Единственности и оценки устойчивости решений систем линейных интегральных уравнений первого рода с двумя независимыми переменными в неограниченных областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №5/2016 ISSN 2410-700X_

Реакции (1) - (4) вносят вклад в коэффициент ионизации, увеличивая его. Коэффициент ионизации, в свою очередь, влияет на напряжение зажигания разряда. Чем больше а , тем меньшее напряжение зажигания нужно приложить. За счет этого увеличивается долговечность катода. Список использованной литературы:

1. Атаев А.Е. Зажигание ртутных разрядных источников излучения высокого давления. М.: МЭИ, 1995. 168 с.

2. Райзер Ю.П. Физика газового разряда. - М.: Наука, 1987. - 592 c.

3. Kristya V.I. Glow discharges and tokamaks / Ed. Murphy S.A. - New York: Nova Sci. Publ. - 2010. - P. 329 -365.

© Дубинина М.С., 2016

УДК 517.968

Каденова Зууракан Ажимаматовна - к.ф.-м.н., доцент, Заместитель министра труда и социального развития

Кыргызской Республики

ЕДИНСТВЕННОСТИ И ОЦЕНКИ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ

Аннотация

В данной статье исследована единственность решений систем линейных интегральных уравнений первого рода с двумя независимыми переменными в неограниченных областях, в которых оператор порожденный ядрами, не является компактным оператором.

Ключевые слова

Линейные интегральные уравнения, первого рода, с двумя независимыми переменными, единственность.

Kadenova Zuurakan Ajimamatovna -the candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, Deputy ministry of labor and social developmentof the Kyrgyz Republic,

+996 555 88 40 66 [email protected]

UNIQUENESS AND STABILITY OF SOLUTIONS SYSTEMS OF THE LINEAR INTEGRAL EQUATIONS OF THE FIRST KIND WITH TWO INDEPENDENT VARIABLES IN UNLIMITED AREAS

Abstract

This article is devoted to the study of the uniqueness of solutions systems of the linear integral equations of the frst kind with two independent variables in which the operator generated by the kernel, is not compact operator.

Key words and phrases Linear integral equations, first kind, two variables, solution and uniqueness.

В настоящей статье на основе метода неотрицательных квадратичных форм для систем линейных интегральных уравнений первого рода с двумя независимыми переменными в неограниченных областях доказаны теоремы единственности и получены оценки устойчивости. Рассмотрим систему уравнений

ъ

Ки = | К (г, х, у )и(г, у ~)4у + | Н (г, х, ^ )и(з, х ^ +11С (г, х, у )и(з, у =

а ¡0 ¡0 а

= /(г, х), (г, х) е О, О = {г,х)е Я2: г0 < Г <да, а < х < ъ\

'■. х

где

К (г, х, у) Н (г, х, 5) =

(1) (2)

(3)

самосопряженные

\А(, х, у), г0 < г <да, а < у < х < Ъ; [в(г, х, у), г0 < г <да, а < х < у < Ъ,

М (г, Ъ;

Ж (г, х, 5), г0 < г < 5 < да, а < х < Ъ,

А(г, х, у), в(г, х, у), м (г, х, 5), N (г, х, 5), С (г, х, 5, у) -известные П X П -мерные матричные функции, определенные соответственно в области О = {(г,х,у): г0 < г <да, а < у < х < Ъ}; О = {(г,х,у): г0 < г < да, а < х < у < Ъ}; О = {(г,х,5): г0 < 5 < г < да, а < х < Ъ};

04 = {(г,х,5): г0 < г < 5 < да, а < х < Ъ};

05 = {(г,х,5,у): г0 < 5 < г <да, а < у < х < Ъ}.

/(г, х) -известная, и (г, х) -неизвестная п -мерные вектор-функции.

Основополагающие результаты для интегральных уравнений Фредгольма первого рода получены в [1,2], где для решения линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода построены регуляризирующие операторы по М.М. Лаврентьеву. Единственность и устойчивость решения для одного класса интегральных уравнений первого рода рассмотрены в [3, 4]. В данной работе исследуется

единственность решения системы уравнений (1) в классе ¿2,п (О) . Введем следующие обозначения:

1) Совокупность всех матриц, действующих в Я" обозначим М, < . , . > - скалярное произведение в Я", ||А||, ||м|| - нормы соответственно П X П - мерной матрицы А = (агу ) е М и п - мерного вектора и

, т.е. для любых и = (м1, и2,..., Пп ), & = (&1,&2,...,&п )е Я"

<и,&) = и & + и& 32 +...+ип &

п п'

,1/2

\ = 4м, И = |]Г £ (а^ ) I ;

;=1 ]=1

т.е. для

2) ¿2,п (О) - пространство п - мерных векторов с элементами из ¿2 (О) , любого и (г, х) е Ь2п (О)

^ -норма ]

в -2,п (О) -

|1и(г, х||- =

V 'о

да Ъ 2

Ц\\и(г,х)|| dxdг

и а

3) ¿2 ((О

((О2); м) - ,

^ -норма в ¿21

пространство П X П - мерных матриц с элементами из ¿2 (О ), ¿2 ((о 2 ) м) - т.е . для любого А(г, х, 5, у) е ¿2 ((О2 ) ; М)

да

и

1

2

да да b b

, х, у = ЦЦЦ А^, х, у )||2 dydxdsdt

V t0 t0 а а у

Предполагается, что ядро ||С(t, X, 5, у| е Ь2 О2 ) и C(t, X, 5, у) = С*(5, у, t, х), (}, X, 5, у)е О2 , где С - сопряженная матрица к матрице С . Тогда матричное ядро С^, X, 5, у) разлагается в ряд в

О2):

смысле сходимости в норме пространстве ^2,,

P \t, х х)

С х s y ) = £ Ai

n

(t, x )

рПП )(t, x

(p }(s,y),...,P}(s,y)) l < m < да,

(3)

где

|(p( )(t, x))=(p^)(t, x))| - ортонормированная последовательность собственных вектор -

функций из L2,n (G), } - последовательность соответствующих ненулевых собственных значений

интегрального оператора С, порожденного матричным ядром C (t, х, y ), причем элементы A} расположены в порядке убывания их модулей т.е.

AI* ....

Обозначим

P(s, y, z) = A(s, y, z) + B* (5, z, y),

Q(s, y, t) = M (s, y,r) + N (t, y, s). (5)

где B (5, z, y), N (t, y, S) -соответственно сопряженные матрицы к матрице B(s, z, y), N(t, y, s).

Потребуем выполнения следующих условий:

1)МатрицаP(s,b,a), lim Q(t,y,t0), Pz(s,b,z), lim QT(t,y,t)-неотрицательны соответственно

t^-да t^-да

при всех значениях s e[t0, да], y e[a, b], (s, z), (t, y)e g,

||P(s,b,a)eC[to,да], ||lim Q(t,y,t,|eC[a,b] ||Pz(s,b,z)|eC(g), |im Qt(t,y,r|eС(G);

2) Матрицы Py (s, У, a), Qs (s, y, ^ ), Py (s, y, z), Qzs (s, У,т) - неположительны при всех значениях соответственно (s,y) e G, (s,y,z)e G2, (s,y,r)e GA,

\Py(s,y,alleC(G), Q(s,y,t,)eC(G), P(s,y,z|eC&), Q(s,y,rj|eC(G3);

3) Выполняется хотя бы одно из следующих четырех условий:

матрица p y (s, У, aj - отрицательны;

Py (s, У, a) - < Pz (s, b, z)- положительны;

1) при почти всех (s, y )e[t0, да] x [a, b]

2) при почти всех (s, z )e[t0, да] x [a, b]

3) при почти всех (s,y)e G

4) при почти всех (t, y) e G матрица lim QT(t, y, t) - положительны;

матрица

матрица Qs (s, y, t0 ) - отрицательны;

2

i=l

и для любого

У(г, х) е ¿2 (О),

х Ъ г да

| А(г, х, у)у(г, y)dy, | в(г, х, у)у(г, y)dy, | М (г, х, 5)у(5, х)&, | N (г, х, ф( 5, х)& е ¿2>л (О), где

а х 'о '

Со,да), С(О), С(О) и С(Оз)-пространство всех непрерывных и ограниченных функций соответственно в области [го, да) 0, О1 и Оз ;

4) Матричное ядро С (г, х, 5, у) - представимо в виде разложении (4) все элементы последовательности

{л}

неотрицательны.

5) Матричное ядро С (', х, 5, у) - представимо в виде разложении (4) все элементы

последовательности {Л} -положительны.

Теорема. Пусть выполняются условия 1), 2), 3) и 4). Тогда решение системы (1) единственно в пространстве ¿2,п (О)

Доказательство. В силу (2), (3) систему уравнений (1) запишем в виде

у Ъ г

| А(', х, у )и(', у )оу + | в(г, х, у )и (', у )оу + | М (', х, 5 )и (5, х ^х +

а у 'о

да да x

+ J N(t, x, s)u (s, x)dx +J J С(t, x, s, y)u (s, y )dyds = /(t, x).

(6)

t t0 а

Обе части системы (6) скалярно умножим на u(t, x) и интегрируем по области G, применяя формулу Дирихле и учитывая обозначения (5), получим

да b /y \ да bis \

J J \ J ^ У,z)u(s,z)dz, u(s, y ))dsdy + J J ( J Q(s, y, т)и(т, y)dr, u(s, y )\dsdy +

to a \a l to a \to

Ъ да / да у \ Ъ да

+1 | / 11Су, г, 2)и(г, г)dzdr, и(5, у) \dsdy =| ^/(у, у)и(5, у)dyds. (7)

а 'о \'о а ¡а 'о

Преобразуем первый два интеграла левой части уравнения (7). Известно что, если К- самосопряженная матрица размеров П X П, то

(*&,&,) = ±(*&,&>, - 1{кл&); (8)

где & - некоторый п мерный вектор-функция.

" иV = —и(

Далее имея ввиду, что —J и y = -и(г, y),

виду

г

с помощью интегрирования по частям и с учетом (8) первый слагаемый левой части (7) преобразуем к

да ъ ¡у \ да ъ Iу ^ {у Л \

у, 2М5,2У2,и(5, уУ)\dsdy = — | и |у, 2)— |dz,у) Wyds =

'о / 'О 52 V2 I /

= - j/P(s,b,a) ju(s,v)dv I, ju(s,v)dv\ds - - JJ(Pr (s,y,a) ju(s,v)dv , ju(s,v)dv jdyds +

21„\ V a J a I t0 a \ Va J a /

1 даb I (Ъ \ Ь \ Iю b y I fy \ y \

+-ЩPz(s,b,z) ju(s,v)dv , ju(s,v)dv\dzds — Iii/^(s,y,z) ju(s,v)dv I, ju(s,v)dv jdzdyds. (9)

J z

V z

bis

Аналогично, для второго слагаемого имеем

j Д j Q(s, y,Mr, y )dr, u (s, y ) \ dsdy

¿0 a у0

Л b l да да \ i да b s s \

-Дlim Q(t,y,t0)jufe,y)fe,jufe,y)dfedy ---jj(Qs(s,y,10)jufe,yjufe,ydyds

1 даъ / да да \ ..да bs s s \

-jj limQT(t,y,r)jufe,y)dfejufe,y)dAdydT---ЩQn(s,y,r)jufe,y)dfejufe,y)dfe\dzdyds. (10)

t0 a \ t T I ?0 a ?0 \ T t /

2" Ыда'

to а \ г г I ^ а ^

Подставляя (4), (9), (10) в (7) получим

Ь \ Ь \ л да ь

-1/P(s,b,a) ju(s,v)dv I, ju(s,v)dv\ds - - jj(Pr(s,y,a) ju(s,v)dv I, ju(s,v)dv jdyds

t) \ V a J a I 210 a \ V a J a /

j да W ( ъ I ъ \ 2 да ъ y I i y I y \

+-IKP(s,b,z) ju(s,v)dv ,ju(s,v)dvjdzds — jjj/P^(s,y,z) ju(s,v)dv I, ju(s,v)dv )dzdyds +

V z

У z

ъ / да да »

- j jim Q(t, y, 10 )j ufe, y )fe,j ufe, y )fe\ dy -

a \ t0 t0 /

- ||(qs (s, У, t0 ^ y )dfe ju(fe yЮ dyds + - jj/lim Qz(t, y,r)j «fe, y )fe, j ufe, y)dA dydr-

^ a \ t0 t0 I t0 a \ T t I

да b s I s s \

- - j j К q (s, y,T)ju(fe y№, ju(fe yWy^+

да b s

b да

b да

+ X A j j|(р(г}(s, y), u(s, y) dsdy = j^f(s, y), u(s, y))dyds.

l=l a 4 a i„

(11)

Пусть /(, ^)= 0, (г, х) е О. Тогда учитывая условия 1), 2), 3) и 4) из (11) имеем и (г, х )= 0 при

всех , х) е Теорема доказана.

В силу вполне непрерывности и самосопряженности оператора С, порожденного матричным ядром

С ^, X, 5, у ), ортонормированная последовательность собственных вектор - функций х))=(^,х)>}_ полна в А,п (О).

Семейство множеств корректности, зависящее от параметра а, выделим следующим образом:

(да 2 1

и^,X)е ь2п(о): ^Луа и{у} < с|,где с > 0, 0 < а < да,

U a

f0 a a

z

z

+

t

U a

L a

L a a

z

z

^ a t

т

т

0 " '0

ад b

и(у) = Ц(и(г,х),р<У)(г,х))ёхёг, (у = 1,2,...,).

'о а

Пусть /(', х) е К(ма), где оператор К определено по формуле (1).

Тогда система (1) имеет решение и(г, х) е ма и из последнего равенства, имеем

II

У=1

U

(v )

<

a

ад b

{{(f (t,x ), w(t,x )) dxdt

Отсюда, используя неравенства Гельдера, имеем

ад о

» 2

и И <f (t, x)|L ||u(t, x)

У=1

С другой стороны

оэ

iiu (t ,x )|2 =i

и

(у)

2a 1+a

y=1

1

--A1+a

a у

1+a

и

(у)

2

1+a <

f ад UУ) 2 1+a f ад 2

I IV и У)

1

y=1 1у=1 У

1

1 +a

Здесь мы применили неравенство Гёльдера при p =

1 + a

a

-, q = 1 + a.

Пусть w(t, x) G Ma . Тогда учитывая (13) из неравенства (14) имеем

||w(t, x)|L 2 < с^(l f (t, x|L ||w(t, x)

a +a

L2 X' '' l2 '' -L2 '

Отсюда получим следующую оценку устойчивости: 1

||w(t, x) < с 2+a||f (t, x) 2+a, 0 < a < ад. (15)

(12)

(13)

(14)

Таким образом, доказана теорема

Теорема 1. Пусть выполняются условия 1), 2),3) и 5), К(ма)С ¿2,п (0)- образ ма при отображении К. Тогда решение системы (1) единственно в ¿2,п (о) и на множестве К(ма ) оператор К-1

, обратный к К, равномерно непрерывен с гёльдеровым показателем

a

2 + a

, т.е. справедлива оценка (15).

Список использованной литературы:

1. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода. // ДАН СССР. 1959. Т.127, № 1. с. 31-33.

2. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.

3. Asanov A., M. Haluk Chelik, Kadenova Z. A. Uniqueness and Stability of Solutions of Linear Integral Equations of the First Kind with Two Variables.// International journal of contemporary mathematical sciences Vol. 7, 2013, no. 19, 907 - 914.HIKARI Ltd.

4. Imanaliev M.I., AsanovA., Kadenova Z.A. A Class of Linier Intergral Eguations of the First Kind with Two Independent Variables. ISSN 1064-5624, Doklady Mathematics, 2014, Vol.89, № 1, pp.98-102.

© Каденова З.А., 2016

2

fn a

L

2,n

a

a