Об одном классе регуляризации и единственности решений систем линейных интегральных уравнений Вольтерра-Стильтьеса третьего рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №10/2015 ISSN 2410-700Х_

Теорема 5. При уравнение (1) не имеет нетривиальных решений из класса бесконечно

дифференцируемых функций в области G , включая точку z = 0 . Список использованной литературы:

1.Усманов З.Д. Обобщенные системы Коши-Римана с сингулярной точкой. Математический институт с ВЦ АН Тадж ССР.- Душанбе, 1993, 244 с.

2. Ахмедов Р. К теории модельного уравнения специального вида. Известия Академии наук Республики Таджикистан №3 (156) 2014, стр. 42-45.

© Р.Ахмедов, М.М. Шокирова, 2015

УДК 517.968

Беделова Нургуль Салибаевна

Ст. преп. каф. ИТАС ОшГУ г. Ош, Кыргызстан e-mail: kireshe78@mail.ru

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА-СТИЛЬТЬЕСА ТРЕТЬЕГО РОДА

Аннотация

Актуальность проблемы обусловлена потребностями в разработке новых подходов для регуляризации и единственности решений систем линейных интегральных уравнений Вольтерра-Стильтьеса третьего рода. В данной статье рассмотрены решения систем линейных интегральных уравнений Вольтерра-Стильтьеса третьего рода. Для решения этой системы построен регуляризирующий оператор по М.М. Лаврентьеву и доказана теорема единственности. Решения задач интерпретации данных физических приборов, автоматического регулирования и обратных задач кинематики и сейсмики часто сводятся к интегральным уравнениям, где ядро представляет свойство среды, свободный член как результаты измерений на границах, а искомая функция показатели среды в внутренних точках. В частности интегральные уравнения Вольтерра и Вольтерра-Стильтьеса являются условно некорректными задачами, требующие качественное исследование.

Ключевые слова

Система, линейная, интегральное уравнение Вольтерра-Стильтьеса, третий род, регуляризация,

единственность.

Рассмотрим систему

t

m(t)u(t) + JK(t, s)u(s)dç(s) = f (t), t g [t0,T], T > t0, (1)

to

в котором m(t), (p(t) - заданные соответственно неубывающая и возрастающая непрерывные функции на [t0, T ], m(t0 ) = 0, K (t, 5) — n x n -мерная матричная функция, u(t), f(t ) — n -мерные

соответственно искомая и известная вектор-функция.

Наряду с системой (1) будем рассматривать следующую систему

t

(е + m(t ))u(t, s) + J K (t, s)u(s, s)dç(s) = f (t ) + su(t0), t g [t0, T ] (2)

to

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №10/2015 ISSN 2410-700Х

где 0 < s -малый параметр.

n

Для любых и = щ , и = ц е Rn через (и, и} = ^ и и обозначим скалярное произведение векторов

i=1

и и .

Обозначим через |[М|| и ||и|| нормы соответственно для п х п матрицы М = (а^) и для п-мерного

п п 2 1 п 1

и = (и) вектора, где ||М|| = )2, ||и|| = к2 )2 •

i=i j=i i=i

Будем обозначать через Cn\t0, T] пространство n-мерных вектор функций с элементами из C\t0, T]. Для u(t) е Cn\t0, T] норма определяется по формуле ||и(/)|| = sup|w(t)||.

lie

1 *

Пусть Я- (t) (i = 1,2,...,n) - собственные значения матрицы K(t,t) + K (t,t)], где i 2

K '(t, t)

сопряженная матрица к матрице K (t, t) и A(t) = min Я (t). (3)

Потребуем выполнение следующих условий:

1) Для K(t,s) = (KtJ(t,s))n при любом фиксированном i, j = 1,2,...,n K j (t,s) е C(G) и K j (t,t) е C[t0,T], где G = {(t,s) : to < s < t < T};

2) Ä(t) > 0 при t е [t0, T] и 2(t) = C[t0, T], где A(t) -определена с помощью формулы (3);

3) при т > ] для любых (т, s),(], s) е G справедлива оценка

т

||K(т, s) - K(], s)|| < l(s)J Ä(s)dp(s),

где Я(t) > 0 при t е [t0, T] и l(t) е C[t0, T].

т

Лемма 1. Пусть выполняются условия 1), 2) и X(t, s, s) матричная функция Коши для системы = -(s + m(t))-1 K(t, t)u(t), t е [t0, T] то есть

dp(t)

ÜX{'\s,S) = -(s + m(t)) -1K (t, t) X (t, s, s), X (t, t, s) = En (4)

где E - n x n -мерная единичная матрица, тогда справедлива оценка

||X(t,s,s)| < exp[-j Я(Т) dp(r)], (t,s) е G (5)

Js s + т(т)

Доказательство. Для любого n е Rn

d ||X(t, 5, s)u||2 =< —d— X(t, 5, s)u, X(t, 5, s)u > + < X(t, 5, s)u, —d— X(t, 5, s)u >=

dp(t) dp(t) dp(t) -1 „1

2L v 7 ' v 7 " w 7~' 7 v ' ' s + m(t)

- 2(s + m(t))-1 <1 [Kit, t) + K*(t, t)]X(t, £)u, X(t, s)u > < —||X(t, e)||2,

то есть —||Х(Г,^)и||2 =<- ^) IX(Г,^)||2, (Г,5) е С .

Здесь мы учитываем условия 1) и 2). Из последнего неравенства вытекает оценка (5). Лемма1. доказана.

u

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №10/2015 ISSN 2410-700Х_

Лемма 2. Пусть матричная функция X(t, s,e) = X(t,e)X_1(s, e) является матричной функцией

Коши следующей системы —— =—(e + m(t K (t, t )u(t), то есть

dp(t)

dXs,e) =— (e + m(t))—1K(t, t)X(t, s,e), (t, s) e G, X(t, t,e) = En. d@(t)

Тогда V(t, s) e G справедливо тождество

dXS,g) = X(t, s, e)(e + m(s)) —1K(s, s) . (6)

d@(s)

Доказательство. X(t, s,s) = X(t,s)X_1(s,e), X_1(s,e) - обратная функция к матрице X(s,e).

—ТТГ = —+ m(t))—1K (t, t) X (t, e) (7)

X (t,e) X—1 (t,e) = En

[ X (t, e) X -1(t,e)] = 0 ^ dX(t,e) X "(t ,e) + X (t,e) = 0 ^

dp(t) dp(t) dp(t)

dX"('e) =— X-'(t,e) dXte X-1(,,s) (8)

dq(t) dq(t)

Подставляя (7) в (8) имеем dX ~l(t,e)

dp(t) dX _1(s,e)

■ = — X— (t, e)[—(e + m(t))—1K(t, t)X(t, e)]X— (t, e) ^

dy(s)

= X — (s, e)(e + m(s)) —1K(s, s) ^

X (г,е) СХ ^^ = X (г ,е) X ^,£)(£ + т(я))-1 К (я, я) ^ сСф(з)

йХ3,е) = X(^ з, е)(е + ш(з))- К(з, з), dp(s)

то есть матричная функция Коши Xз, е) удовлетворяет систему (4), (6) и X(?, t, е) = Еп. Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Пусть выполняются условия а) и и(г) е С^п[га,Т], 0 <у < 1

г

/ (г, е) = (е + т(г))-1 еХ(г, г0, е)[и(г0) - и(01 + |Я(г, т, е)[е + т(т)\1 е[и(г) - и(т)]Сф), е> 0 (9)

к

где т(го ) = 0, т(г) -неубывающая непрерывная функция на [^, Т],

Я(г, = -(е + т(г))-Х(г, я,е)К (я, я) -резольвента матричного ядра [—(е + т(г))- К0 (я, я)], Мг) > 0

г

при почти всех г е[го, Т], у/(г) = ^Л(я)Сф(я) + т(г), г е[г0,Т] и ||К (г, г)|| < №0Л(г) при всех

¡0

ге[г„ТI Л(г) еСп[г„Т], Ы0 > 0.

Тогда на сегменте [^, Т] справедлива оценка

\\/0(г,е)\\ <Ме(М1 + К№2)е7. (10)

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №10/2015 ISSN 2410-700Х

где M = sup(e~vvy ), M2 = { e~vvydv.

v>0 0

Доказательство.

t

lifo (t, s)| < (s + m(t ))-1 s X (t, to, s)|| |u(t) - u(to )|| + j|| R(t, т, s)||(s + т(т))-1 s\\u(t) - и(т)|| dp(r)

<

J s+m(r)

s + m(t)

M

{ h(f)dty(f) + m(t) - m(t0)

xsM

{ X(f)dty(j) + m(t) - {Ä(T)dp(r) - m(r)

t

+ { (s + m(t))

to

У

d(D;

{-Ä d(T)

J s+m(r)

_1 { s+m(r)

Далее

J s+m(r)

s + m(t)

M

{ A(r)d (р(т) + m(t) - m(t0)

<-

s

1

[s + m(t)]1-У [s + m(t)]У

N0 Я(т)(а + m(r))-1 x

(11)

r m(t) f Я(т) s+m(t) J s+m(r)

-ee t0 x

M [ Г Ä(T)d((r) + m(t )]У = sy (-s-)1-У ee

J s + m(t)

r m(t) г Я(т)

[-V-+ I-V-d((T)

s л1-у s+m(t) fs+m(T)

i i M [{

Я(т) -d((T)]У<

s + m(r)

s + m(t)

< syeM sup(e vvy) = MeMYsy.

(12)

t

{ (s + m(t))

J s+m(r)

4 e 's+m(T) N0Л(т)(s + m(r))-1sM

t -l^^+t^^ d((T)] n ,

Г s+m(t) fs+m(т) Я(т)

< sy (■

s + m(t) < syMN0e{

)1-У NoMe{

1

t

s + m(r) (1 + m(t))

t -[ m(t) +f Я(т) d((T)] t ,, , ,, ,

„L s+m(t) 's+m(T) [ m(t) + f Я(т) d((T)]y Я(т)

s + m(t) Js + m(r)

{ X(f)d((f) + m(t) - { Ä(r)d((r) - m(r)

to

t

[m(t) + { A(r)d((r)]y d((r) d((r) =

d((r) <

<

s + m(r)

m(t) г Я(т) s+m(t) ^ s+m(r)

= MNöesy

{ evvydv< MN0esy{ evvydv< MN0eM2.

sy.

(13)

m(t) s+m(t)

Учитывая (12), (13) из (11) получаем оценку (10). Лемма 3 доказана. Лемма 4. Пусть выполняются условия 1)-3) и

H (t, s, s) = [s + m(t )]-1 X (t, s,s)[K (t, s) - K (s, s)] + { R(t, т, s)[s + т(т)]-1 [K (t, s) - K (г, s)]C) (14)

Тогда справедлива оценка

||Я(г,< (в-1 + )1 ^), (г,s) е О, 0

Доказательство. В силу условия 3) и оценку (5) из (14) имеем

o

Г

s

Т

o

Г

s

X

o

o

Г

т

o

s

W

o

s

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №10/2015 ISSN 2410-700Х

t t t ||Н (t, s)|| < (s + m(t))A\ X (t, s, s)| \l (s)[J X{T)dy{r)\ + J (s + m(r))-11| R(t, r, s)|| l(s)(J Ä(s)dp(s))dp(r) <

s s

t ¿W ^ , , \ Ä(s)

-J-^dm t t , t

(s + m(t))A e s s+m(r) l(s)J l{r)dy{r) + J (s + mir))-1-e ' s+m(s) \\K(t, r)\\l(s)(J l(s)dy(s))dy{r)

s s S +m() r

l(s)e JS+m(T) (¡•^Цdrt)) + l(s)NoJ^^e ^ (J^^d^d^r)<

Js + m(r) s + m(r) Js + m(s)

J-^ dp(s) J s+ m(s)

I(я)[8ир((е ()+ NI(я) [е (1(С(] < (е 1 + N)(я); Лемма 4 доказана.

Теорема 1. Пусть выполняются условия 1)-3) и т(г) е С[го,Т],т(го) = 0, т(г) -неубывающая

г

функция на [г0,Т],ф(г) = ^Л(я)Сф(я), г е [го,Т], Л(г) > 0при почти всех

t e[t0 ,T], ||K(t, t)|| < N0A(t) t e [t0, T] и система (1) имеет решение u(t) е Cn [t0, T]. Тогда решение o(t,e) системы (2) при £ ^ 0 сходится по норме Cn [t0 ,T] к u (t) . При этом справедлива оценка

№,*)- u(t)\\с < 2M2[(No + 1)е-£¡\\u(t)\\с + M(No +1)rn-u(ep)\ (16)

t

где ¡5 -произвольное число из интервала (0,1), М2 = exp[ J l (s)[e— + N0 ]dy(s)],

to

rn-(S) = sup \u(¥~\x))-u{¥-»)||; x, v e [0,¥{T)].

\x-v|<S

Доказательство. В системе (2) сделаем замену

и(г,£) = и(г) + £(г,е) (17)

где и (г) -решение системы (1). Подставляя (17) в (2) имеем

t t ■ + ш^ Ш^е) = -]

t0

Отсюда

t t , е) = -1 (е + ш(1))-1 К(з, ^(з, е^ф(з) -1 (е +1

^ t0

(е + ш(^'))1е[ы(^) )] (18)

Используя резольвенту

Я^, з, е) = -(е + ш^))1 X (t, з, е)К (з, з) матричного ядра [ -К (з, з) /(е + ш(t))] систему сводим к эквивалентной системе.

г г

,е) = - \(е + т

[s + m(t (t, s) = - J K (s, s)£ (s, s)dp(s) - J [K (t, s) - K (s, s)]£ (s, s)d^(s) - s[u(t) - u(t0)];

t t %(t, s) = - J (s + m(t))-K (s, s)£(s, s)d^(s) - J (s + m(t ))-1 [K (t, s) - K (s, s)]^(s, s)dp(s)-

Z(t, s) = -J (s + m(t))- [K(t, s) - K(s, s)]£(s, s)dp(s) - s(s + m(t))-[u(t) - u{t0)\ - JR(t, r, s) x

to to

t t

x J{(s + m{r)yl[K(t,s)- K(s,s)\g(s,s)dp(s)}dp(T) -sJR(t, r,s)(s + т(т))~1[и(т) -u(t0)\dp(r).

T t

(e + m(T))-[K(t,s) -K(s,s)]g(s,s)dp(s)}dp(z) -sjK(t,z,s)(s +

to to

Отсюда используя обобщенную формулу Дирихле (см.[5]), имеем

Г

0

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №10/2015 ISSN 2410-700Х_

t t

Ç(t, s) = J {-(5 + m(t ))-1 [ K (t, s) - K (s, s)] - j R(t, r, s)(s + m(r))-1 [ K (r, s) - K (s, s)]dç(r)}Ç(s, s)dç(s) -

t0 s t

(s + m(t))-1[w(t) - u(t0)] - sjR(t,r,s)(s + m(r))-1[w(r) - u(t0)]rfç(r),

t

H (t, s, s) = -(s + m(t))-1[K (t, s) - K (s, s)] - j R(t,r,s)(s + m(r))-1[K (r, s) - K (s, s)]dç(r) (19)

t

-£(£ + m(t )) 1[u(t ) - u(tn )| -sj R(t,T,£)(£

to

Вводя обозначения

t

! = -(£ + m(t)) К (t, 5) - A (s, s)| - j R(t,T,£)(£ + m

s

t

щ (t, s) = -£(£+ m(t ))-1 [u(t ) - u(t0 )] - sj R(t, t, s)(s + m(r))4 [u(t) - u(t0 )]dç(z). (20)

to

Последнюю систему запишем в виде

t

£(t,s) = j H (t, s,£)Ç(s,£)dç(s) + ^(r,£), t g [t0,r ] (21)

to

Преобразуем H (t, s,£), то есть покажем, что H (t, s,£) определенный по формуле (19), можно

преобразовать к виду (14). В самом деле учитывая (6) имеем:

t

,t,£)(£ + m(T)) |K (t, s) - K (s, s)\dv(T) = -j (£ + m(t)) ' X (t,T,£)K (t,t)(£ + m(

s s

= -j (£+ m(t ))-1 dX (t,t,£) dp(T)[K (t, s) — К (s, s)] = -(£+ m(t ))-1 X (t,t,£)| t= [K (t, s)- К (s, s)] =

s dp(z) 1

- (£ + m(t))-1 [X (t, t, £) - X (t, s, £)][K (t, s) - К (s, s)] = -(£ + m(t))-1 [K (t, s) - К (s, s)] + (£ + m(t))-1X (t, s, £)[K (t, s) - К (s, s)]

t t

j R(t, r, s)(s + m(r))-1 [K (t, 5) - K (s, s)]d^(r) = - j (s + m(t))-1 X (t, r, s)K (r, r)(s + m(r))-1 [K (t, s) - K (s, s)]d^(r)

-(£ + m(t))-1 [K (t, s) - К (s, s)] = -(£ + m(t))-1 X (t, s, £)[K (t, s) - К (s, s)] + j R(t, t, £)(£ + m(t))-1 [K (t, s) - К (s, s)]d^(t) (22)

s

Подставляя (22) в (19) получим (14). Аналогично, учитывая (6) имеем:

t

j R(t, t, £)[£ + т(т)]-' £[u(t ) - u(t0 )]dç(T) =

o

to

I /iXiiT<-'\

T=t

-sj (s + m(t ))-1 ) dç(r)[u(t) - u(to)] = -(s + m(t ))lsX (t,r,s)\;X [u(t ) - «(to)] = -(s + m(t ))-1

х £[ X (г, г,е) - X (г, г0, £)][и(г) - и(г0)] = -е(е + т(г))1 [и(г) - и(г0)] + £(£ + т(г)) 1X (г, г0, £)[и(г) - и(г0 )]. Отс юда

г

-е(е + т(г ))-1 [и(г) - и(г0)] = -е(е + т(г ))-1 X (г, г0, е)[и(г) - и(г0)] +1 Я(г, т, £)(£ + т(т))-1 х.

го

х ^ [и(г) - и(г0 )]<^(т) (23)

Подставляя (23) в (20) получим (9). Далее в силу лемму 4 из (21) имеем

г

\й(гА < 11(^)[в 1 + НоУа^Ф) + \¥,(г,£% г е [г,,Т] (24)

Ч

Из (24) в силу [5], [6], обобщенного Гронуолла-Беллмана и в силу леммы 3, получим

г

£(г,£) < 11+ Жо]|^,£)|^) + 2(Жо + 1)е-1£1-^|и(г)||с + (N0 + \)шъ£р),

го

Т

||^(г,£)| <М2[2(К0 + 1)е-1£1-^]|и(г)|с + (N0 + 1)^-(£Д)], где М2 = ехр {/(^[в- + •

х

t,

0

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №10/2015 ISSN 2410-700Х_

Теорема 1. доказана.

Следствие 1. Если выполняются условия а), б), ||K(t, t)|| < N0Ä(t), Ä(t) > 0 при почти всех t e ,T], то решение системы (1) в пространстве Cn\t0,T] единственно.

Доказательство. Пусть u(t) e Cn[t0,T] является решением системы (1) при f (t) = 0. Умножая

системы (1) скалярно справа и слева на u(t ) и складывая, имеем

t

< m(t)u(t0),u(t0) >+2 < m(t)[u(t) — u(t0)],u(t0) > + < [K(s,s)dp(s)u(t0),u(t0) > +

2 < m(t )u(t0 ), u(t0 ) >+2 < m(t )\u(t ) -u(t0 )], u(t0 ) > + < J K (5, s)dç(s)u(t0 ), u(t0 )

to

t t t < u(t0 ), J K (s, s)dç(s)u(t0 ) > +J K (s, s)\u(s)-u(t0 )]rf.ç(s), u(t0 ) > + < J\K (t, s) +

to t0 t0

t t

u(t0 ), J K (s, s)\u(s) -u(t0 )~]dy(s) > + < u(t0 ), J \K (t, s) -K (s, s)]u(s)dç(s) > -K (s, s)]u(s)dç(s), u(tQ ) >= 0, где {•, •)

скалярное произведение в n-мерном пространстве. Отсюда имеем

\m(t) + JX(s)dç(s)%u(to)f < m(t)\u(t) - u(to)|||\u(to)\\ + \JNoÀ(s)dç(s)] maxI|u(s) - ЦОЦ\u(to)\\

t0 t0 t t

+ Jl(s)Jx(z)dç(z)\\u(t)|| dç(s)\\u(t0)W ;

t0 s

t

N J^(s, s)dç(s)

ЩоЦ <-^-||u(t) - u(t0% +-t^-t-m^lu(s) -u(t0)\\ +

m(t) + I À(s)dç(s) m(t) + I À(s)dç(s)

t0 t0

t t

J l (s)J À(z)d@(z)\\u(t )||c dç(s)

+ h_

m(t ) + J A,(s)dç(s)

Переходя к пределу при t ^ t0 получим ||u(t0)|| = 0 . Тогда из оценки (16) вытекает, что ||u(t)|| = 0, то есть u(t ) = 0 при t G\t0, T ].

Список использованной литературы

1.Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной -М. «Наука», 1974, 200-250

2.Ободоева Г.С. Регуляризация и единственность решений интегрального уравнения Вольтерра третьего рода. // Канд. диссертация. Бишкек, 1994.

3.Asanov A. Regularization, Uniqueness and Existence of Solutions Volterra Equations of the first kind (VSP, Utrecht-Tokyo, 1998), 276 p.

4.Асанов А. Производная функция по возрастающей функции. Университет Манас, Журнал Естественных наук 1, (Бишкек, 2001), 18-65 с.

5.Асанов А. Интегральные уравнения Вольтерра-Стильтьеса второго и первого рода. Университет Манас, Журнал Естественных наук 2, (Бишкек 2002), 79-96 с.

6.Асанов А. Система интегральных уравнений Вольтерра-Стильтьеса. Университет Манас, Журнал Естественных наук 4, (Бишкек 2003), 65-79 с.

t

0

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №10/2015 ISSN 2410-700Х_

7.Беделова Н. Об одном классе линейных интегральных уравнений Вольтерра-Стильтьеса третьего рода. // Ош: «Вестник ОшГУ, 2006.

© Н.С.Беделова, 2015

УДК 517.968

Беделова Нургуль Салибаевна

ст. преп. каф. ИТАС, ОшГУ, г. Ош, Кыргызстан E-mail: kireshe78@mail.ru

ВЫБОР ПАРАМЕТРА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА-СТИЛЬТЬЕСА ТРЕТЬЕГО РОДА

Аннотация

Актуальность проблемы обусловлена потребностями в разработке новых подходов для регуляризации и единственности решений линейных интегральных уравнений Вольтерра-Стильтьеса третьего рода. В данной статье рассмотрены решения выбора параметра регуляризации для решения одного класса линейных интегральных уравнений Вольтерра-Стильтьеса третьего рода. Для решения этого уравнения построен регуляризирующий оператор по М.М. Лаврентьеву и доказана теорема единственности. Работа носит теоретический характер. Предложенные методы и полученные в ней результаты могут быть использованы при дальнейшем развитии теории интегральных уравнений в классах некорректных задач, для численного решения интегральных уравнений Вольтерра-Стильтеса третьего рода, возникающих в гидрофизике, теории упругости, механике. А также при решении конкретных прикладных задач, приводящихся к уравнениям третьего рода.

Ключевые слова

уравнение, линейная, интегральное уравнение Вольтерра-Стильтьеса, третий род, регуляризация.

Одновременно рассматриваются следующие линейные интегральные уравнения

t

m(t)u(t) + Ja(t)b(s)u(s)dp(s) = f (t), T > t0, (1)

<0

t

(e + m(t))u(t,e) + Ja(t)b(s)u(s,e)dp(s) = f (t) + eu(t0), t e[t0, T], (2)

0'

to

где т(1;), а(г), Ь(1;) и ОД-известные непрерывные функции на [^ Т], т(1;)-неубывающая непрерывная функция на [1;о, Т], т(1о)=0, и(г) и о(г,£) -искомые функции, <(г)-возрастающая известная непрерывная функция на [1;о, Т],

0 <£ -малый параметр, (г, 5) е G = {(г, 5) : г0 < 5 < г < Т}.

Здесь С[?0, Т]- пространство всех непрерывных функций и(г), определенных на [^ Т] с нормой

||и(г)||с = вир |и(г)|с.

ге[го, Т ]

Обозначим через С^[го, Т], 0 < у < 1, линейное пространство всех функций и(г), определенных на [й, Т] и удовлетворяющих условию

|и(г) - и(я)| < М\\(г) - \(5)|у,