Регуляризация и устойчивость систем линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

А. Асанов, З. А. Каденова

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА ПЕРВОГО РОДА

Рассмотрены системы интегральных уравнений Фредгольма первого рода. Построены регуляризи-рующие системы уравнений в пространстве Ь2 ([а,Ь];Еп) и получены оценки устойчивости для решений системы уравнений на разных семействах множеств корректности.

Рассмотрим систему интегральных уравнений Фредгольма первого рода:

Ь

Ки Кя)и(я) = /(), 7е[а,Ь], (1)

а

где

Г А (7, я), а < я < 7 < Ь;

К (7, (2)

[в (7, я), а < 7 < я < Ь. К (7 ,5)=(К (7, я)) ,А (7, я)=(А (7, я)) ,в (7, я)=(В (7, я))е ь ([^Ь]х [а’Ь];м) ,

и (7) = (и (7)) , / (7) = (Л (7))е 12 ([^Ь]; Еп).

Множество сильно измеримых [4] операторных функций К(7,я)((/,я)е(а,Ь)х(а,Ь), —¥ < а < Ь <да) таких, что К (7, я) е М почти всюду и

Ь Ь

Л||К(7,я)2 сЬ& <¥, (3)

а а

обозначим через Ь2 ([а,Ь]х[а,Ь];М). Определяя скалярное произведение элементов К(7,я),

Ь Ь

F (7, я) е Ь2 ([а,Ь]х [а,Ь];М) формулой [К(,я),F (7, я) = Ц[К(, я),F(, я)] dsdt, получаем

а а

гильбертово пространство. Это скалярное произведение приводит к определению нормы ||к(7,я)|| элемента К(7,я)еЬ ([а,Ь]х[а,Ь];М) согласно формуле

1

Г Ь Ь \ 2

||К(7,5) = ||^|К(7,я)2 dsdt .

V а а 0

Множество сильно измеримых векторных функций и () (7 е [а,Ь]) таких, что и (7)е Яп

почти всюду и

Ь

Л |и (7)2 dt <¥ (4)

а

обозначим через Ь2 ([а,Ь];Еп) . Определяя скалярное произведение элементов и (7), »(()е Ь ([а, Ь]) формулой

Ь

[и (7 ),$( )] = Л [и (7 ),$( )] dt,

а

получаем гильбертово пространство. Это скалярное произведение приводит к определению нормы ||и (7)|| элемента и (7)е Ь2 [а,Ь] по формуле

1

Г Ь , ¥

||и (7 ) = |Л| |и (7)| |2 dt .

V а 0

Различные вопросы для интегральных уравнений Вольтерра первого рода ранее изучались в [1, 2], где были доказаны теоремы единственности, устойчивости и регуляризации. Доказана

теорема единственности решения системы уравнений (1) в пространстве Ь2 ([а,Ь];Еп) в [3],

в настоящей работе рассматриваются вопросы о регуляризации решения и построения регуля-ризирующих уравнений в пространстве Ь2 ([а,Ь];En).

В дальнейшем будем считать, что все собственные значения оператора A = К + К * положительны. В силу вполне непрерывности и самосопряженности оператора А, ортонормирован-

ная последовательность собственных вектор-функций {фП (7) полна в Ь2 ([а,Ь];En).

Пусть последовательность соответствующих собственных значений {1} расположена в порядке убывания их модулей.

I. Семейство множеств корректности, зависящее от параметра а, выделим следующим образом:

Г ¥ . (2 1

Ma=\U ()е Ь2 ( Ь]; Еп ) : Ё1 Н^ < С|

(5)

где с > 0, 0 < а<¥, иП)=ё и (7), (7) , ( = 1,2,...).

Так как

Ь

иП =Л[и dt,

а Ь

то ясно, что если и(7) еМа, имеем

||н (7)|| < с1а .

Будем предполагать, что / (7)е К (Ма). Тогда системы (1) имеет решение и (7)е Ма и спра-

ведливо

Отсюда

ь ь

|[и (), <^П)(і& =|[ / (і), и (і )] йі.

\и(у)\ £1 / ( )|-| и ()|| •

(6)

С другой стороны,

¥ и

2а

П )| 1+а

• 1+а|ип) Ьа <

¥ и

П) I2 ^1+а

Здесь мы применили неравенство Гёльдера при р = 1 + а, # = (1 + а)/а. Учитывая и(7)еМа из последнего неравенства имеем

1

||и (і)|| < С1+а и/ ()||||и (і)|

откуда получим следующую оценку устойчивости:

||и(і) <с2+а •]]/(і)|| ,0<а<¥.

(7)

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 1. Пусть оператор А = К + К * положительный. Тогда решение системы (1) в 4 (Кь];Еп) единственно. Кроме того, на множестве К (Ма) (К (Ма)) — образ Ма при отображении оператором К) оператор К1, обратный к К, равномерно непрерывен с гёльдеровым

а ґг7\

показателем-------, то есть справедливо оценка (7).

2 + а

Покажем, что решение системы уравнений

ь

еи (і,є) + | К (і, s)u (s,e^s = / (і), і є (а, Ь), е> 0 (8)

а

будет регуляризирующим для системы уравнений (1) на множестве Ма .

В самом деле, сделаем следующую подстановку в системе (8):

V =1

К=1

и(7,е) = и(7) + £(7,е) , где и (7) е Ма — решение системы (1). В результате получим

єХ(і,Є + \К(і,s)X(s,eds = ~еи (і) .

Отсюда

Г. ¥ . ¥ . ,

Ф!,е)I I+Ё1 Iх (е) I < еЁи п Х (е)^ (9)

V = 1 V = 1

где £ (е) — коэффициенты Фурье для функции Х(7,4), по ортонормированной системе

{ф) (7) = () (7))}. Применяя неравенство Гёльдера при р = д = 2, из (9) находим

хМ1<| 1Н (7 Я; (10)

¥ 2 2

Ё1 Iх (е)| < ф(7)|| < ес11а,е> 0. (11)

V =1

С другой стороны,

а

¥ ¥ |х (4)|Т+а а 1 1 а

Ё и’| X (4=ЕМ^ - 1’"+а’ Н' |‘+а X ( 4.)р ип ' |‘+а.

"=Т "=1 12(1+а)

Отсюда, после использования в правой части обобщенного неравенства Гёльдера значений

2 (1 + а) , . , . 2 (1 + а

р = —----- , д = 2(1 + а), от = 2(1 + а), п = — --

имеем

а

а

Е| и Цх (ФІЕІ х (е)|2 А1(1+а)2

а 1 ( V)|^ ^(1+а)2

( I ( • ■'12 ¥ и

а

V = 1 1

,е)|2(1+а)||и (і)2(1+а) ;

¥ I ¥

Е и( X МІ<|Е1 X (е)

¥ и

Е1

а

V =1 1

V 0

Далее, в силу и (7) е Ма и соотношений (10) и (11), получаем

¥ | I 1 — 11

ЁН" 1 Iх (^(^^Усд \\и ()||д+р,

V =1

¥ | | 1 1 р+д

Ё и ("> X (фц^с (1).

V =1

2 (1 + а) , ч

Отсюда, подставляя р = —---, д = 2(1 + а), находим

а

+а)

то есть

а а

Е и • ^ х (?)|< с 2(1+а) • с4 • с 2(1+а) • 141г(1+а) •е2<1+а).

а(а+3) а

■ 4(1+а) е 2(1+а)

Учитывая (13), из (9) имеем

а(а+3) а

8(1+а) 4(1+а)

0 < а <¥.

Таким образом, доказана

(12)

(13)

(14)

а

V =1

к=1

3

V =1

3

Теорема 2. Пусть оператор А = К + К * положительный и / ) е К (Ма ). Тогда справедлива оценка (14), где и (/,е) — решение системы (7), и (/) — решение системы (1).

II. Семейство множеств корректностей Маь выделим следующим образом:

Мар=\и()є4 (Ь]Еп):|)(<Со£1 ^ 1 ,(П 1 <С

І V=1 V=1

где с0 > 0, с > 0, 0 < а <*, а < р<*, и() =\ы (і),і^П) (і) , (= 1,2,...).

1 + а ё

Так как

и

и П)=|[и (О^^О] Ж.

а ^2

Предположим, что / (і) є К (Ма ). Тогда система (1) имеет решение и (і) є Мар и справед-

ливо

£\ |и(п }| <||/(іЦи (і)||.

С другой сторонні,

£ и 1 <1£1

¥ и

( V )

£

а

\ / а1 1+а

£ и(п А <(||/(і)||||и (і))1+а С

=1

Далее, учитывая (15), (17) и что и (і) є Ма/3, получим

Ь * , .2

ІІи(і)|| <со£и( п ]\,

V =1

1 _а

||и (і) < СоС>+а (/(і)|и (і)||)+

II ііЬ —и іі-а,,

и (і)|| < с0с'+а ||/(і)1+а|и (і))

р+ра-а 1 а

(і) і+а < СС-І/(і)||'+а

1+а

(15)

(16) (17)

(18)

и

и (і)|| <

||и (і)|| <

сос'+аі/ (і)і

р+ар-а

1

-> 1+а

1+а

р+ар-а

р+ар-а

(19)

Таким образом, доказана

Теорема 3. Пусть оператор А = К + К* положительный, К(Мар)сЬ2 ([а,Ь],Еп) — образ

Мар при отображении К. Тогда на множестве К (Мар) существует равномерно непрерывный оператор К1, обратный к К, т.е. справедлива оценка (19).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

=1

а

1. Лаврентьев М.М. Регуляризация операторных уравнений типа Вольтера // Проблемы математической физики и вычислительной математики. Сб. научн. трудов. М: Наука, 1977. С. 199-205.

2. Асанов А. Об одном классе систем интегральных уравнений Вольтерра первого рода // Функциональный анализ и его приложения, 1983. Т. 19, вып. 4. С. 73-74.

3. Асанов А, Каденова З.А. Об одном классе систем интегральных уравнений Фредгольма первого рода// Исслед.

по интегро-дифференц. уравнениям. Бишкек: Илим, 2002. Вып. 31. С. 172-182.

4. Талдыкин А.Т. Векторные функции и уравнения. Л.: ЛГУ, 1977. 242 с.

Поступила 25.05.2005 г.