
of the first kind Karakeev T.1, Mustafaeva N.2 Регуляризация системы нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода Каракеев Т. Т.1, Мустафаева Н. Т.2
'Каракеев Таалайбек Тултемирович /Karakeev Taalaibek — доктор физико-математических наук,
профессор;
2Мустафаева Нагима Таировна /Mustafaeva Nagima — аспирант, кафедра информационных технологий и программирования, Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика
Аннотация: в работе изучаются вопросы регуляризации системы нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода. Получен регуляризирующий оператор, доказана равномерная сходимость регуляризованного решения к точному решению рассматриваемой системы в шаре.
Abstract: in work questions of regularization of the system of nonlinear integrated equations of Voltaire of the first kind. The regularizing operator is received; uniform convergence of the regularized solution to the exact solution of the considered systems in a sphere is proved.
Ключевые слова: уравнение Вольтерра, малый параметр, равномерная сходимость. Keywords: Volterra equations, small parameter, uniform convergence.
Рассмотрим систему нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода
N(x,t,u(t)) dt = д(х), (1)
Gy(x) =
где N ( x,t,u ( t) ) = К (x, t) + N0 ( x,t,u ( t) ) .
Пусть для известных функций К(x,t), N0 (x,t,u( t)), g(x) выполняются условия:
а) g (x)=co Ion(gi (x), .. .,gn (x) ) , gt (x) e С [0,Ь] , gt (0) = 0,i=J/n ;
б) К (x, t) — n x n — мерная матричная функция, Ki j (x,t) e С (D ), D = {(x,t)/ 0 < t < x < b}, KtJ(x,x) > 0, i,j = 1/n-
в) G ( x) — n x n - мерная матричная функция, (KtJ(x,x), j i,
[Кц(х,х) + C^iix), i = j, i,j = 1 ,n, I \G(x)| | < C22.(x), | | ■ | | - норма матрицы, 2.(x) >01^^, 0 < d1,C1,C2 = const, X (x) = m inXi (x) , Ài (x) ( i = l, n) - собственные значения матрицы
1 <1<п
[ G (x) + G*(x) ] 12, G* (x) - сопряженная матрица к матрице G (x) ;
г) N 0 (x,t,u (t) )— n x n - мерная вектор - функция, N0(x,t,u) e CÇDj), D1 = D x R1, N0(x,x,u) = 0,
|N0(x,s,u) - N0(x,s,ùj) - N0(t,s,u) + N0(t,s,ù))\ < lN{x - t)|u - co|, 0 < Ln = const.
С помощью оператора I + C1T, где I - единичный оператор, T - оператор Вольтерра вида
(Ти)(х) = J v(t)u(t)dt,
о
и V{х) = diад(щ(х), ...,ип(х)), действуем на систему уравнений (1). Тогда получим систему уравнений [2]
j G(t)u(t)dt = j М(х, t,u(t))dt
+
X X
+C1f J(B0u)(s)N(s,t,u(t)) dsdt + g(x), (2)
о t
где M( x,t,u( t)) = К( t,t) — K( x,t) — N0 ( x,t,u ( t) ), (B0u)(s) = diaglu^x),...,un(x)). Рассмотрим систему уравнений
x л:
£us(X) + fmusmt = fM(x,t,us(m +
о о
J J(B0ue)(s)N(s,t,ue(t)) dsdt + eu(0) + fii(x), (3)
0 £
где £ - малый параметр из интервала (0,1).
С помощью резольвенты ядра (—G (s) / £) систему уравнений (3) преобразуем к виду ие(х) = f ехр ^ J G(s) ds^j G(t) | J M(t,s,ue(s))ds -
X t t
- f M(x,s,ue(s))ds + Cx f f(B0ue)(v) N(v,s,ue(s))dvds -
0 Os
X X
-Ci f J(B0ue)(v)N(v,s,ue(s)) dvds + g(t) - g{x)
dt +
(1 Х \ ( *
G(s)ds I I м(х,г,ие(г))йг +
XX ч
+С1 / 1(В0и£)Ш(^иМ) ** + еи(0) + ,(*) , ^(х). (4)
О £
Допустим, что йе(х), йе(х) е 0.п[0,Ь] = { и(х) е Сп[0,Ь] : | | и(х) — и0| | < г0, 0 < и0, г0 = сопб£} . Оценим разность операторов (Аие) (х) — (Айе) (х). Учитывается, что матричная функция
(и \
ехр I — — I б) ds I
удовлетворяет неравенству Важевского [4, стр. 149]
I и \
< -фг ехр i — — i A(s)ds i, получим следующие оценки
1J G(s)dsJ
^J exp^-^f G(s) ds J G (t) | f [JV0 (x, s, Ue (s)) - N0 (x, s, йе (s))] ds dt --f[N0(t,s,ue(s)) + N0(t,s,Ue(s))]ds dt| < f exp ^ f A(s) dsj x
ЗГ X
: LNV^A(t)(x -t)f ||u£(s) - ae(s) || dsdt < ^— f ||u£(t) - fie(t) || dt-,
t 1 0 X / X \ X
-jfexpl --f G(s)ds jG(t) f[N0(x,s,Ue(s)) - N0(x,s,ue(s))] ds dt
О \ £ / £
X { X \ X
J expl --f l(s) ds jMt)f (x-s)||uE(s) - ue(s)H dsdt <
J t
<С2Ь„ сгг1^|||йе(0-йе(01|Л;
о
х /
Сг
£2
|| G(s)dsJG(t)x
о
£ зг
^[(ВоиЫ-СВоЬХуШъьМ)***
с1с2мыь
<-5-л/и X
XIX \ X
х I ехр! - JMt)f\\йE(v) - йЕ(у)\\йу аг <
О \ £ / £
< С&МнЬй^^пШ.^х) - йЕ(х)||Сп[0,й], Мм = тах\\Ы0(х,Ь,иЕЮ)\\;
01
ехр (--¿I 5)^
о
л: л:
^ С^МцуГп
<
о
< С
||Яе(0-йе(0||Л;
■^ЛМ^л/п I
ехр у 7 /
о
£ зг
Л
X ] | | (В0ЙЕ)М[Л?0(у,5,иЕ(5))-Л?0(у,5,ЙЕ(5))]сгУСг5 -
£
л: л:
- | J (В0йЕ)[М0(у,5,йЕ(5)) ~ Ы0(у,5,йЕ(5))]йуйБ
£ 5
< с^з^гегг1^ i ||яе(0 -йе(0||л + ь||йе(х) — йе(х)||сп[о,ь] ;
х
Т1^ |
6(5)^ [М0(х,£,йе(£)) - М0(х,£,йе(Г))]Л
<
< Ьк(1
||йе(0-йе(0|| Л;
-^■ехр | — — J 6(5) £¿5
[(В0Йе)(5) - (В0МЕ)(5)] Ы0(5Л,йЕ(Ь))йБЛ +
11(В0йЕХз)[Ы0(зХйМ)-Ы0(Б,Ь,йЕ(Ь))]й5сИ
О £
X
; с1Ь(мл, ч-^г)^1^ |||пЕ(0 -й£(0||л.
о
Таким образом, получим следующее неравенство:
||(Лй£)(х)-(Лй£)(х)||Сп[0,й] <
< <7о11йе0) - йе(х)\\Сп[оМ + ((?! + ц2) |||йе(£)-йе(£)||Л, (5)
о
где ц0 = С± С2 МкЬ
^ = ( ( С2 Ьк + Ьк + 2 С1 Мг) 1 + С1 С2г (ЬкЬ й{~ 1 + 1) ) фп;
42 = (С2ЬМ( 2 + Сгг) + С^С, + Ь)Ь + ¿„(1 + г)))^1^. Переходя к норме в обеих частях неравенства (6) получим | \(Айе)(х) — (Айе)(х)\\Сп^ < ц\ | иЕ(х) — щ(х)\\Сп[т, (6)
где ц = ц0 + (ц1+ ц2)Ь. Если ц < 1, то существует[3] единственное решение системы (4) в шаре
Для заданного оператора (Н еи) (х)
„.„„.„И, „„„,),..,-.„,
+
+ ^ J exp I - j J G (s) ds IG (t) [u(x) - u(t)] dt.
<
о \ t имеет место следующая лемма [1].
Лемма 1. При выполнении условий а) - г) и и (х) Е С [0 , Ь] имеет место оценка
||(Яеи)(х)||с[0,ц < (2 С2 + 1)ехр(-ф^)ЫиШ\с1о,ь] + (С2 + Dúí^e^Vñ, (7) где <u(= sup I и(х) — и(s) I, 0 < р < 1.
Теорема 1. Пусть выполняются условия а) - г), q < 1 и система уравнений (1) имеет решение и(х) Е Сп[0 , Ь]. Тогда при £ — 0 решение системы уравнений (3) равномерно сходится к решению системы уравнений (1), при этом справедлива оценка
\\иЕ(х) - и(х)\\с[оМ <
Vñí(2 С2 + 1 )ехр 1|и(ж)11с[о,ь] + (С2 + l)cou(V) j/(l - q). (8)
<
Доказательство. К обеим частям уравнения (2) прибавим величину £и (х) , тогда имеем уравнение
£и(х) + J G(t)u(t)dt = J M(x,t,u(t))dt
+
+Ci
X X
J J(B0u)(s)N(s,t,u(t)) dsdt + £u(x) + g(x), (9)
Введем подстановку )Е(х) = ие(х) — и(х). Из (3) отнимаем (9) и полученное уравнение приводим к виду
Ле(х) = ~Jexp^-jJ G(s) dsj G(t) |j[M(t,s,u£(s)) -
X
-M(t,s,u(s)) - M(x,s,u£(s)) + M(x,s,u(s))]ds - j[M(x,s,uE(s)) -
t
t X XX
-M(x,s,u(s))]ds - C1J J(B0T}e)(v)N(v,s,u(s)) dvds - C1J f(B0T]e)(v)
0 t t s
t x
x N(v,s,u(s))dvds - Cx J J(B0u)(v)[N(v,s,ue(s)) - N(v,s,u(s))] dvds -
о t
xx
-q J J(B0u)(v)[N(v,s,ue(s)) - N(v,s,u(s))] dvds + e[u(t) - u(x)]
dt +
^-exp^-jj G(s)dsJ J[M(x,t,uE(t)) - M(x,t,u(t))] dt +
X X
J J(B0u)(s)[N(s, t,uE(t)) - N(s, t,u(t))]dsdt +
X X
Cx J J(B0jje)(s)N(s, t,u(t)) dsdt + e[u(x) - u(0)]
l
о t
о t
На основе оценки (6) из (10), получим
Н??£0)11с„[о,й] < <?lli?EWllc„[o,b] + \\(HEu)(x)\\Cn[0jb]. Отсюда, в силу (7) и условия q < 1 , | | )Е ( х) | | с [ 0, щ — 0 ,при е — 0 . Учитывая, что )Е ( х) = иЕ (х) — и(х) получим (9). Теорема 1 доказана.
Следствие 1. При выполнении условий теоремы 1 решение системы уравнений (1) единственно в
Теорема 2. Пусть выполняются условия а) - г), q < 1 и система уравнений (1) имеет решение и (х) Е [ 0 ,Ь], 0<у<1. Тогда при е-0 решение системы (3) равномерно сходится к решению системы (1), причем
|К(х) - и(ж)||Сп[о,ь] < М0С3£/?/( 1 - q). Следствие 2. При выполнении условий теоремы 2 решение системы уравнений (1) единственно в const}, 0 < у < 1.
Доказательство теоремы 2 проводится аналогично доказательству теоремы 1, при этом необходимо используется оценка для оператора ( Н Еи) (х) вида [1]: ||(Я£и)(х)||с[0,ь] < М0С3£Р, 0 < £ < 1,
СО
где С3 = ( | 1 — С2 | С0 + С2С4 ) Vn, С4 = у I е~тту~ 1 dz, С0 = sup Те~т,
J тЕ[0,и)
Литература
1. Иманалиев М. И., Асанов А. Регуляризация, единственность и существование решения для интегральных уравнений Вольтерра первого рода // Исслед. по интегро-дифференц. Уравнениям. Фрунзе: Илим, 1988. Вып. 21. С. 3-38.
2. Каракеев Т. Т., Мустафаева Н. Регуляризация интегральных уравнений Вольтерра первого рода // Вестник КНУ им. Ж. Баласагына, 2014. Выпуск 5. С. 19-22.
3. Треногин В. А. Функциональный анализ. Москва: Наука, 1980. 496 с.
4. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. Москва: Наука, 1967. 472 с.
