О некоторых свойствах решений модельной обобщенной системы Коши- Римана в окрестности сингулярной точки Текст научной статьи по специальности «Математика»

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №10/2015 ISSN 2410-700Х_

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 517.946

Ахмедов Рахмат к.ф-м.н., доцент ТГУПБП, Шокирова Мухбира Мухторхоновна

ассистент ТГУПБП, г.Худжанд, РТ Е-mail: [email protected]

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ МОДЕЛЬНОЙ ОБОБЩЕННОЙ СИСТЕМЫ КОШИ-РИМАНА В ОКРЕСТНОСТИ СИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКИ

Аннотация

Исследуются свойства решений модельной обобщенной системы Коши-Римана в окрестности сингулярной точки. Устанавливаются некоторые условия, при выполнение которых уравнения имеет непрерывные решения в рассматриваемой области, включая сингулярную точку.

Ключевые слова

модельная обобщенная система Коши-Римана-сингулярная точка-представление решений - непрерывные

решения.

1.Постановка задачи. Настоящая работа посвящена исследованию обобщенной системы Коши-Римана вида

г Я —

d = 0, z е G, (1)

z 2 z 2 z

где z = x + iy = rel(p, 2 д-=дх+ i ду г = г+ га2Ф 0 и Яф 0 — комплексные числа, Y(z) -искомая функция и G = { z : | z | < R }. Решения уравнения (1) рассматриваются в классе непрерывно дифференцируемых в области G0 = G — {0 } и ограниченных в точке z = 0 функций, которого обозначим C1(Go).

Частный случай, когда г = 0 и (1) принимает вид

я _

д Ф--= Ф = 0, z е G, (2)

z 2z

изучен З.Д.Усмановым в монографии [1]. Им построена теория решений этого уравнения на основе обобщенной интегральной формулы Коши и обобщенного интеграла типа Коши.

В [2] уравнение (1) изучено, когда г - вещественное число.

Ввиду эллиптичности системы (1) и аналогичности её коэффициентов при | z | > 0, любое непрерывное решение z) автоматически становится бесконечно дифференцируемым и даже аналитическим по переменным x и у вне точки z = 0 . Следовательно, важным моментом является изучение решений уравнения (1) из класса CX(G0 ) в окрестности сингулярной точки, включая саму эту точку.

Исследование уравнения (1) производится посредством методики, разработанной академиком АН Республики Таджикистан З.Д.Усмановым в [1].

2.Представление решений с помощью рядов. По схеме, предложенной в [1.стр.45] для решения z) уравнения (1) получим представление аналогом ряда Лорана в круговом кольце

0 < R < z < R, которое имеет вид:

¥(z) = ¥01(r)+ jj {и/ (r У* + P-акЩг+ k=1

+ ^o2(r )+j|kÄ(r> — р+й/ (r

где

Yoi(r)=/(a-pfOr^ и ^02(г)=<я+p—К

r"1—Ao, когда И ><

(3)

и %x(r) = ra1 [(a2 + U)cos(^0 ln r)+Ао sin(^0 ln r )]a0,

) = r"1 [(< + !)sin(u0 ln r)—Ао cos(^o ln r)]ö0 , когда Ц2 < а.2

и здесь

А) = •< —1|2 , и

:далее

fk (r) = cos(A2kln rH * sin(A2kln r),

А =

1 M

k2 +||2 — <) + 4<2 k2 +(k2 +||2 — а2

1 M

k2 +||2 — <) + 4< k2 — (k2 +UI2 — а2

Pk = (Ak — k )+i(^2k —"2

Рк = (/к + к+ «2 )> и а0,60-вещественные и ,Ь,к = 1,2,..., комплексные постоянные, которые выражаются через

граничное значение функции ^(г) на окружности Г = {г : |г| =

Дальнейшее рассуждение проводим в предположении, что ШР • Полученные результаты

остаются справедливыми и в случае \Л\ <а\ .

2.1. Случай « > 0 • Правая часть (3) состоит из суммы двух рядов и все члены ряда (3) по отдельности в кольце удовлетворяют модельному уравнению (1). Интерпретируя О0 как вырожденное круговое кольцо с внутренним радиусом = 0, заметим, что если « > 0, то все члены первого ряда содержат сомножители г с положительными степенями « + и они обращаются в нуль в точке г = 0. Члены второго ряда содержат сомножители г со степенями ах — и все члены, для которых « — /л1к > 0 остаются ограниченными в точке г = 0 и остальные будут иметь в этой точке полюсы порядка /л1к—ах. Поскольку нас интересует ограниченные в точке г = 0 решений ^(г) уравнения (1) , то мы должны положить Ък = 0 для всех к, удовлетворяющих неравенству « — /к < 0 . Разрешая это неравенство относительно к, получим:

k >< а

М2 —И2 ■

Следовательно, при« > 0 любое решение уравнения (1) из класса С1 (00) представимо в виде:

w(z )=i(l — Po+]aora1 +А10 + ¿{и/

k=1

+ P— ak~ffle — k*}r

"1+M1k

+ S

Щ P0->0r<™ +Х fajfiY*- P bf (r Ук*}г

k=1

(4)

Здесь 8 = 1, если \а\ — Щ и 8 = 0, если Ы < Щ , к0 =

a

a

О-й 2

2.2. Случай \ < 0. Проводя аналогичное предыдущему случаю рассуждение в случае \ < 0 получим следующее представление решений ^(г) уравнения (1) из класса С1 (G0):

W(z ) = V

X .К ^kJk k=ki

f (r )e'k*+ P-akfTß

-ikv\ai +ßik

(5)

где k1 =

a

h

и a'

, если Ы — Щ и кх = 0 если Ы < Щ ,причём квадратными скобками

обозначена целая часть числа.

Ряды (4) и (5) представляют общее решение уравнения (1) из класс С1(^0 ) . На основании представлений (5) и (6) доказываются теоремы:

Теорема 1. Любое непрерывное в области G решение уравнение (1) обращается в нуль в точке г = 0. Возможные порядки нуля:

а).при \ >0 равны ах—,к = 0,1,...,к0 и ,к = 0,1,...

в).при \ < 0 равны ¡лк —|,к = к,к +1, ..

Теорема 2. Для любого натурального числа т уравнения (1) имеет решения из класса Ст

При определенных сочетаниях значений с и Щ уравнения (1) допускает аналитические по г и

г решений в области G , включая точку г = 0. Для того чтобы показать, в каких случаях это возможно, введем в рассмотрение следующие вспомогательные множества:

Ч =

|(a, Л),н > 0,Н > Щ\ > |a2|,Н - Н = 2Рj,Р = 1,2,...

Лр = |(н,Щ),Н > 0,Н < |Щ,Н + -а2 = 2p|,Р = 1,2,...

|(a, Щ),н - 0,Щ > |a2|,-Н1+ а/|Щ2 -Н = 2p|,Р = 1,2,...

Лз Р =

Обозначим:

л =и л,

У=1

Теорема 3. Уравнения (1) при (с,Щ)еЛ допускает аналитические по г и г решения в области G, включая точку г = 0. Если (с, Щ) £ Л, то таких решений нет.

Теорема 4. Пусть («,Щ)^Л и натуральное число т выбрано таким образом, что

+д/|Щ2 — с2 . Если Ст (G) и < М,|г| = Я , то при г е G

m > Н + -

z)|

<

MR

R - r

i r\ a1+^km

v R

где К =

(m-Н)4 -(m -Н)2 (Щ -al)

(m - Н )2 + a

2 , „.2

2

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №10/2015 ISSN 2410-700Х_

Теорема 5. При Л уравнение (1) не имеет нетривиальных решений из класса бесконечно

дифференцируемых функций в области G , включая точку z = 0 . Список использованной литературы:

1.Усманов З.Д. Обобщенные системы Коши-Римана с сингулярной точкой. Математический институт с ВЦ АН Тадж ССР.- Душанбе, 1993, 244 с.

2. Ахмедов Р. К теории модельного уравнения специального вида. Известия Академии наук Республики Таджикистан №3 (156) 2014, стр. 42-45.

© Р.Ахмедов, М.М. Шокирова, 2015

УДК 517.968

Беделова Нургуль Салибаевна

Ст. преп. каф. ИТАС ОшГУ г. Ош, Кыргызстан e-mail: [email protected]

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА-СТИЛЬТЬЕСА ТРЕТЬЕГО РОДА

Аннотация

Актуальность проблемы обусловлена потребностями в разработке новых подходов для регуляризации и единственности решений систем линейных интегральных уравнений Вольтерра-Стильтьеса третьего рода. В данной статье рассмотрены решения систем линейных интегральных уравнений Вольтерра-Стильтьеса третьего рода. Для решения этой системы построен регуляризирующий оператор по М.М. Лаврентьеву и доказана теорема единственности. Решения задач интерпретации данных физических приборов, автоматического регулирования и обратных задач кинематики и сейсмики часто сводятся к интегральным уравнениям, где ядро представляет свойство среды, свободный член как результаты измерений на границах, а искомая функция показатели среды в внутренних точках. В частности интегральные уравнения Вольтерра и Вольтерра-Стильтьеса являются условно некорректными задачами, требующие качественное исследование.

Ключевые слова

Система, линейная, интегральное уравнение Вольтерра-Стильтьеса, третий род, регуляризация,

единственность.

Рассмотрим систему

t

m(t)u(t) + JK(t, s)u(s)dp(s) = f (t), t e [t0,T], T > t0, (1)

to

в котором m(t), (p(t) - заданные соответственно неубывающая и возрастающая непрерывные функции на [t0, T], m(t0 ) = 0, K(t, 5) — n x n -мерная матричная функция, u(t), f(t) — n -мерные

соответственно искомая и известная вектор-функция.

Наряду с системой (1) будем рассматривать следующую систему

t

(е + m(t))u(t,е) + JK(t, s)u(s, e)dp(e) = f (t) + eu(t0), t e [t0, T] (2)

to