Один класс систем линейных интегральных уравнений первого рода с двумя независимыми переменными Текст научной статьи по специальности «Математика»

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №5/2016 ISSN 2410-700X_

УДК 517.968

Каденова Зууракан Ажимаматовна/ Kadenova Zuurakan Ajimamatovna

кандидат физико-математических наук, доцент, Заместитель министра труда и социального развития Кыргызской Республики, г. Бишкек

ОДИН КЛАСС СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА С

ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

Аннотация

В статье на основе методы функционального анализа и метода неотрицательных квадратичных форм для систем линейных интегральных уравнений первого рода с двумя независимыми переменными доказаны теорема единственности решений для одного класса.

Ключевые слова

Систем линейных интегральных уравнений, первого рода, с двумя независимыми

переменными, единственность.

Рассмотрим систему уравнений

b t Tb

Ku = | K (t, x, y ~)u(t, y ~)dy + | H (t, x, ^ )u(s, x )ds + Ц C (t, x, s, y ~)u(s, y ~)dyds =

a t0 t0 а

= f (t, x), (t, x) e G, G =[t, x)e R2 : t0 < t < T, а < x < bj, (1)

где

( л \А(и х, у\ Г0 < X < Т, а < у < х < Ь; К (X, х, у ) = < , ч (2)

[Я^, х, у), ^ < X < Т, а < х < у < Ь,

А(, x, у), в(х, x, у), Н(х, x, в), Сx, ^ у) - известные П X П -мерные матричные функции, определенные соответственно в области

в, = {((, х, у): Х0 < X < Т, а < у < х < Ь\ в2 = {(X, х, у) :Х0<Х< Т, а < х < у < Ь\ в = {(X, х, в): X0< в <X< Т, а < х < Ь}, в2 = в х в,

у ' -известная, и (X, х) -неизвестная " -мерные вектор-функции. Основополагающие результаты для интегральных уравнений Фредгольма первого рода получены в [1,2], где для решения линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода построены регуляризирующие операторы по М.М. Лаврентьеву. Единственность и устойчивость решения для одного класса интегральных уравнений первого рода рассмотрены в [3, 4]. В данной работе исследуется

единственность решения системы уравнений (1) в классе (в) . Введем следующие обозначения:

1. Совокупность всех матриц, действующих в Я" обозначим М, < . , . > - скалярное произведение в Я", ||А||, ||и|| - нормы соответственно П X П - мерной матрицы А = (а^ ) е М и " - мерного вектора и , т.е.

для любых и = (щ,и2,...,ип), 3 = 3,32,...,3" ) е Я

(и,3) = Щ 3 + и2 3 +...+ип 3п,

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №5/2016 2410-700Х

= 7^, И| = (£ £ (ар )2] ;

¿=1 j=\

2. Ь2п (О) - пространство п - мерных вектор функций с элементами из ¿2 (О) , * ^ -норма в п (О) - т.е. для любого и(г, х) е Ь2 п (О)

¿(г,

т ь

ии,х II =

2 ^ 2 и(г, х) ёхёг

3. ^ 11О

((О2); м) -

пространство П X П - мерных матриц функций с элементами из (О2),

-норма в ((о2 );М) - т.е. для любого А(г, х, з, у) е ((о2 ) ;М)

т т ь ь

А, х, з, у = ЩЦ А(г, х, з, у )

1

V г0 г0

4. С[го,Т), С(О), С(О) и С(О3)-пространство всех непрерывных и ограниченных функций соответственно в области [¿0,Т), О, О и Оъ.

Предполагается, что ядро ||С(г, х, з, у) е ь2 (о 2) и с(г, х, з, у) = С * (з, у, г, х), (г, х, з, у)е О2,

где С - сопряженная матрица к матрице С . Тогда матричное ядро С(?, х, з, у) разлагается в ряд в

смысле сходимости в норме пространстве

(О2):

У '(г, х^

С ^ х, з, у

У , х)у

(У)(з,у),...,У)(з,у)), I < т < ю,

(3)

где Цу^ )(г, х))=(yv)(t, х))} - ортонормированная последовательность собственных вектор -функций из и (о) , {Л} - последовательность соответствующих ненулевых собственных значений

интегрального оператора С, порожденного матричным ядром С (г, х, з, у), причем элементы Л} расположены в порядке убывания их модулей т.е.

|л| ЧЛ ^....

Обозначим

Р(з, у, г) = А(з, у, г) + Б*(з, г, у), (з, у, 7)е О1. (4)

где В*(з, г, у)— сопряженная матрица к матрице В(з, г, у). Потребуем выполнения следующих условий:

1) Р*(з, у, г) = Р(з, у, г) У(з, у, г)е О1.

2) Матрицы Р(з, Ь, а), Н(Т, у, г0), Рг'(у, Ь, г), НГ(Т, у, г) - неотрицательны соответственно при всех значениях 5 е [¿0, Т], у е [а, б], (з, г), (г, у) е О,

|Р(з, Ь, а ) е С[г0, Т ] ||Н (Т, у, г0 )е С[а, Ь] |Рг'(з, Ь, г )е С (О), ||Н;(Т, у,г|е С(О);

1/2

и

и а

¿=1

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №5/2016 ISSN 2410-700X_

3) Матрицы py(s, y, а), H;(s, y, t0 ), P';y (s, y, z), H"s (s, y, т) - неположительны соответственно

при всех значениях (s, y) e G, (s, y, z) e Gl, (s, y, т) e G3 ,

|Py'(s,y,а)| e C(G), ||h;(s,y,t0)|e C(g), P(s,y,z)|e C(ßx), \\H"Ts(s,y^e C(G3); 4)

Выполняется хотя бы одно из следующих четырех условий:

а) при почти всех (s, y) e G матрица Py(s?y, a) - отрицательны;

б) при почти всех (s, z) e G матрица Pz(s, b, z) - положительны;

в) при почти всех (s,У)e G матрица H; (s, y, t0 ) - отрицательны;

г) при почти всех (т, y )e G матрица Н'т (Т, y, т) - положительны;

x b t

и для любого v(t, x) e L2 (g), J A(t, x, y)v(t, y)dy, J B(t, x, y)v(t, y)dy, J H (t, x, s)v(s, x)ds el2 (g);

a x to

5) Матричное ядро C(t, x, s, y ) - представимо в виде разложении (3), все элементы

последовательности к} неотрицательны.

Теоремы. Пусть выполняются условия 1), 2), 3), 4) и 5). Тогда решение системы (1) единственно в пространстве L2n (G)

Доказательство. В силу (2) систему уравнений (1) запишем в виде

x b t

J A(t, x, y)u(t, y)dy + Jß(t, x, y)u(t, y)dy + J H(t, x, s)u(s, x)ds +

a x t0

T b

+ JJC(t, x,s,yU(s,у~)dyds = f (t, x), (t, x)e G. (5)

to a

Обе части системы (5), скалярно умножая на U (t, x ) , интегрируем по области G и применяя формулу Дирихле, имеем

JÜ J A(s,У, z) + B (s, z,y)]u(s, z)dz, u(s,y Пdyds +

to a \a I

bTls \

+ JJ/J H (s, y Tu (т, y )dT , u (s, y n dsdy +

a to \to /

b T ¡T b \ b T

+ J J \ J J C (s, У,т, z )u (т, z )dzd т, u(s, y M dsdy = J J ( f (s, y ), u (s, y)) dsdy. (6)

a to \to a ato

Отсюда, учитывая обозначения (4), получим

T b ly \ bT /s \

J К J P(s, У,z )u (s,z )dz, u(s, У У) dyds +J К J H (s, У, т)u (т, y )d^ u (s, y) \ dsdy +

to a \a /dto \to I

b T It b \ b T

+ JJ \ JJ C (s, У,т, z )u (т, z )dzd т, u(s, y П dsdy =J ^ f (s, y ), u(s, y )) dsdy. (7)

ato \to a I a to

Преобразуем первый два интеграла левой части уравнения (7). Известно что, если К- самосопряженная

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №5/2016 ISSN 2410-700X

матричная функция размеров n X n, то (K3, 3') =1 ((K3, 3))s -1 (K'3,3); (8)

где 3 - некоторый n мерный вектор - функция. Далее, имея ввиду, что dv

J y )dZ = -u(z, y ^

с помощью интегрирования по частям и с учетом (8) левой части (7) преобразуем к виду

т / ь ь

(5, ь, а )Г и(я, у у,\ и(5, У)

1 / " " \

1 д P(s, b, a )J u(s, v)dv, J u(s, v )d v ) ds -

210\ a a /

J J \

—J J( P'y(s, y, a )J u(s,v)dv, J u(s, v)dv Wyds +

2 t0 a \ a a /

J T b I b b \

+ — JJ p (s, b, z )J u(s, v)dv, J u(s, v)dv jdzds -

to a \ z z /

\T b у l у у \

— JJJ P"y(s, У, z )J w(s, v)dv, J u(s, v)dv jdzdyds +

to a a \ z z /

1 b I T T \

+ — Д H (T, y, t o )J u(£, у feJ u (£ у )d^ dy -

a \ to to /

. b T I s s \

- — JJ H\ (s, у, to )J u у )d£ J u(|, у )dM dsdy +

a ^ \ to to /

1 b t i t t \

+ — in Hr(T, у, x)J u(£ у )d£ J u(£ у )d^ dтdy -

a to \ x x

b T s / s s \

— JJK H (s, у, x)J u(£ у )/£ J u(£ у )/£ Wsdy +

a to to \ X X /

т | |2

+ Е ЛI {|(У )(з, у), и(з, у))| йзйу = 11 (/(у, у), и(з, у))^у. (9)

'=1 а ?о а ?о

Пусть /(^, х) = 0, , х) е О.

Тогда, учитывая условия 1), 2), 3), 4) и 5), из (9) имеем и ^, х )= 0 при всех ^, х) е О. Теорема

b T „ b T

■ ( )i '

_____________________________ ] " _______ Je

доказана.

Список использованной литературы:

1. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода. // ДАН СССР. 1959. Т.127, № 1. с. 31-33.

2. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.

3. Asanov A., M. Haluk Chelik, Kadenova Z. A. Uniqueness and Stability of Solutions of Linear Integral Equations of the First Kind with Two Variables.// International journal of contemporary mathematical sciences Vol. 7, 2013, no. 19, 907 - 914.HIKARI Ltd.

4. Imanaliev M.I., AsanovA., Kadenova Z.A. A Class of Linier Intergral Eguations of the First Kind with Two Independent Variables. ISSN 1064-5624, Doklady Mathematics, 2014, Vol.89, № 1, pp.98-102.

© Каденова З.А., 2016