CC BY
39
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №5/2016 ISSN 2410-700X_
Уравнение импульсов для жидкой фазы имеет следующий вид:
о = -а ^ - F F = F + F + F
0 ^ 0 Qx 1 , Г Fm + ГЦ+ FB,
Fm =- 1Vmi^^ioasoPi(^i-O), FM = 9TßaioasoMi(Oi-VS)а-,
FB = 9Тв(1- 0«i o«soflo-1 (о - O
Здесь Fm - сила присоединенных масс, вызванная инерционным взаимодействием фаз, F^ - аналог
силы вязкого трения Стокса, F^ - аналог силы Бассэ, проявляющейся при высоких частотах из-за нестационарности вязкого пограничного слоя около границы с твердой фазой, щ - динамическая вязкость жидкости, Т}т, Т] ^, 7]в - коэффициенты, зависящие от параметров пористой среды. Нижний индекс
j = S, l будем относить к параметрам скелета и жидкости в порах.
Список использованной литературы:
1. Городецкая НС. Волны на границе пористо-упругого полупространства / / Акустический вестник. 2005. Т. 8. № 1-2. С. 28.
2. Губайдуллин А.А., Кучугурина О.Ю. Распространение слабых возмущений в трещиновато-пористых средах// ПММ. 1999. Т. 63. Вып. 5. С. 816.
© Лысенко Д. В., Дмитриев В.Л., 2016
УДК 517.968
Орозмаматова Жыпар Шермаматовна
старший преподаватель, ОшТУ г. Ош, Кыргызская Республика E-mail: [email protected]
О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА ПЕРВОГО РОДА В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ
Аннотация
В настоящей статье рассмотрена единственности решений линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода в неограниченных областях.
Ключевые слова Линейные интегральные уравнения, первого рода, единственность.
Key words and phrases
Linear integral equations, first kind, uniqueness.
Постановка задач. В настоящей статье на основе метода неотрицательных квадратичных форм доказана теорема единственности решений для линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода в неограниченных областях.
Рассмотрим уравнение вида
да
Ku = j K(t, s)u(s)ds = f (t), t e [a, да), (1)
a
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №5/2016 ISSN 2410-700X_
где
, ч f Ait, s), a < s < t < да,
к (t, s H / : , (2)
v 7 [B{t, s), a < t < s < да. ()
Предполагается, что A(t, s) и B(t, s ) являются дважды непрерывно- дифференцируемые функции
соответственно на {(t, s) : a < s < t < да} , [a, да) и {(t, s) : a < t < s < да}, решение u(t)
ищется в L\ü, да), где L\ü, да) - пространства суммируемых функций в [a, да) .
Отметим, что интегральные уравнения Вольтера первого рода или интегральные уравнения, сводящиеся к ним, ранее изучались частности в [1], [4], [5], [6], [7], где были получены теоремы единственности, оценки устойчивости и построены регуляризирующие операторы. Но основополагающие результаты для интегральных уравнений Фредгольма первого рода получены в [2,3], где для решения линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода построены регуляризирующие операторы по М.М. Лаврентьеву. В работах [8], [9] изучены вопросы регуляризации и единственности решений линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода на конечном отрезке. В данной работе, доказывается
единственность решения уравнения (1), в пространстве —2 [a, да) .
Будем предполагать выполненными следующие условия: a) H (t, s ) = A(t, s )+B(s, t ) имеют производные
Ht'(t, a), lim H's (b, s), H"st (t, s) при всех (t, s) e G = {(t, s), a < s < t < да};
a) lim H(t,a)> 0, H'(t, a)< 0, lim H's(t,5)> 0, H"'(t,s)< 0;
в) выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1) H"(t, a) < 0 при почти всех t е [a, x),
2) lim H"(t, 5)> 0
при почти всех 5 е [a, x),
г
3) И'[г (?, 5*) < 0 при почти всех ^,5)е О . В силу (2), уравнение (1) запишем в виде
t да
J A(t, s) u (s) ds + J B(t, s) u (s) ds = f (t). (3)
t
Обе части уравнения (3) умножим на функцию и (?) и полученное произведение интегрируем по
области а < г < х . Тогда получим
да да
)ии)и (г)азаг + Цв(г,з)и(з)и(г)азаг = | т(г)и\
а а а г
Применяя формулу Дирихле, из (4) имеем
да г да £
(г, з)и (з) и (г)азах +Г [в(г, з )и (з )и (г )агаз = | т (г)и (г)
да t да да да
J J A(t, s )u (s ) u (t ) dsdt + J J B(t, s )u (s )u (t )dsdt = J f (t )u (t )dt. (4)
J J A(t, s ) u (s ) u (t ) dsdt + J J B(t, s )u (s )u (t )dtds = J f (t ) u (t )dt, т. е.
a a a a a
да t да
J J [A(t, s ) + B(s, t )]u (s )u (t )dsdt = J f (t )u (t ) dt.
a a a
Обозначим
H (t, s)= A(t, s)+ B(s, t ).
a
Тогда
JJH(t, s)u (s)ds u (t)dt = J f (t)u (t)dt.
Введем обозначения
Отсюда
t
z(t, s) = J u (v)dv .
s
(5)
(6)
dsz(t, s) = -u (s )ds, u (s) ds = -dsz (t, s ),
z (t, s )u (t) dt = - dt (z2 (t, s ))l
(7)
С помощью формул (6), (7) и интегрирования по частям, использую формулу Дирихле в левой части соотношения (5) преобразуем его к виду:
ю г ю ^ г
|Н(г, 5(г, 5) и (г)йг = -| Н(г, я5) Н[(г, 5(г, 5^ и(г)йг =
а
а _ а _ а ь а _
ю г ю
= Н (г, а )г(г, а )]и (г )йг -11Н [ (г, 5 (г, 5 )и (г )йг = | Н (г, а )^(г, а )и (г )йг +
а а а
1 ю ю ю К
. . . 1 ю
Н[ (г, 5)?(г, (г)йг = ^ | Н(г, а2 (г, а)+11Н[ (г, ^(г, 5)и (г) ййз = ^ Н(г, а2 (г, а) -
да t
+ f\Н 'It.
да
J H '(t, fl )z2 (t, fl )dt+-
H% s )dtz2 (t, s)
ds =1 lim H(t, fl)z2 (t, fl) -
2'^да
f H; (t, fl)z2 (t, fl)dt+- f [h; (t, s)z2 (t, s) - f H;; (t, s)z2 (t, s)dtds = - lim H(t, fl)z2 (t, fl)
» 2 - ^ /^да
2 ^да
- J H; (t, a)z2 (t, ad + - lim J H; (t, s)z2 (t, s)ds - - J J H;; (t, s)z2 (t, s)dsdt = 2 2 ^да * 2
а а а а
| | да | да | да t
- lim H(t, a)z2 (t, fl) — J H; (t, fl)z2 (t, a)dt + - lim J H; (да, s)z2 (да, s)ds — J J H "й (t, s)z2 (t, s)dsdt:
21 ^да 2 21^^ 2
:- lim H(t, а) [ u(s)ds
2 t^да J
| да I t | да I да
-JH;(t,fl) Ju(t)ds dt + -lim JH';(t,s) Jw
ds -
b t rt
-1JJH'lt(t,s) Ju(^)d^
dsdt, где z (t, t) = 0 .
Таким образом, из (4) имеем
да t
J J H (t, s )u(s)dsu (t )dt =
^ да I да t | да да
= -lim H(t, fl) Ju(s)ds - - JH;(t, fl) Ju(t)ds dt + -lim JH;(t, s)Ju(§)d£,
2 _ а _ 2 а _ а _ 2 fl _ s
, b t Г t "I2 да
- -JJH";t(t, s) Ju(f)d£ dsdt = Jf(t)u(t)dt .
а а _ s _ fl
В силу условия а) для любого решения u (t) уравнения (1) получили (8).
ds -
fl fl
а
да
да
fl
fl
s
да
да
да
2
fl
да t
n
2
2
2
2
2
2
Пусть
/ (' )= 0. Тогда в силу условий б), в) из (8) вытекает, что
х г
|и(з)аз = 0, |и= 0 . Далее, в силу условия в) и (/) = 0.
а з
И так, доказана следующая теорема
Теорема. Пусть выполняются условия а), б) и в). Тогда решение уравнения (1) единственно в классе Ь2 [а х).
Список использованной литературы:
1. Магницкий Н.А. Линейные интегральные уравнения Вольтера первого рода и третьего рода // журнал вычислительной математики и математический физики. Т.19.№4, 1979, с. 970-989.
2. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода. // ДАН СССР. 1959. Т.127, № 1. с. 31-33.
3. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.
4. Иманалиев М.И., Асанов А. Регуляризация, единственность и существование решения для интегральных уравнений Вольтера первого рода. //Исследования по интегро-дифференциальным уравнениям. - Фрунзе: Илим, 1988. Выпуск 21. с. 3-38.
5. Иманалиев М.И., Асанов А. О решениях систем нелинейных интегральных уравнений Вольтера первого рода. // ДАН СССР. 1989. Т. 309. № 5. с. 1052-1055.
6. Асанов А. О единственности решения операторных уравнений Вольтерра.// Известия АН Киргизской ССР, 1988.- №1.-С.13-18.
7. Асанов А., Каденова З.А. О единственности решения для одного класса интегральных уравнений Фредгольма первого рода. // Труды Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара: Сам ГТУ, 2004.-Ч.3.-С.122-126.
8. Асанов А., Каденова З.А. Регуляризация и устойчивость систем линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода. // Вестник Самарского Государственного Технического Университета. Серия физико-математические науки. Самара: Сам ГТУ, 2005. №38. с. 11-14.
© Орозмаматова Ж.Ш., 2016
УДК 517.968
Орозмаматова Жыпар Шермаматовна
старший преподаватель, ОшТУг. Ош, Кыргызская Республика
E-mail: [email protected]
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА ПЕРВОГО РОДА В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ
J.Sh. Orozmamatova
REGULARIZATION OF SYSTEMS LINEAR INTEGRAL EQUATIONS OF FREDGOLM OF THE
FIRST KIND WITH IN UNLIMITED AREAS
Аннотация
В настоящей статье рассмотрена регуляризация и получены оценки устойчивости решений систем линейных интегральных уравнений первого рода в неограниченных областях.
In the present article regularization and of stability of systems linear integral equations of Fredgolm of the
