Метод квадратурных формул для нелинейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Метод квадратурных формул для нелинейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода Каракеев Т. Т.1, Рустамова Д.2

1Каракеев Таалайбек Тултемирович /Karakeev Taalaibek Tultemirovich - доктор физикоматематических наук, профессор, кафедра информационных технологий и программирования;

2Рустамова Динара /Rustamova Dinara - старший преподаватель, кафедра информатики и вычислительной техники,

Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в работе рассматривается метод конечных сумм для нелинейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода. Аппроксимация проводится на основе регуляризованного уравнения с помощью квадратурной формулы правых прямоугольников. Доказана сходимость численного решения к точному решению, получена оценка погрешности метода.

Abstract: in work the method of the final sums for the nonlinear integrated equations of Voltaire of the third kind is considered. Approximation is carried out on the basis of the regularizing equation by means of a quadrature formula of the right rectangles. Convergence of the numerical solution to the exact solution is proved, the method error assessment is received.

Ключевые слова: уравнение Вольтерра, аппроксимация, квадратурная формула, малый параметр.

Keywords: Volterra equations, approximation, quadrature formula, small parameter. Рассмотрим нелинейное интегральное уравнение Вольтерра третьего рода

X X

р{х)ф{x) + j К (x,£p(£)d£ = j N (x,d p(d))d£ = g (х)

0 0 (1)

где известные функции p(x) K(x.£) g(x). N(x.£.p) удовлетворяют условиям:

а) p(x) g(x)e C[0,b\ K(x.£)e C(D) D = {(x, £)/ 0 < £ < x,0 < x < b};

б) p(x) - неубывающая функция, p(x) > 0 Vx e (0, b], p(0) = g(0) = 0,

К(x,x)> 0, C0p(x~) + К(x,x)> d > 0,0 < x < b;

в) N(x, £, p) e C1’1’2 (D x Rl), N(x, x, <p) = 0, Nx (x, £,0) = 0.

Пусть J - оператор Вольтерра (Jv) (x) = (t) dt, I - единичный оператор.

Уравнение (4), действуя оператором I + C0J, преобразуем к эквивалентному уравнению [2]

x x x x

P(x Mx)+ j G(£)pd)dd = j[K (d,f)~ K (x,d)]pdd - C0 jj K (T,f)pd)dTd£ -

0 0 0 £

x x x

+ jN(x,(p))d4 + C0jjN(r,£,piVl)dTd£+M(x) . (2)

0 0 £

x

где G(£) = C0p(£)+ K(4,4\ rfx) = g(x)+C„j gV)d£.

0

7

Рассмотрим уравнение с малым параметром £ из интервала (0,1)

XX X

(s + р{х)Ых) + \ G{frpe{№ = \ [K (C,C) —K (х,С)ЫСЯСЯ N (x,£,Ps(£))d£ —

0

X X

- C0 Я K (J,Cps (с pd + C0 Я N (Т, с, pE (X))dTd£ + sp(°)+/и(х). (3)

0 с 0 с

Перепишем уравнение (3), используя резольвенту ядра (— G(C)l(s + p(x)), в следующем виде

Ps(x) JexP(— Я °GyJy)dv gG(^)){j[K(V,V) — K(c,v)]Ps(ypV —

s +

P(x) 0

cS + py ) j <

X XX CC

— J [K (y,y)—K (x,v) ]Ps(v )dv + C0 JJ K (r,vps{y )drdv — C JJ K (rypsV ]dvdv +

0 v

0 v

C

cc

+ J N(c, V, Ps (y))d V — J n(xX V, Ps (y)d V + C0 JJ N (J, V, Ps {yffirdV —

0 V

XX 1 1 ( X g(v)

C0JJN(r,v,Ps(v))dvdv + ju(c) — ju(x) \d£ +---^exp — J-----^-j-rdv

0 v J s+ P(x) l 0 s+ Py)

(X XX X

{ J [K y, y) — K Я V)]Ps У Я V — C0 JJ K J7, Vps y )dTdy + J N Я V Ps (v)d

0

X

x<i |[K(yy) — K(X,V

0

X X

0 v

j

V +

+ C

C0 J J N (ry,ps(y)dvdv + /u(x) + sp(0)

(4)

0 V

Уравнение (4) имеет единственное непрерывное решение [2], которое равномерно

сходится к точному решению уравнения (2).

Пусть n - натуральное число, wh = {д^ = i h,i = 0 ,.n,b = nh} и Ch —

пространство сеточных функций р i = (р (xi) с нормой

\\<Pi\\ch = max\<Pi\. п 0<1<п

Полагая X = X-, i = \ ..n аппроксимируем интегралы в (4) квадратурной

формулой правых прямоугольников [4, с. 164]. Тогда получим систему линейных алгебраических уравнений

Ps,i =-

1

s+ Рг j=1

-HZexpl — h Z

G„

\

Gt

i—1

=j+1s+ Pm j

i —1 i

s + р

j L

j—11 \ j—1 j

hZKm — Kj,mfPs,m — C0hZh ZKs,mPs,m

m=1 m=1 s=m+1

i—1 i—1 i j—1 i—1

-h ZlKm,m — Ki,m ps,m — C0h Z h Z KsP + h Z[N(X, Xm Psm ) —h ZN Я, Xm ,Ps,m) +

m=1 m=1 s=m+1 m=1 m=1

+ C0hZh ZN(xs,Xm ,Ps,m) — C0hZh ZN(xs, XmPs,m) + ^j — ^

m=1 s=j+1 m=1 s=m+1

+-----exp

s+ Рг

f ± О — hZ——

Zs + Pj

x

V j=10 1 i'jj

i—1, ч i—1 i i—1 i / \

hZ(KJ, j — K,, j ps, j —C0 hZ h Z KS, jPs, j + C0hZ h Z N (xs, Xj Ps, j) +& +P 0 +

j=1 j=1 s=j+1 j=1 s=j+1

0

0

XX

0

X

0

0

m

X

8

+ hXN (x, xj ,Pe, j) ji _

i = 1.n.

(5)

Выберем величину 9 h в виде 9 h = g /(p + hGr), для которой из условия а)- в) следуют оценки

K,h| < N / dv \9o,h - P(0)| < N2h > N = ma^lg'(x)|, 0 < N2 = comt.

Имеет место следующая лемма [3].

Лемма. Пусть выполняются условия а)-в) и (p[x) е СХ[0, Ь\ Тогда справедлива оценка

HS[9i ]

Ch

< N, 0 < N = const,

где действие оператора Н i на сеточную функцию wa wh, ..., wn определяется по формуле

1 i ( i G } G HtW ] =-------hX exp- h X m

s + Pi j=1 ^ m=js + Pm

j [ Wj - w ] + —-— exp

1 ( ^ G л

1 * ^ m

- h I—Mw - wo 1

^ m=1s + pm J

s + pj s + pt

Теорема. Пусть выполняются условия а)-в) и s = O(ha) для всех 0 < а < 1/2.

Тогда решение системы (5) при h —— 0 равномерно сходится к p - точному

решению уравнения (4), причем имеет место оценка

l|ps i - Pi II < N4ha , 0 < N = const.

II , IlCh

Доказательство. Из уравнения (2) получим

X X X X

(s + p(x))p(x) + j G(gP(g)dg = j [K(g,g)- K(x, g)]p(Z)dg- C0 j jKT,g)p§)dd

+

0 g

j N(x, g, p(g))dg + C0 j j N(t, g, p(g)]drdg +m(x) + sp(x).

x x x

+ j N (x,g,p(g)dg +1

0 0 g

Приведя это уравнение к виду (4), полагая x=xi, i=1..n применим формулу правых прямоугольников для интегралов. Тогда

9=-

1

f

-hXexp - h X

G„

G:

S + pi J=1 ^ m=j+1 s + pm

i-1 , 4 i-1 i-1

+

s + p

J L

j-1 , \ j-1 J-1

hX(Km,m - Kj,m fPm - C0hXh XKs,mPm

m=1 m=1 s=m+1

i-1 / \ i-1 i-1 j-1 / ч i-1

- h X(Km,m - Ki,m pm + C0h Xh X Ks,mPi + h X N(xj, xm ,Pm) -h X N(xi, xm ,Pm) +

m=1 m=1 s=m+1 m=1 m=j+1

j'-1 ]

i-1 i

+ C0h X h X N(xs, xm Pm) - C0h X h X N(xs, xm Pm) + Mj - Mi +s(Pj - Pi)

m=1 s=m+1

m=1 s=m+1

+

s + Pi

exp

1 ( i G ^ i-1 / ч i-1 i i-1 / ч

’ Ц — hX(Kj,j -Ki,jPj -C0hXh XKs,jPj +hXN(x>,xjPj)+

l j=1s + pj JL j=1 j=1 s=j+1 j=1

+ C0hX h X N(xs, xj Pj)+Mi + sP,

'0'-X" X" X-sT-jiT j )

j=1 s=j+1

+ Xi, i = 1.n

(6)

0

0

+

9

где W - сумма всех остаточных членов интегралов, для которой справедлива оценка [3]

I I h

W < Мх — + M2h, 0 < Mj,М2 = const. (7)

£

Введем вектор погрешности TJE . = 9£ . — 9, i=1..n. Тогда из (5) и (6) получим

П£, = —

1 , Л G ^ G,

£+ Pi Н

hXexpl — h X

£+ P,

j-1 / \ j—1 j

hX(Km,m — Kj,m )l£,m — C0h Xh XKs,m^£

m=1

m=1 s=m+1

=j+1£ + Pm )£

i—1, ч i—1 i ,—1 / \

-h X(Km,m — Ki, m hm + Coh X h X Ks,m^£,m + h X[N(xj , Xm ,9£,m )—N(xj , Xm ,9m )] '

m=1 m=1 s=m+1 m=1

- h X[ N (xi ,xm ,9£, m ) — N ( xi ,Xm ,9m )] +C0h X h X [N (xs ,Xm ,9e, m ) — N (xs ,Xm ,9m )] '

m=1 m=1 m=j+1

C0h X h X[N(xs, xm ,9ej ) — N(xs, xm 9m )] + £(9j "9, )

+ ■

1

( i G ^

£ + Pi

-exp

— hX-

v ,=1£ + p,)

m=j+1 s=m+1

hX(KJ,J — Ki,j k,j — C0hX h X Ks,j^£,j + hX[N (xi, xj , 9e, j )— N(xi, xj ,9j )l

jj — Kij rtsj — C0hX h X KsjVej + hXN (xi, xj , 9e, j )— N (x, , x, ,9 j )] +

j=1 j=1 s=j+1 j=1

+ CohXh X[N(xs,xj,9ej)—N(xs,xj,9j^ — e(9i — 9h,0)

j=1 s=j+1

В силу условия а) и б) получим

+ W, i = 1..n

(8)

j—1 i—1

h XLj,m9£,m h XLi,m9£,m

m=1 m=1

< h XILj,m — Li,m ||9e,m | + h X |Li,m |\9ej\ < (Т1 + C0T0 ) >

m =1 m = j

j—1,

i—1

i—1.

X {hi — hj)h X|9e, j + (Т + C0T0)h X(hi — hm\9e,m\ < 2(Т1 + ОД Xhi — hj)h XKj[

где T

m=1 m=j

T0 = max| K (x,#)|, T = max| Kx (x,£)|;

m=1

_D

hi hh < h xX < d—1h xx Gj

£ + Pi

i m■■

--j+1£ + p„

=j+1£ + p„

1 h X—1—exp

£ + р,- j=1£ + P,

— h X

G„

=j+1 £ + P

G,

m )

m

j—1 i—1

h XLj,m9e,m h XLi,m9e,m

m =1 m =1

<

G„

\

<Xexp — h X

j=1 V “=^'+1£ + P“ )

(hi — hj) h

£ + Pi £ + Pj

2(T + C0T, )h X|9ej|

J = 1

T2 < 2T3T2 (T1 + C0T0 )

i-1.

i ( i ^ ЛГ

X d—lh X9>e, J |, T3 = ^«P X exp — h X

G„

m=1

i G

h X G“

Л

j =1 V “=j+1 £ + pm )v m=j+1 £ + pm )

T2 = max| G( x) •

[0,6]

X

X

m

X

10

Проведя аналогичные оценки из (8) получим

\лЕ,\ < T4h Z И (x) + НН [Vi]| + \%i I’ 0 < Т4

m =1

= const.

Применим здесь разностный аналог леммы Гронуолла-Беллмана [1, с. 20].

\vhC’\ < (Н Нс[фг ]| + \х,\ )exp(^4^)

Тогда, в силу леммы и оценки (7), учитывая связь s= O(ha), 0 <а< 1/2, переходя к сеточной норме, приходим к оценке теоремы. Теорема доказана.

Расчеты показывает, что при p(x) = x3, K(x, t) = 1 +12, N(x, t,qf) = 0, g(x) = 6x5/5-x3 -x метод (5) допускает ошибку 8 = 0.107, если h = 0.01, а при шаге h = 0.005, 8 = 0.088.

Литература

1. Апарцин А. С. Неклассические уравнения Вольтерра I рода: теория и численные методы. - Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН. - 1999. - 193 с.

2. Каракеев Т. Т., Рустамова Д. Регуляризация нелинейного интегрального уравнения Вольтерра третьего рода // Вестник КНУ. - Бишкек, 2011. - Вып. 1. - С. 76-79.

3. Каракеев Т. Т., Рустамова Д. Регуляризация и метод квадратур для линейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. - Бишкек: Илим, 2009. - Вып. 40. - С127-132.

4. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. - Москва: Наука, 1989. - 432 с.

Регуляризация системы нелинейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода Каракеев Т. Т.1, Бугубаева Ж.2

1 Каракеев Таалайбек Тултемирович / Karakeev Taalaibek Tultemirovich - доктор физикоматематических наук, профессор, кафедра информационных технологий и программирования;

2Бугубаева Жумгалбубу /Bugubaeva Zhumgalbubu - старший преподаватель, кафедра информатики и вычислительной техники,

Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в работе изучаются вопросы регуляризации системы нелинейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода с невозрастающей коэффициентной функцией при искомой функции. Получен регуляризирующий оператор, доказана равномерная сходимость регуляризованного решения к точному решению рассматриваемой системы в шаре.

Abstract: in work the questions of regularization of system of the nonlinear integrated equations of Voltaire of the third kind with non increasing coefficient function at required function are studied. The regularizing operator is received, uniform convergence of the regularized solution to the exact solution of the considered system in a sphere is proved.

Ключевые слова: уравнение Вольтерра, малый параметр, равномерная сходимость. Keywords: Volterra equations, small parameter, uniform convergence.

11