CC BY
16
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Метод конечных сумм для нелинейных интегральных уравнений
Вольтерра третьего рода Каракеев Т. Т.1, Бугубаева Ж.2
1Каракеев Таалайбек Тултемирович / Karakeev Taalaibek Tultemirovich - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра информационных технологий и программирования; 2Бугубаева Жумгалбубу /Bugubaeva Zhumgalbubu - старший преподаватель, кафедра информатики и вычислительной техники, Кыргызский национальный университет им. Ж. Баласагына, г. Бишкек, Кыргызская Республика
Аннотация: в работе обоснован метод конечных сумм для нелинейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода. На основе интегрального уравнения с малым параметром проводится дискредитация посредством квадратурной формулы правых прямоугольников. Доказана сходимость приближенного решения к точному решению исходного уравнения.
Ключевые слова: интегральные уравнения Вольтерра, квадратурная формула, малый параметр.
Пусть N0 (х, t,u (t)) = К (х, t) и (t) + N (х, t,u (t) ) и известные функции р (х), д (х) , К(х, t), N(x, t, и (t) ) , подчиняются условиям:
а) р(х) 6 С2 [ 0,Ъ] ,р(Ъ) = 0 , р(х) > ОУх 6 [ 0,Ь), С0р(х) + С±д(х) > 0, д(х) 6 С 1 [0 ,Ъ]; р(х) - невозрастающая функция, 0 < С0, С1 = const,
б) К(х, t) 6 С(D), К(х , х) >0, D = { (х, t)10 < t < х < Ъ} ;
в) G(х) > d1y G(х) = С0р(х) + С]_д(х) + К(х,х), 0 < d1 = const;
г) N (х , t , и) 6 С1А 1 (D X R N (х,х,и) = 0, Nx&,t,0) = 0. Рассмотрим нелинейное интегральное уравнение Вольтерра третьего рода
X
р(х)и(х) + J N0(x,t,u(t)) dt = д(х),( 1)
о
Пусть I - единичный оператор, ] и T - операторы Вольтерра вида (Jv)(х) = f*v(t)dt,(Tv)(х) = f*u(t)v(t)dt. Действуя оператором I + С0] + С^Г из уравнения (1) получим
XX X
p(x)u(x) + J G(t)u(t)dt = J M(x,t,u(t))dt + Cx J p(t)u2(t)dt +
0 0 0
XX XX
+CXJ u(t)dt J K(s,t)u(s)ds + C± J J N(s,t,u(t))u(s) ds dt + f(x), (2)
о t о t
X
где
0
X / X \
-Co J N(s, t,u(t)) ds + ( K(t, t) - K(x, t)-C0J K(s, t)ds J u(t).
t \ t Рассмотрим уравнение с малым параметром
(e+ p(x))u£(x) + J G(t) u£(t)dt = J M(x,t,u£(t))dt + J p(t)u2(t)dt
+
А А
■ ^ u£(t)dtJ
+ иЕ(Ь)(И К^.^Щ&йБ +
А А
Щ^йБ йЬ
Сг + /(х). (3)
Уравнение (3) с помощью резольвенты ядра — С (О / (е + р (х) ) приведем к виду [4]
иЛх) = ~7Т^)1ехр Н
С(5)
■ с1б
с( О
е + р(5) / е + р(С) £ /
£ £
J м(t, 5, и£(з))(1 Б
■ I М(Х, 5, „«(*))* - I р(5) и2 (5)* - / ие(*)* / 5) ие(у)А, +
О Ч Ох
XX Ь Ь
+ J ие(з)й5 J К(у,б) и£(у)с1у — J J М(у,Б, и£(з)>)и£(у)йу (
•йБ +
о
X X
+
J J Л/(у,5,и£(5))и£(У)сЬ/
(¿5
С1+/(0-/(х) ^ +
х ехр
+ Ст
£ + р(х)
х
I р(0 и2£(ь)йь +
+ J u£(t)dtJ КСб.О u£(s)ds + J I
+ /(х) .(4)
На [0, введем равномерную сетку о ¡1 = {х1 = Ш,1 = 0 ,.п,Ь = пЩ, п -
натуральное число, пространство сеточных функций г = г (х^) обозначим через с нормой
И^Ись = тсгх|г^|.
11 0<1<п
С помощью квадратурной формулы правых прямоугольников [5, с. 164] аппроксимируем интегралы в уравнении (4). Тогда получим систему нелинейных алгебраических уравнений
1-1/1 \ ( 7-1
=
1-1 / I
^Л^едр -Л ^
£ + Р; ¿-I \ £ + рк / £ + р ■
7 = 1 \ Л=7' + 1 / у ^ /с = 1
¿-1 I 7-1
_ 1г^М1,к(ие,к) ~ С1к ^ Рки1к ~ X
к=] к=]+1 к=1 I 1 — 1 I
Х ^ ^ Кт,ки£,т ~ к ^ Ктки£1п +/)—/£ —
т=] +1 к=] т=к +1
7-1 I 1-1 I ч
/с = 1 т=] +1
к=] т=к+1
(I ' \ [ '
-К У ——— I к У М1 ;(и£,) + Сгк У ,• +
¿-1 I 1-1 I Л
к ^ к ^ Л^- (м£;7-) и£Л (5)
7 = 1 к=] +1 7 = 1 к=] + 1 ^
где
М (х1,Х],и£(х]У) = —N ^Xi.Xj.u^Xj^j — C0h ^ N (xk,xj,u£(xj^ +
k=j +1
+ K(xj,xj) - K(xi,xj) + C0h ^ K{xk,xj) \u£(xj),u£ji = и£{х{),
\ k=J+i J
i
fi = /Oi)./Oi) = a(pCi) + C0h ^ g(xj), Xj = jh,j = 1.. i, i = 1.. n.
7 = 1
Имеет место [1, 2].
Лемма. Пусть выполняются условия а)- в) и функция и(х) 6 С1 [0,Ъ], тогда справедлива оценка
\\НПщ]\\сп <
где Н* [иЛ =--—к\ехр\ - h V )-^—\и1-и1] +
11 e + pi 4-, Н ¿ue + Pkh + Pj11 li
7 = 1 \ fc=7 + l /
+ —z—exV\ -h\Gk^Pk ) ui,N1 = To^r^1 + rpo1, |u(x)| < r, £ + Po \ ^ £ + Pk I
|w'(x)l < 0 < r,rx = const. Прибавив к обеим частям уравнения (2) величину еи (х), перейдем к уравнению вида (4), где вместо функции /(х) будет присутствовать сумма f (х) + еи (х) . Полагая в полученном интегральном уравнении, применим квадратурную формулу правых прямоугольников и отнимем полученный результат от (5). При этом обозначая через Rl - остаточные члены интегралов, вектор погрешности через
, получим
i-1
Mj,k(uk) - Mik(u£k) + Mik(uk)] - hY[Mi,k(ue,k) - Mi,k(Uk)]
k=j
i 7-1 i
-C±h ^ Pk(u£,k+uk)Ve,k~ cih^ukh ^ КтЛ1
k=j +1 k = 1 m=j +1
i-1 i 7-1 i
-CYft^Ufc ft ^ Km k ri£ m — C, h ^ fc ft ^ Km k
k=j m=k +1 fc=l m=j+1
i — 1 i 7-1 i
k=j m=k+1 fc=l m=j +1
i—1 i 7-1 i
-Crh ^ ft ^ JVm,fc(u£,fc) - CYft ^ ft ^ [JVm,fc(u£,fc) -
k=j m=k +1 fc = l m=j+1
i—1 i \
-Nm,fc(ufc)]um - Cift ^ ft ^ [iVm,fc(u£,fc) - Wm,fc(ufc)]um + £(u7- - Uj)
k=j m=k +1
+ -
ехр
-л X т^ X- М +
к=1
7 = 1
¿-1
¿-1
+С!Й ^ р;- (и..;- + ц)^ + С, к ^ ^ Кк ]ик + С, к ^
/с=1 7 = 1 Л=7' + 1 7 = 1
I ¿—11
X к
к=]+1
7 = 1 Л=7' + 1
1)
+^/1^/1 ^ Л^- (м,-)^ + емг 1 - Дг, I = 1.. п. (6)
7 = 1 Л=7' + 1 )
Оценим выражения из (6). Тогда получим следующие оценки:
1-1/1 \ ( 7-1
С'С ' ^ - К,, +
7=1 \ к=]+
£+рк £ + р; к=7 + 1 / -1 ^ /с = 1
1,к Л/',/с
ш=7 + 1
<
(м0 + с0м^т0д2Ък.
с?, е 1
/с=7
т=к+1
<
1;|| ,М0 = гпах|^ж(х, 01-М1 = шах|^(х, 0|,
' '' Си г> г>
'С/!
Г0 = шах |С(х)|, <¿2 = яир I ^ ехр I —к ^
2)
же[0,Ь] ¿-1
С0к
е + р
-^ехр -А £
' 7 = 1 \ Л=7 +
^7 = 1
С*
к=]+1 7-1
' 1 к=]+1
£ + рк /е + р, ,
/с=7 + 1 / 7 I к = 1 ш=7 + 1
¿-1 I
[^ШЛ {иЕ,к)-^т,к (^/с)] I
<
/с= 7 т=к+1
<
(¿1 £
'СЛ
, — шах и(0)|;
з)
¿-1 / I
^Л^едр -Л ^
ОХЙ
С,
7 = 1 \ /с=7 + 1 /
7-1
х Л^[Лг,к(иЕ,к) - Лг,к(ик) - Цл(иел) + %(ик)]
/с=1
<
Т0Ъм(12Ьк м н
йл £
= шах I Л/ж (х, Ь, и (0)1 ;
ОХЙ
4)
С, к
£ + р(
:^ехр -А £
' 7 = 1 \ Л=7 +
£ + рк / £ + р •
к=]+1 ] 1 к=7+1
^ Рк(и£,к +ик)т]Ьк
'=-41 <:„'
<
2С^Т0Рг(12к .. ..
-^е— I I " - I I = 1 р (х)
С, к
1-1
7-1
£ + р,
:^ехр -А £
' 7 = 1 \ Л=7 +
£ + рк / £ + Р/ ,
/с=7 + 1 / 7 I к = 1 ш=7 + 1
- ^ ие,к Ь ^ ^т.к'Че.т +
k=j
m=k +1
<
C1T0M1brd2h cLe '
'£'iuch'
6)
7)
£ + p0
exp
Z7tv )hZ~Kjj+c°h Z Кк"]
k=1 / 1=1 fc=i+l
<
^(Afo + CoAfJb^o1!!^!!^;
£ + p0
<
< С0КыЬ2р^\\т1*л\\Сн;
8)
exp i -ft ^ ^^ Pfe )h ^ u£,jh ^ Kkjn'h
\ k=l Pk J 1=1 fc=/+l
i-l
£ + p0 < CVMbVpo
<
2^-l||„Jl II .
9)
exp ( -ft ^ ^^ )Й Z ^ Z " Nk,i (uj)]uj
i-l
£ + p0
£ + pfc
7 = 1 k=j+l
<
k=1
< Ci^b^po1!!^!!^.
Для оценки г)£ h учитывая 1)-9), из (6) имеем:
Kil < Чо\Ш\С1г + ^IkMI^ + +
где
(?! = (2(M0 + С0МХ) + Lw + + C^Ms + MN+ KNr))T0d2d^ x x ft1"« + T0KNd2d^1h1~a + (2(M0 + С0МХ) + С±М±г + KN(1+C0b + +C1br))p0"1.
Так как для остаточных членов Rl имеет место оценка [1, 3]
\\Ri\\ch ^ N2h/e + N3h, 0 < N2, N3 = const. то, при в силу леммы получим
1Ch
< iN1e + N2h/e + N3K)/0.-q),
Таким образом, доказана теорема.
Теорема. При выполнении условий а) - в), q < 1 и е = О (hа) для всех 0 < а < , решение уравнения (3) при равномерно сходится к - точному решению
уравнения (1), при этом имеет место оценка
\\и£l -Щ\\< (N±hа + N2h1 ~а + N3h)/ (1 - q),0 < Nt = const,i = 1,2,3 .
Литература
1. Глушак А. В., Каракеев Т. Т. Численное решение линейной обратной задачи для уравнения Эйлера-Дарбу // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2006. - Т. 46. - № 5. - С. 848-857.
2. Каракеев Т. Т. Численное решение линейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода // Вестник СГТУ. - Самара, 2004. - естествен.-техн. науки. - Вып. 30. С. 73-76.
3. Каракеев Т. Т., Бугубаева Ж. Метод конечных сумм для линейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода // Наука, техника и образование, 2016, № 1 (19). - С. 6-10.
4. Каракеев Т. Т., Бугубаева Ж. Эквивалентное преобразование и регуляризация интегральных уравнений Вольтерра третьего рода // Вестник КНУ. - Бишкек, 2012. - Вып. 5. - С. 29-33.
5. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. - Москва: Наука, 1989. - 432 с.
Обзор методов статистического анализа временных рядов и проблемы, возникающие при анализе нестационарных временных рядов Газизов Д. И.
Газизов Данияр Ильдарович / Оа2120У Башуаг ШагоугсИ - студент, кафедра прикладной информатики, факультет прикладной математики и информационных технологий, Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, г. Москва
Аннотация: в статье рассматриваются основные методы анализа и прогнозирования временных рядов, а также проблемы и недостатки этих методов, которые возникают при их применении к нестационарным временным рядам. Ключевые слова: стационарность, нестационарные временные ряды, методы статистического анализа временных рядов.
Основные методы анализа и прогнозирования временных рядов.
В этом разделе рассмотрены основные методы анализа временных рядов, часто применяемые на практике. Эти методы в силу своей общеупотребительности служат базисом для сравнения с ними вновь разрабатываемых статистических моделей.
Основными статистическими методами исследования временных рядов являются: метод выделения тренда (временного сглаживания), регрессионный, автокорреляционный, адаптивный (скользящих средних), метод гармонического анализа, сингулярного спектрального анализа, бутстрепа (численного размножения выборок) и нейросетевой. Ниже кратко описывается идеология этих методов, даются основные определения из математической статистики и приводятся базовые уравнения соответствующих моделей.
Напомним [1, 2], что случайным процессом на некотором вероятностном пространстве называется семейство случайных величин хф, принимающих значения из множества, называемого областью определения процесса. Если параметр t принимает дискретные значения, то процесс называется временным рядом.
Временной ряд называется стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание не зависит от времени t, а корреляционная функция, являющаяся математическим ожиданием произведения отклонений значений ряда от среднего в различные моменты времени t1 и ^ зависит только от разности t1-t2. Более общее определение предполагает независимость от времени центральных моментов ряда вплоть до некоторого конечного порядка.
Временной ряд хф называется стационарным в узком смысле [3], если при любых t и т случайная величина хф распределена одинаково с величиной х^ + т).
В настоящей работе используется определение стационарности в широком смысле, если речь идет о моментах ряда, и в узком смысле, если о его распределении.
Рассмотрение существующих подходов к анализу временных рядов начнем с метода временного сглаживания или выделения тренда. При исследовании временных рядов принято выделять несколько составляющих:
Лтренд (0 + Лцикл (0 + К (0, (1)
