О единственности решений систем линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода на полуоси Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» № 1-2/2018 ISSN 2410-700Х

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 517.968

Каденова З.А.

г.Бишкек. д.ф.-м.н, доцент Kadenova71 @mail.ru Орозмаматова Ж.Ш. г. Ош ст.преп. ОшТУ Jypar75@mail.ru

О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА ПЕРВОГО РОДА НА ПОЛУОСИ

Аннотация

В статье рассмотрены вопросы единственности решений систем линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода на полуоси.

Ключевые слова

Линейные интеральные уравнения первого рода, система, единственность решений, полуось

Z.A. Kadenova , Zh.Sh. Orozmamatova

ON THE UNIQUENESS OF SOLUTIONS OF SYSTEMS OF LINEAR FREDHOLM INTEGRAL EQUATIONS OF THE FIRST KIND ON THE SEMIAXIS

Abstract

In the article the questions of uniqueness of solutions of systems of linear Fredholm integral equations of the first kind in the semiaxis.

Key words and phrases linear integral equations first kind, system, uniqueness of solutions, semiaxis.

Негизги сездер

биринчи типтеги сызыктуу интегралдык тендемелер, система, чыгарылышынын жалгыздыгы, жарым ок

Постановка задач. В настоящей статье на основе метода неотрицательных квадратичных форм доказана теорема единственности решений для систем линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода на полуоси.

Рассмотрим систему вида

Ku = J K(t, ^)u(s)ds = f (t), t e [a, да),

(1)

f A(t, s), a < s < t <да; где K (t, s) = f (2)

[B(t, s), a < t < s <да.

A(t, s) = al} (t, s) =

f s) ^^ s) ... ai„ (t, s)^ s) a22 (t, s) - a2n (t, s)

Vanl (t, s) an2 (t, s) - ann (t, s)У

a

B(t, s ) = bj (t, s) =

f b„(t, s) bl2 (t, s) ... bln (t, s^

b21 S) b22 (t, S) - b2n ^ S) bn1 (t, S) bn2 ^ S) .. bnn S)j

/ (г) = (/ (г)) = (/1(г\--fn (г)),

и(г) = (и,- С)) = Ы* ),...и„ (г ))т,

Здесь А(1^) и Б(1;,8)- данные матричные функции, ОД-известная вектор функция, и(1;)-неизвестная вектор -функция.

Для матрица А=(а^) и вектора £=(£1) определим норму

f n n

A = fZ Zb

1

Л2

=1 j =1 У

i

II II fvi f12

M = 1L Kl

V i=i У

Для и=(щ) , у=(уО е Я", определим скалярное произведение

п

{и, V) = £ им .

¿=1

Всюду будем предполагать, что

(г, е 12 (а, да) х [а, да)), /(г) е 12 [а, да).

Отметим, что интегральные уравнения первого рода или интегральные уравнение сводящиеся к ним были изучены [1-5], где были получены теоремы единственности устойчивости и регуляризации. Запишем системы (1) в виде

J A(t, s)u(s)ds + J B(t, s)u(s)ds = f (t).

(3)

Обе части системы (3) скалярно умножим на п-мерную вектор- функцию и(). Полученное произведение интегрируем по области а < г < да . Тогда получим

да I г \ да I s \ да

д | А(г, и(г )\ Лг + К | в(г, з)и^)Ж, и(г )\ Лг = | (/ (г), и(г)) Л, (4)

\с

Применяя формулу Дирихле, из (4) имеем

да t

J J (A(t, s)u(s), u(t) )dsdt + J J ( B(t, s)u (s), u(t) )dtds = J (f (t), u(t)) dt,

а а а а а

да t да s да

J J (A(t, s)u(s), u(t ))dsdt + J J ^ u(s), B* (t, s)u(t) ^dtds = J (f (t), u(t)) dt

•а а а а

да t да s да

J J (A(t, s)u(s), u(t) )dsdt + J J ( B* (t, s)u(t), u(s) ^dtds = J (f (t), u (t)) dt,

а а а а а

да t да

J J((A(t, s) + B*(s, t))u(s),u(t)}dsdt = J(f (t),u(t))dt.

аа да t

Обозначая

t

а

а \а

а

а а

а

H(t, s) = A(t, s) + B* (s, t) (t, s) e G = {(t, s)| a < s < t < да},

из (5) получим

да t

J J( Н (t, s)u(s), u(t)) dsdt = J( f (t), u(t)) dt

Предполагаем выполнение следующих условий:

а) Н(, 5) имеет производные Н{ (¿, а), Я, (¿, £), (¿, S)

(Я(¿, а))* = Н(¿, а), (Я^,,))* = Н^,,), (н" (г,,))* = Н,>,,) где н матрице Н и Н ( t, ,)|| ,||Я, ( Г, ,)||, ||Я, ( Г, ,)|| Е ¿2 (О) ;

(6)

(7)

и

сопряженная матрица к

б) lim (H(b, a)u, u) > 0, Vu =

i^-да

u

u

v u» У

e ^^

т.е. H(да,a)> 0;

H(t, a)u, u) < 0, Vu e т.е. Ht'(t, a) < 0; Vt e [a, да); lim (Hs(b,s)u,u) > 0, Vu e lim H '(b,s)> 0; Vs e [a,да)•

t^да \ ' t^да s

H(t, s)u, u) < 0, Vu e т.е. Hst"(t,s) < 0, V(t, s) e G.

в) выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1) (h\ (t, a)u, u^ < 0, Vu e , u * 0 т.е. Ht' (t, a) < 0 при почти всех t e [a, да);

2) (Hs (b, s)u, u^ > 0, Vu e , u * 0 т.е. H'(b,s) > 0 при почти всех s e [a,да);

3) (Н"(t, s)u, u) < 0, Vu e ^, u * 0 т.е. H/(t,s)< 0 при почти всех

(t, s) e G = {(t, s): a < s < t < да}.

Для преобразования левой части системы (7) используем следующие соотношения

t

= z (t, s) = J u(y)dv

s

dsz(t, s) = -u(s )ds,

u(s )ds = -dsz (t, s),

(z(t, s), u(t)) = 1 d (z(t, s), z(t, s)) dt - (H (t, s) zs (t, s), u(t)} = ( Hs (t, s) z(t, s), u(t)) - ((H (t, s) z(t, s), u(t)> )s', H(t, a)z(t, a), zt (t, a)^ =1 (H(t, a)z(t, a), z(t, a)^ -1 ^Ht (t, a)z(t, a), z(t, a)

(8)

да

a a

a

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» № 1-2/2018 ISSN 2410-700Х

'Hs(t,s)z(t,s),z(t,s)) = 1{H's(t,s)z(t,s),z(t,s))t --{h'[s(t,s)z(t,s),z(t,s)).

Тогда применяя формулы Дирихле имеем следующую соотношение

Ji JH(t,s)u(s)ds,u(t)\dt = -J/JH(t,s)z's(t,s)ds,u(t)\dt =

-J<

H (t, s) z (t, s)

t

J H \(t, s) z(t, s)ds

, u (t) )dt,

да t

J( H (t, а) z (t, а), zt(t, ä^j dt + J J^ Hs (t, s), zt (t, sfj dsdt =

а а дада

H (t, а) z(t, а), z't (t, а)) dt + J J^ H' (t, s) z (t, s), zt (t, s)f dtds (10)

а а s

Используя выше указанные соотношения, получим

да ^

J ^ H (t, а) z (t, а), zt (t, d)j dt = - ( H (да, а) z (да, а), z(<x>, а)} -

да

—J( Ht (t, а) z (t, а), z (t, а)^ dt,

а

да да ^ да

J J (H\ (t, s)z(t, s), zt (t, s)}dtds = - J (H\ (b, s)z(b, s), z(b, s)}ds -

а s а

дада

- - JJ( H" (t, s) z(t, s), z(t, s))dtds.

2

а s

Учитывая (11), (12) и формулу Дирихле из (10) имеем

да / t

4 u(t) )at = — ш (да,a)z(да

да ' \ 1

J / J H (t, s)u(s)ds, u (t )\ dt = -{H ( да, а)z(да, а), z(<x, а)) -

а \а / 2

дада

- - J (H't (t, а)z(t, а), z(t, а)}dt + - J^H[ (да, s)z(<x, s), z(да, s)}ds

а

^ да t

- - J КH" (t, s)z(t, s), z(t, s))ds

Тогда в силу (13), соотношение (7) примет вид

да t ^

J J (H(t, s)u(s)ds, u(t))dt = - (и[ (b, а)z(b, а), z(b, а^ds -

а а

дада

- - J ^Ht (t, а)z(t, а), z(t, dfjdt + - J ^H's (да, s)z(<x>, s), z(<x>, s)jds -

а

да

J J (H"st (t, s)z(t, s), z(t, sfjdsdt = J (f (t), u(t))dt.

(11)

(12)

(13)

аа

аа

а

а

да

а

да

а

а

а

да t

аа

а

да

т.е. J u(y)dy = 0 при

s

Список использованной литературы:

1.Асанов А., Каденова З.А. Регуляризация и единственность решений систем линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода.// Труды международной конференции «Inverse and Ill-Posed Problems of Mathematical Physics», dedicated to Professor M. M. Lavrentiev on the occasion of his 75-th birthday. August 20-25, 2007. Novosibirsk, Russia. Электронный сборник.

2.Асанов А., Каденова З.А. Единственность и устойчивость решений систем линейных интегральных уравнений первого рода с двумя независимыми переменными.// Труды межд. конф.«1пуегее and Ill-Posed Problems of Mathematical Physics», dedicated to Professor M. M. Lavrentiev on the occasion of his 80-th birthday August 5-12, 2012, Novosibirsk, Russia.

3.Асанов А., Каденова З.А. Регуляризация и устойчивость решений систем линейных интегральных уравнений первого рода с двумя независимыми переменными.// Труды межд. конф. «Функциональный анализ и его приложения», посвященную 70-летию со дня рождения д.ф.-м.н., академика Национальной Академии наук РК М. Отелбаева, 2- 5 октября 2012 г., г. Астана, Казакстан.

4.Асанов А., Каденова З. А. Интегральное уравнение первого рода с двумя независимыми переменными.-Германия: «Немецкое издательство LAP LAMBERT Academic Publishing», 2012.- 178 стр.

5.Асанов А., Каденова З. А. Об единственности решений линейных интегральных уравнений первого рода с двумя независимыми переменными.// Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. Бишкек: Илим, 2010,- Вып.43- С. 46-53.

Арсенин В.Я., Иванов В.В. О решении некоторых интегральных уравнений первого рода типа свертки методом регуляризации. // ЖВМ и МФ.-1968.-8.-№2.

© Каденова З.А., Орозмаматова Ж.Ш., 2018

УДК 517.968

Орозмаматова Ж.Ш.

г. ОШ ст.преп.ОшТУ Jypar75@mail.ru

РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ И ОЦЕНКИ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА ПЕРВОГО РОДА НА ОСИ

Аннотация

Рассмотрена регуляризация и получены оценки устойчивость решений систем линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода на оси

Пусть в (14) / (г) = 0. Тогда, в силу условий б) и в) из (14) вытекает, что г

, а) = 0 т.е. |и№ = 0 при г е[а, да) или ¿(да, ^) = 0

a

8 е [а, да).

Далее, в силу условия в), и() = 0. Итак доказана следующая теорема. Теорема 1. Пусть выполняются условия а), б), и в).

Тогда решение системы (1) единственно ([а, да), ^ ).