Один класс систем линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода на полуоси Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №1/2016 ISSN 2410-700Х

Fig. 7. Graphs to functions dopin[r ]- additional information for inverse problem; p(t) :=2.1-cos2(3.14% ); when cr(z) :=1.6-cos2(6.28*k*h); /u(z) :=1.0;

s(z) :=1.0; ^=0.02 .

© A. T. Mamatkasymova, A. J. Satybaev, 2016

УДК 517.968

Асанов Авыт

доктор физ.-мат.наук,профессор КТУ «Манас», Бишкек,Кыргызская Республика E-mail: [email protected] Иманалиев Мурзабек Иманалиевич член.корр.РАН,директор ИТПМ НАН КР, г.Бишкек, Кыргызская Республика Асанов Рухидин Авытович канд. физ.-мат.наук,и.о. доцента КГ ТУ, г.Бишкек, Кыргызская Республика E-mail: [email protected]

ОДИН КЛАСС СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА

ТРЕТЬЕГО РОДА НА ПОЛУОСИ

Аннотация

Известно, что многие прикладные задачи сводятся к интегральным уравнениям третьего родов. Интегральные уравнения первого третьего родов являются некорректно поставленными задачами. В данной работе на основе нового подхода, показано, что решения некоторого класса систем линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода на полуоси эквивалентно к решению систем линейных

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №1/2016 ISSN 2410-700Х_

интегральных уравнений Фредгольма второго рода на полуоси с некоторыми дополнительными условиями. Далее доказаны теорема единственности и существования решения для некоторого класса систем линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода на полуоси.

Ключевые слова

Решения, система, линейных интегральных уравнений Фредгольма, третьего рода, полуось.

Рассмотрим следующие системы линейных интегральных уравнений третьего рода

п т

pi(x)ui(x) =Ä^j kij(x,y)Uj(y)dy + fi(x),

1=1 а

x E [a, от), i = 1,2, ...,n, (1)

где Pi(x) и fi(x) - известные,непрерывные на [а, от), функции, Pi(x) Ф 0 при всех х E (а, от), kij(x,y) - известные непрерывные на G = [а, от) х [а, от) функции, щ(х) - искомые непрерывные на [а,от) функции, i,j = 1,2, ...,п,

а < Ь, А - действительный параметр, существует t E {1,2,... ,п} такое, что для всех i = t, ...,п Pi(a) = 0 и для всех i = 1,2, ...,t — 1 Pi(x) = 1 при всех х E [а, от).

Различные вопросы для интегральных уравнений первого, второго и третьего рода исследовались в [16]. Но основополагающие результаты для интегральных уравнений Фредгольма первого рода получены в [3], где для решения линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода построены регуляризирующие операторы по М.М. Лаврентьеву. В данной работе исследованы вопросы существования и единственность решений для систем линейных интегральных уравнений (1).

Обозначим через Сп [а, от) пространство всех n-мерных вектор- функций с элементами из С[а, от). Через L2n(a, от)обозначим пространство всех n-мерных вектор- функций с элементами из L2(a,b).

Замечание . Если t = 1, то для всех i = 1,2, ...,п Pi(a) = 0.

Всюду будем предполагать, что

m(i)

Pi(x) = nPi,i(x),Pi,i(a) = 0,pil(x) E С[а,от), i=i

i = t, ...,n,l = 1, ...,m(i), (2)

где m(i) E N.

Полагая x = а, из (1) имеем

со

4=1 Ja '4J

Вычитая (3) из (1) получим

л 1]=1 Ja" ki](a,y)uj(y)dy + fi(a) = 0,i = t,..., n. (3)

IL

Р1ЫщЫ = А11[к11(.х,у-) — к11(а,у)]и1ШУ +

i=1 а

+fi(x) — fi(a),x Е[а,от~) ,i = t, ...,n. (4)

Предположим выполнение следующих условий:

а) Для всех i = t, ...,n,j = 1,2, ...,п и I = 1,2, ...,m(i)

kij,i(x,y) E C(G) П L2(G) , где kij,0(x,y) = ki](x,y),

kij,i(x,y) = :^)[kij,i-1(x,y) — kijl-1(a,y)],(x,y) E G,

кт (а, y) = lim кщ (x, y),yE [a, от); J x^a J

б) Для всех i = t,...,n, и l = 1,2, ...,m(i)

Fi,i(x) E С[а,от') n L2(a,b) , где Fi0(x) = fi(x),

Fi,i(x) = :j^[Fi,i-i(x) — Fi,i-i(a)],x E [а,от) ,

F^a) = limFijW.

x^a

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №1/2016 ISSN 2410-700Х

Теорема. Пусть выполняются условия а) и б). Тогда решение систем интегральных уравнений (1) в L2,п(а> ю) ^ Сп[а, ю) эквивалентно решению систем следующих линейных интегральных уравнений второго рода

( щ(х) = Ä'Z7n=ii^ kij(x,y)uj(y)dy + fi(x),i = l,...,t-l,

и (5)

к(х) = ЛYJ7¡=1 ja kijm(i)(х,y)Uj(y)dy + Fi,m(i)(x),í = t, ...,n,x e [а,™) ,

с условиями

Л С<кц(а,у),и(у))(1у + рц(а) = 0,1 = 1.....п,1 = 0,1.....т(1) - 1, (6)

где ки 1(а,у) = (кцЛ(а,у), ...,кш(а,у)) ,и(у) = (и1(у), ...,ип(у))Т.

Доказательство. Сначала, пусть и(Ь) = (и1(Ь), ..,ип(Ь))Т е Ь2п(а,<х1>) П Сп[а,<х) является решением системы (1). Тогда справедливы тождества (3) и (4). Учитывая (2) и условия а) и б), из (4) получим

ПТ=2 Ри (х)Ч (х) = Л %П=11™ к л (х, у)щ (у)йу + (х),х е [а, , (7)

П;

где I = I,... ,п.В системе уравнений (7) для тех I для которых т(С) = 1

т(1)

риЫ = 1хе[а,»).

1=2

Далее в системе (7) для тех уравнений, для которых т(I) > 2, полагая £ = а имеем

г ™

'а к1],1(а,У)и](У)иУ+г1,1 Вычитая (8) из (7) и учитывая условия а) и б) получим

Л!,]=1!а kiji(a,y)uj(y)dy + Fii(a) = 0,i = t,...,n,m(i)>2. (8)

nm3 Pi,i(x)ui(x) = Л'£71=1$а° kij,2(x,y)uj(y)dy + F^x) ,х e [а,™) (9)

где í = t, ...,n,m(i) > 2. Здесь

2

I

Рц(х) = 1,хе [а,<х>) .

1(Г)=3

Продолжая этот процесс убедимся, что вектор-функция и(х) является решением системы уравнений (5) с условиями (6).

Наоборот, пусть и(Ь) = (и1(£), ..,ип(Ь))Т е Ь2 п(а, <х) П Сп[а, от)является решением системы (5) с условиями (6). В системе (5) рассмотрим -уравнение при I = Ь, ...,п. Умножая ¿-уравнение нар(,т(1)(х) и учитывая условие (6), при I = т(С) — 1 получим

Pi,m(i)(x)Ui(x) = Л1 Í

ki j,m(i)-1

(x,y)uj(y)dy +

1 = 1 a

+Fi,m(i)-i(x),x E[a,<x),i = t, ...,n. (10)

Далее умножая -уравнение системы (10) на Pi,m(i)-1(x) и учитывая условие (3.1.6), при I = m(i) — 2 имеем

п т

Pi,m(i)-1(X)Pi,m(i)(X)Ui(X) = А^ j kij,m(i)-2(X,y)Uj(y)dy +

=i a

+Fi,m(i)-2(x),x Е [a, ю) , i = t, ...,n,m(i) > 2. (11)

Продолжая этот процесс по отношению к системе (11) и учитывая условие (6), убедимся, что и(£)является решением системы (1). Теорема доказана.

i

Следствие 1. Пусть выполняются условия а) и б), и действительное число - не является собственным

л

значением матричного ядра^ (x, y), где

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №1/2016 ISSN 2410-700Х_

/ кц(х,у)к12(х,у)... kin(x,y) \

(x, У)

k-ti,m(t)(x, y)k-t2,m

(t)(X,y) ... k-tn,m(t)(x, У) I \kni,m(n)(x,y)kn2,m(n)(x,y) — кпп,т(п)(х,У)/

Тогда:

1) решение системы (1) единственно в L2n(a, от) n Сп[а, от);

2) решение системы (5) записывается в виде

и(х) = F(x) + JaтR(x,y,Ä)F(y)dy,x E [а,от) , (13)

где F(x) = (fi(x),...,ft-i(x),Ft,m(t)(x),...,Fnm(n)(x)) ,

u(x) = (ui(x), ...,un(x)) , R(x,y,Ä) —матричная резольвента матричного ядра ÄK(x,y), К(х,у) определена по формуле (12). В этом случае вектор-функция и(х), определенная по формуле (13), является решением системы (1) тогда и только тогда, когда и(х) удовлетворяет условию (6).

i

Следствие 2. Пусть выполняются условия а) и б), и действительное число - является собственным

л

значением матричного ядра К(х,у), вектор-функции (pi(x),...,(pq(x)mlJi(x),...,~фц(х)являются

т

собственными вектор-функциями матричных ядер К(х,у) и (К(у,х)) соответствующим собственным i

значениям -, где К(х, у)определена по формуле (12). Тогда:

А

1) если существует i E {1; ...; q} такое, что

о

(грi(x),F(x))dx Ф 0,

f

то в L2n(a, от) n Сп[а, от)не существует решения системы (1); 2) если для всех i = 1, ...,q

f

(ifii(x),F(x))dx = 0

а

и г(А) = г(В), где А — б х-мерная матрица, 5 = ^Ц=1т(1),

А = ( ..),(? = (..],В = (А,(?), \Ап/ \Ьп/

/ ацл...ац,я \ / Ь11

4 = 1 ............... ),ЙН .

\ат(1),1 .■а1т(1)д/ \Ъ1т(Г)/

ащ = Л С^ц-ЛъуХщМУйу Л = .~,п,1 = 1, ...,т(С), ьц = —Р1Л-1(а) — Л ¡™(кц-1(а,уХ<ро(у)№у,} = 1, г (А) —ранг матрицы А, <о(х) — частное решение системы (5), то в Ь2п(а, от) п Сп[а, от)не существует решения системы (1); 3) если для всех I = 1, ...,ц

(14)

f

(ipi(x),F(x))dx = 0

а

и г(А) = г(В) = д,тов L2 n(a, от) n Сп[а, от)существует единственное решение системы (1), представленное в виде

и(х) = р0(х) + £j=icj Vj(x), (15)

а

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №1/2016 ISSN 2410-700Х_

где вектор с = (с1; с2; ...; cq)Удовлетворяет системе

Ас = Q, (16)

матрицы А, Q определены по формуле (14); 4) если для всех i = l, ...,q

f

(ipi(x),F(x))dx = 0

и г = r(A) = r(B) < q, то в пространстве L2n(a, го)существует решение системы (1), представленное

я)

в виде (15), где вектор с = (с1;с2; ...;с„)т зависит от ц — г произвольных постоянных и удовлетворяет

системе (16).

Доказательство. В случае 1), по альтернативе Фредгольма система (5) в пространстве Ь2п(а,ю)не имеет решения. Поэтому система (1) тоже в L,2,n(a, ю)не имеет решения. В случаях 2), 3) и 4) по альтернативе Фредгольма система (5) имеет решение, представленное в виде (15), где с1, ...,cqпроизвольные постоянные. Подставляя (15) в (6) имеем систему уравнений (16). Применяя теорему Кронекера-Капелли к системе (16) доказываем утверждения 2), 3) и 4) следствия 2 теоремы . Список использованной литературы

1. Цалюк З.Б. В кн.: Итоги науки и техники. Сер. Матем. Анализ, М., 1977, т.15, с.131-198.

2. Магницкий Н.А. Линейные интегральные уравнения Вольтерра I и III рода //Журн. Вычисл. Матем. и матем. физики. 1979, т.19, №4, с.970-989.

3. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980, 286 с.

4. Иманалиев М.И., Асанов А. О решениях систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода//. Доклады АН СССР, 1989, т-309, №5, с.1052-1055.

5. Иманалиев М.И., Асанов А. Регуляризация и единственность решений систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода // Доклады РАН, 2007, т.415, №1, с.14-17.

6. Иманалиев М.И., Асанов А., Асанов Р.А. Об одном классе систем линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода // Доклады РАН, 2011, т.437, №5, с.592-596.

© А. Асанов, М.И. Иманалиев, Р.А. Асанов, 2016

а

УДК 517.926

Асанова Каныкей Авытовна

младший научный сотрудник ИТиПМ НАН КР, г. Бишкек, Кыргызская Республика E-mail: [email protected] Асанов Рухидин Авытович канд. физ-мат. наук, и.о. доцента КГТУ, г. Бишкек, Кыргызская Республика E-mail: [email protected]

ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Аннотация

В данной работе на основе разложения линейных дифференциальных операторов третьего порядка получены формулы для решения одного класса линейных дифференциальных уравнений третьего порядка с переменными коэффициентами. Показаны, что некоторые известные формулы