Регуляризация и оценки устойчивость решений систем линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода на оси Текст научной статьи по специальности «Математика»

да

т.е. J u(v)dv = 0 при

s

Список использованной литературы:

1.Асанов А., Каденова З.А. Регуляризация и единственность решений систем линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода.// Труды международной конференции «Inverse and Ill-Posed Problems of Mathematical Physics», dedicated to Professor M. M. Lavrentiev on the occasion of his 75-th birthday. August 20-25, 2007. Novosibirsk, Russia. Электронный сборник.

2.Асанов А., Каденова З.А. Единственность и устойчивость решений систем линейных интегральных уравнений первого рода с двумя независимыми переменными.// Труды межд. конф.«1пуегее and Ill-Posed Problems of Mathematical Physics», dedicated to Professor M. M. Lavrentiev on the occasion of his 80-th birthday August 5-12, 2012, Novosibirsk, Russia.

3.Асанов А., Каденова З.А. Регуляризация и устойчивость решений систем линейных интегральных уравнений первого рода с двумя независимыми переменными.// Труды межд. конф. «Функциональный анализ и его приложения», посвященную 70-летию со дня рождения д.ф.-м.н., академика Национальной Академии наук РК М. Отелбаева, 2- 5 октября 2012 г., г. Астана, Казакстан.

4.Асанов А., Каденова З. А. Интегральное уравнение первого рода с двумя независимыми переменными.-Германия: «Немецкое издательство LAP LAMBERT Academic Publishing», 2012.- 178 стр.

5.Асанов А., Каденова З. А. Об единственности решений линейных интегральных уравнений первого рода с двумя независимыми переменными.// Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. Бишкек: Илим, 2010,- Вып.43- С. 46-53.

Арсенин В.Я., Иванов В.В. О решении некоторых интегральных уравнений первого рода типа свертки методом регуляризации. // ЖВМ и МФ.-1968.-8.-№2.

© Каденова З.А., Орозмаматова Ж.Ш., 2018

УДК 517.968

Орозмаматова Ж.Ш.

г. ОШ ст.преп.ОшТУ [email protected]

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ И ОЦЕНКИ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА ПЕРВОГО РОДА НА ОСИ

Аннотация

Рассмотрена регуляризация и получены оценки устойчивость решений систем линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода на оси

Пусть в (14) / Ц ) = 0. Тогда, в силу условий б) и в) из (14) вытекает, что г

, а) = 0 т.е. I и = 0 при г е[а, да) или ¿(да, 5 ) = 0

a

8 е [а, да).

Далее, в силу условия в), и() = 0. Итак доказана следующая теорема. Теорема 1. Пусть выполняются условия а), б), и в).

Тогда решение системы (1) единственно ([а, да), ^ ).

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» № 1-2/2018 ISSN 2410-700Х

Ключевые слова

Линейные интегральные уравнения, уравнения первого рода, единственность решений, регуляризирующие операторы, оценка устойчивости.

Zh.Sh. Orozmamatova

REGUJARIZATION AND ESTIMATE STABILITY OF TNE SOLUTION SYSTEMS OF THE LINEAR INTEGRAL OF FREDGOLM OF THE FIRST KIND EQUATIONS THE AXIS

Abstract

Regularization is considered and the estimate stability solution of the linear integral systems of the Fredholm equation on the axis are received.

Key words

linear integral equations, equations of the first kind , uniqueness of the solutions, regulating

operators, estimate stability.

Рассмотрим системы линейных интегральных уравнений типа Фредгольма первого рода

œ

JK(t, s)u(s)ds = f (t), t e(—œ, œ),

—œ

ÎA(t, s), — œ < s < t < œ;

где

K (t, s) =

B(t, s), -œ < t < s < œ.

A(t, s) = atl (t, s) =

' a11(t, s ) a12 s) - a1n fc s )

a21(t, s) a22 (t, s) . . a2n ^ s)

V an1 (t, s ) an2 (t, s) . . ann ^ s}

' hii (t, s ) h12 (t, s) .. . hm (t, s )

h21(t, s) h22 (t, s) . . h2n k s)

V hn1 (t, s ) hn2 (t, s) . . hnn (t, s)

B(t, s ) = h, (t, s) =

/ (0 = (/ (?)) = ШЪ-/п С ))т,

ы(г) = (и, (г)) = (ы1(г Х..ип (г ))т, Здесь A(t,s) и B(t,s)- данные матричные функции, ОД-известная вектор функция, u(t)-неизвестная вектор -функция.

Для матрица A=(aij) и вектора f=(fi) определим норму

1 1

( п п ( п \

III

V '=! j=1

a,.

HI=[lkf

, i=1 J

Для u=(ui) , v=(vi) е Яп, определим скалярное произведение

п

(и V) = Х и,у, .

г=1

Всюду будем предполагать, что I*(г,5)1 е Ь2(Ях Я),/(г) е Ь2(К).

(1) (2)

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» № 1-2/2018 ISSN 2410-700Х Отметим, что интегральные уравнения первого рода или интегральные уравнение сводящиеся к ним были изучены [1-5], где были получены теоремы единственности устойчивости и регуляризации. В силу (2) уравнение (1) запишем в виде

t ю

J A (t, s)u (s)ds + JB (t, s)u (s)ds = f (t), t e R. (3)

—ю t

Обе части (3) на скалярно умножим на вектор - функцию u(t) .Полученное произведение проинтегрируем по области — ю < t < ю, получим,

ю t ю ю ю

J J(A(t, s)u(s), u(t))dsdt + J J(B(t, s)u(s), u(t))dsdt = J( f (t), u(t))dt. (4)

ю t ю ю

f +

—ю—ю —ю t

Применяя формулу Дирихле, из (4) имеем

ю t ю t

J J (.A(t, s)u(s), u(t))dsdt + J J (b* (s, t)u(s), u(t)sdt = J ( f (t), u(t))dt,

—ю —ю

ю t

JJ{A(t, s) + B* (s, t)u(s),u(t)^dsdt = J{f(t),u(t))dt. (5)

— UJ—u

Где B*(s,t)-транспонированная матрица к матрице B(s,t). Обозначим

Н(г, 5) = 1 (А(г, 8) + В• (8, г)) (г, 8) е О = {- да < 8 < г < да}

Тогда из (5) имеем

да г —да

2(Н (г, 8)и(8), и(г) )d8dг = | (/ (г), и(г) ^г.. (6)

—да —да —да

Введём новую матричную функцию М(г, 8) = (М^ (г, 8)) следующим образом:

/ ч ГН(г, 8), — да < 8 < г < да,

М(г, 8) = т Н} С , (7)

[Н(8, г), — да < г < 8 < да, Н (г, 8) = (Нг] (г, 8), Н (8, г) = (Нг] (8, г)).

Ясно, что

м(г, 8) = М(б, г) (г, 8 ) е Я х Я и справедлива

№\г

т

М (г, 8 ) = £Д

V=1

— (v) —(v)

WWsy./Jis)),m <ю, (8)

где Ху — собственные значения матричного ядра м (г, ^) расположенные в порядке убывания их модулей, и вектор - функции.

(у)(г) = (С\г)..-ф('\г))Т — собственные ортонормированные вектор -функции соответствующие собственным значениям Яу .

В дальнейшем будем считать, что все собственные значения Ау матричного ядра М(г, 8) положительны. В силу полной непрерывности и само сопряженности оператора M, порожденного матричным ядром М (г, 8), ортонормированная последовательность собственных вектор-функций

{ф{у\г)} полна в Ь2(Я;Яп).

Для и(г) = (и1 (г) е Ь2 (Я; Яп )) определим норму

ю

ю —ю

ю

ю

—ю

u

n w

(t )11 = Tl (t )2

V ¿=i

Л 2 ( w ^ 2 с w 2

= | |u (t )||2 dt = T u ( V)

j V—w j j

где

dt

и ^ = К и(г ),ф^}) я = Д £ щ (г )ф)

—Ш —Ш V * = У

(У=1,2,...).

Семейство множеств корректностей, зависящее от параметра а , выделим следующим образом:

U

(V )

Ыа=\и{г )е ¿2 (к; К ): ¿Я—

I У=1

где с > 0, 0 < а < Ш,

U(v)= |(и(г),ф(^(г))¿г, (V = 1,2,..).

—Ш

Пусть и(г) = (и (г)) е Ма . Тогда

< С

(9)

u(tJ2 =Тui =Ta—au(V)I =Л Тл

i=1 V=1 V V=1

2Л

u

(V )

< Л

u(t Г < Л

(10)

2

Будем предполагать, что /(^)е К(Ма). Тогда уравнение (1) имеет решение (иг- (г)) е Ма и

40*) ^

силу (6),(7) и (8) имеем - г .

2 \\ И

V)(t)j

(^ Xs)...vn )(s))

V ип(s)j

, u(t) \dsdt = |

Tf (t)u (t)

dt

т.е.

w w t w

T 21 l (u(sWv)(s)d (u(t)Mv)(t)) dt = {( f (t), u(t)) dt .

V=1 —w

Отсюда

ТЛ

V=1

Яu(t),^(V) (t)}dt =\{f (t),u(t))dt,

т.е. м|2 = /(Д0, и(0Ц.

v=1 —Ш

Далее используя неравенства Гельдера, имеем

~ 2

ХлИ <||f(t>||-|u(4

V=1

(11)

С другой стороны

'(г )||2 = £

u

( V )

u I

2a

1+a a

Л

1 +a

u

(V)

1+a <

V=1

Л

T

u

I2 ^1+a

1 Л

ТЛ

u

(V)

V V=1

1 +a

w

w

2

a

w —w

w

2

w

w

—w

w

1

a.

2

_ (1 + а) / \

Здесь мы применили неравенство Гёльдера при р = 1 + а, Ц =- Учитывая и(г) е Ма и

а

(11), из последнего неравенства имеем

| а

||и(г)|2 < /(г|\п(г)||Г

отсюда получим следующую оценку устойчивости:

| а

\\и (г )|< с / (г)\\+а 0<а <да (12)

Таким образом, доказана

Теорема 1. Пусть оператор М порожденным матричным ядром М (г, 8) положительный, где М(г'8) определен по формуле(7) и (8).Тогда на множестве К(Ма ) . К(Ма ) образ Ма при

отображении оператором, К обратный К , обратный К к равномерно непрерывен с гёльдеровым

а

показателем-, т.е. справедлива оценка (12).

2 + а

Покажем, что решение системы уравнений

su(t,s)+ JK(t,s)u(s,s)ds = f (t), t e R, s> 0 (13)

будет регуляризирующим для системы (1) на множестве Ма . На самом деле, сделаем следующую подстановку в системе (1)

и(г, е) = и(г)+¡(г, е),

где и (г) е Ма - решение системы (1), получим:

е ¡(г, е) + | К (г, 8 ¡(8, е^8 = —е и(г).

—да

Отсюда, умножая на на е) , интегрируя от -да до да и учитывая (2) ,(5), (7) и (8) имеем

да да

ФМ|2 +1Л%^е)|2 <*][><•'I%(е). 04)

где ¡¡I (е)- коэффициенты Фурье для функции ¡¡(г, е), по ортонормированной системе ф")(' ) = {ФФ) (/)} т.е.

да

¡V(е) = I ¡(г(г))Ж,(у = 1,2,...).

1 2

|£М1<К'1, (15)

Применяя неравенство Гёльдера при Р = Ц = , и учитывая (10), из (14) получим

4

|2

(4 < < , 4 > 0, (16)

V—1

—да

да

да

С другой стороны

тт u(v )i &

a 1+a

1

1+a

_ ^2(1+a)

u

( v )

1 +a

(t ,*)|

u

(V)

1 +a

^2(1+a)

Отсюда, после применения к правой части обобщенного неравенства Гёльдера при

Р =

2(1 + a) / \ / ч 2(1 + a) v q = 2(1 + a), m = 2(1 + a), n = v 7

a

a

имеем 1

TTu(v)&(С< T&с)2*

V=1

v V=1

(1+a)2

TT

u

(V)

2 Л

■J na

1 А

2 Л

v 1/

(1+a)2

1a

l&MI 4 u(t )| ^.

( v )

w u

TT u

V=1 Л

2

a

V=1 Л

v J

£ |и )| (в)< £х & (в)

V=1 v v=1

Далее в силу и(^) е Ма, (15) и (16)

£ |и(-> £ (в)<(аХа )?с' (сха )1+\

22 & ,е)\i| u(t) 7.

из последнего неравенства имеем:

р+д

1 1

v=1

_ 2(1 + а) _ / ч

Отсюда, подставляя р =-, Ц = 2(1 + а), получим

a

т |u(v )| & (с)< с 2^a) (caa)2(c1)2(1+

V=1

т.е.

11 a

a a

T u(v) & (с)| < сЛ2(1+а)С1 с2(1+a)A*2(1+a)c

2(1+a)

v=1

a(2a+1) a

T «(v) & (с)< сA2<1+a) с

2(1+a)

v=1

Учитывая (18), из (14) имеем

1 a(2a+1) a

(17)

(18)

||и (г,е) — и (г 1 < с2х4(1+а) в4(1+а), 0 < а < да . (19)

м Н2

Таким образом, доказана. Теорема 2. Пусть оператор М порожденный матричным ядром М (г, *) положительный и / (г )е К (Ма). Тогда справедлива оценка (19), где и(1;,£ )-решение системы (13), и(1;)-решение

системы (1), М (г , *) определен по формуле (8).

Список использованной литературы:

1.Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода. ДАН СССР .1959. 127,№1.с31-33

2.Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и

a

1

a

а

V

1

q

w

w

a

w

)

a

да

w

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» № 1-2/2018 ISSN 2410-700Х анализа .М.: Наука 1980.

3.Иманалиев М.И., Асанов А. О решениях систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода. ДАН СССР. 1989. Т.309. №5.с 1052-1055.

4.Asanov A., M. Haluk Chelik, Kadenova Z. A. Uniqueness and Stability of Solutions of Linear Integral Equations of the First Kind with Two Variables.// International journal of contemporary mathematical sciences Vol. 7, 2013, no. 19, 907 - 914.HIKARI Ltd.

5.Asanov A., Kadenova Z. A. Uniqueness and Stability of Solutions for Certain Linear Equations of the First Kind with Two Variables.// Bulletin of Peoples Friendship of Russia. Moscow, Russia- 2013, №3- С. 30-36.

© Орозмаматова Ж.Ш., 2018