Регуляризация систем линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода в неограниченных областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №5/2016 ISSN 2410-700X

Пусть

/ V ) = 0. Тогда в силу условий б), в) из (8) вытекает, что

х г

| и (у ^ = 0, | и = 0 . Далее, в силу условия в) и (/) = 0.

а у

И так, доказана следующая теорема

Теорема. Пусть выполняются условия а), б) и в). Тогда решение уравнения (1) единственно в классе

ь2 [а х).

Список использованной литературы:

1. Магницкий Н.А. Линейные интегральные уравнения Вольтера первого рода и третьего рода // журнал вычислительной математики и математический физики. Т.19.№4, 1979, с. 970-989.

2. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода. // ДАН СССР. 1959. Т.127, № 1. с. 31-33.

3. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.

4. Иманалиев М.И., Асанов А. Регуляризация, единственность и существование решения для интегральных уравнений Вольтера первого рода. //Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. - Фрунзе: Илим, 1988. Выпуск 21. с. 3-38.

5. Иманалиев М.И., Асанов А. О решениях систем нелинейных интегральных уравнений Вольтера первого рода. // ДАН СССР. 1989. Т. 309. № 5. с. 1052-1055.

6. Асанов А. О единственности решения операторных уравнений Вольтерра.// Известия АН Киргизской ССР, 1988.- №1.-С.13-18.

7. Асанов А., Каденова З.А. О единственности решения для одного класса интегральных уравнений Фредгольма первого рода. // Труды Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара: Сам ГТУ, 2004.-Ч.3.-С.122-126.

8. Асанов А., Каденова З.А. Регуляризация и устойчивость систем линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода. // Вестник Самарского Государственного Технического Университета. Серия физико-математические науки. Самара: Сам ГТУ, 2005. №38. с. 11-14.

© Орозмаматова Ж.Ш., 2016

УДК 517.968

Орозмаматова Жыпар Шермаматовна

старший преподаватель, ОшТУг. Ош, Кыргызская Республика

E-mail: [email protected]

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА ПЕРВОГО РОДА В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

J.Sh. Orozmamatova

REGULARIZATION OF SYSTEMS LINEAR INTEGRAL EQUATIONS OF FREDGOLM OF THE

FIRST KIND WITH IN UNLIMITED AREAS

Аннотация

В настоящей статье рассмотрена регуляризация и получены оценки устойчивости решений систем линейных интегральных уравнений первого рода в неограниченных областях.

In the present article regularization and of stability of systems linear integral equations of Fredgolm of the

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №5/2016 ISSN 2410-700X_

first kind with in unlimited areas.

Рассмотрим систему интегральных уравнений Фредгольма первого рода

СО

Ku = J K(t, 5)u(s)ds = f (t), t g [a, да), (1)

a

где

, ч f A(t, s), a < s < t < да, K (t, s ) = ^ ) { (2)

V 7 [B(t, s), a < t < s < да. ()

K(t, s) = (K,(t, s)), A(t, s) = (A (t, s)), B(t, s) = (B,(t, s)),

K(t, s) g L2([a, да)х [a, да); M),

u(t) = (u (t)), f (t) = (f (t)) g L2 ([a, да); En ).

Отметим, что интегральные уравнения первого рода или интегральные уравнения, сводящиеся к ним, ранее изучались частности в [1]-[5], где были получены теоремы единственности, устойчивости и регуляризации.

В силу (2) системы уравнений (1) запишем в виде

t ю

'' , ^Ms)ds + J B(t,sMs)ds =

t

I л(г, s )и(5 )ф +1в(г, ^ = f (г). (3)

а г

Обе части системы (3) скалярно умножим на вектор-функцию и ) Полученное произведение интегрируем по области а < t < да , получим

да г \ да /да \ да

л(г, ^ )и(5 и(г)) йг + |( | в(г, 5 )и(5 и(г )\ йг = |( f (г), и (г ))и йг, (4)

a \ t

n

да t да c да

J J (A(t, s)u(s), u(t))и dsdt +J J (B(t, s)u(s), u(t)) dsdt = J (f (t), u(t))и dt. (5)

n

a t

Применяя формулу Дирихле, из (5) имеем

да t да t да

J J (A(t, s)u(s), u(t))n dsdt + J J (B* (s, t)u(s), u(t)}ndsdt = J ( f (t), u(t))n dt,

a a a a

да t

| |((л(г, 5)+ в* (5, г))и^), и(г^ йзйг = f (г), и(г))и йг.

а а па

Обозначим

Н(г,5) = 1 (л(г,5)+в*(5, г)), (г,5) е О = {(г,5) а < 5 < г <да}. (6)

Тогда

да г да

2Ж Н (г, 5 )и(5), и(г)) пй5йг = (г), и(г)) пйг. (7)

а а а

Введём новую матричную функцию М (/, 5) = (м^ (/, ^)) следующим образом

, ч ГН(г, 5 ), а < 5 < г < да,

М(г,5Н^ : < , (8)

[Н(5, г), а < г < 5 < да,

aa

a

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №5/2016 ISSN 2410-700X где Н (г, У) = (Ну (г, у)) Н (у, г) = (Ну (у, г)).

Ясно, что М (г, у ) = М (у, г).

М (г, у) = Ея

(й00^)...^)) т <х.

(9)

В дальнейшем будем считать, что все собственные значения Яу матричного ядра М(Х,$) положительны. В силу вполне непрерывности и самосопряженности оператора М, порожденного матричным

ядром М(1,я), ортонормированная последовательность собственных вектор - функций )}

полна в

Ь2 ([а, х); Еп ). Очевидно, что

если

и(г) е ¿2 ([а, х) Еп X то ||и(г)|| = I £

1

М

и

У=1 J

где

иИ =

(и(г)УИ)(г)), (У = 1,2,...).

Пусть последовательность соответствующих собственных значений К} расположена в порядке убывания их модулей.

Семейство множеств корректности, зависящее от параметра а , выделим следующим образом:

а \и

< с:

Ма=Ше Ь2 ([а, х); Еп ) : ЕЯ

I ,=1 )

где с > 0, 0 <а<х, и И = (у([),р{1,Щ (у = 1,2,...), т.е.

х

и И)=| (и(г),ф{у)(г))п Жг.

а

Ясно, что если то

(10)

и (*) < Я.

Будем предполагать, что / ({)е К (Ма). Тогда системы (1) имеет решение и( )е М( и справедливо

и(г\^\г))Е Жг = \{/(г),и(г)

Отсюда, используя неравенства Гельдера, имеем

ЕЯ и<|/(г)|- ||и(г)||.

(11)

С другой стороны

'(г)\2 = Е

х и

И ■

■•Я+а |и|1+я <

Я+

х и

И)

|2М

Е

ла

■=1

Ея

а

|2 \1+а

Здесь мы применили неравенство Гёльдера при р = 1 + а, д = (1 + а) / а. Учитывая и() е Ма и (11), из последнего неравенства имеем

а 1+а

11«('12 < с-+а(|/(г)4и(г|) ,

У = 1

2

х

2

х

х

У=1

а

а

с,1

^=1

2

1+а а

2а

и

а

у=1

у=1

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №5/2016 ISSN 2410-700X

отсюда получим следующую оценку устойчивости

_ 1

U I 11 ' "

а ■ 2+а

'(г )||< с 2+а-|| f (г)| ,0 <а<да. (12)

Таким образом, доказана теорема Теорема 1. Пусть оператор М порожденным матричным ядром М^^) положительный, где М^^)

определен по формуле (8) и (9). Тогда решение системы (1) в ^ ([а, Еп ) единственно. Кроме того, на К(Ма ) (К(Ма)- образ Ма при отображении оператором К оператор К', обрат

множестве

атный к

а

К, равномерно непрерывен с гёльдеровым показателем-, т.е. справедлива оценка (12).

2 + а

Покажем, что решение системы уравнений

да

£и(г, £) +1К (г, 5 )и(5, £)й5 = f (г), г е [а, да), £ > 0

а

будет регуляризирующим для системы уравнений (1) на множестве ММа . На самом деле, сделаем следующую подстановку в системе (1)

и(/, £) = и(/) + ^(г, £) ,

где и(г) е Ма - решение системы (1), получим

(13)

" а да

£ g(t, £) + J K(t, S)^(s, £)ds = -£ u(t) .

a

Отсюда, учитывая (1), имеем

£|№£2 + IA-M2 <££|u(')|ir(£)

V=1 V=1

(14)

где ^у(£) - коэффициенты Фурье для функции , £, по ортонормированной системе

(РИ(г )=ЫУ)(г)} т.е. 4 (£) = (14) получим

II ^ _М1 .11. ЛМ1 (15)

_

Применяя неравенство Гёльдера при p = q = ~ , из

I « 1Ш = !

п ,ф Ii« (t)

да

X^»2 <£\U(t)|2 <£СЛ1,£> 0. (16) с

V=1

а

\ш ^ ¿а 1 ' а

другой стороны

V=1

v=1

д2(1+а)

М|

kM

t, £ ) 1+а «

(v)

Отсюда, после применения к правой части обобщенного неравенства Гёльдера при

2(1 + а) , ч , ч 2(1 + а)

^ = —--, д = 2(1 + а), т = 2(1 + а), п = —-- , имеем

а

а

да

да

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №5/2016 ISSN 2410-700X

z u ч

a f \(1+a)2

U

(v)|2 ^(l+a)2

a

=1 Л

a

||£(t,e)|(1+a| U(t)|(1+a,

ZХШе)

v=1

\v=1

z

u

2 Л

i к

22 K(t ,e)\i|| u(t)\-p

Далее, в силу u(t) e Ma, (15) и (16)

a , . / \1 1 2 2

V=1

из последнего неравенства имеем

a i i / vl 1 / \

Z U {v)kM<(ecxa f cq (cxa)

I pq .

V=1

2(1 + a) , 4

Отсюда, подставляя p =-, q = 2(1 + a)

a

a), получим l

Z|u(e) < c2(1+a) • (c% )-2 • (scxa ,

V=1

т.е.

(17)

ZU(v%(e) < c2(l+a) • c2 • c2(l+a)^2A12(1+a) •e2(l+a):

V=1

Z|u{"%(s\<c42(1+a) •e

r(2a+l)

.22(l+a). o2(l+a)

v=1

Учитывая (18), из (14) имеем

1 a(2a+l) a

\U(t,e)~ u(t\ < c2 -44(1+a) e4^, 0 <a<a.

(18)

(19)

Таким образом, доказана

Теорема 2. Пусть оператор M порожденный матричным ядром M(t,s) положительный и

f (t )e K (Ma). Тогда справедлива оценка (19), где u (t ,e) - решение системы (13), u(t) - решение системы (12),M(t,s) определен по формуле (8). Список использованной литературы:

1. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода. // ДАН СССР. 1959. Т.127, № 1. с. 31-33.

2. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.

3. Иманалиев М.И., Асанов А. О решениях систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода. // ДАН СССР. 1989. Т. 309. № 5. с. 1052-1055.

4. Asanov A., M. Haluk Chelik, Kadenova Z. A. Uniqueness and Stability of Solutions of Linear Integral Equations of the First Kind with Two Variables - International journal of contemporary mathematical sciences Vol. 7, 2013, no. 19, 907 - 914.HIKARI Ltd.

5. Asanov A., Kadenova Z. A. Uniqueness and Stability of Solutions for Certain Linear Equations of the First Kind with Two Variables- Bulletin of Peoples Friendship of Russia. Moscow, Russia- 2013, №3- С. 30-36.

© Орозмаматова Ж.Ш., 2016

1

a

V=1

V =1

V

q

a

a

2

V

2

1

1

a

a

a

a

a

a

a