Об одном классе систем линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода на полуоси Текст научной статьи по специальности «Математика»

Фундаментальные и прикладные исследования по приоритетным направлениям развития науки и техники

УДК 517.968

А. Асанов., Ж.Ш. Орозмаматова

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА ТРЕТЬЕГО РОДА НА ПОЛУОСИ

Кыргызско-Турецкий университет Манас, Ошский технологический университет

Аннотация: Методом неотрицательных квадратичных форм изучены вопросы единственности решений для одного класса систем линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода на полуоси.

Ключевые слова: Систем линейных интегральных уравнений,Фредгольма, третьего рода, единственность решений, полуось

UDC 517.968

A. Asanov., J.S. Orozmamatova

A CLASS OF SYSTEMS OF LINEAR FREDHOLM INTEGRAL EQUATIONS OF THE THIRD KIND ON THE SEMIAXIS

Kyrgyz Turkish Manas University, Osh Technological University

Abstract: In the article the method of the square form ave studing the uniqueness of solutions of class of systems of linear Fredholm integral equations of the third kind in the semi axis.

Key words: system of linear integral equations, Fredholm, third kind, system, the uniqueness of solutions, the semi axis.

Рассмотрим систему вида

да

P(t)u(t) + J K(t, s)u (s)ds = f (t), t e [a, да), (1)

a

f A(t, s), a < s < t <да; где K(t, s) = f ^ , ) < ^ < ' (2)

I B(t, s), a < t < s < да.

РЦ) =

грЛ*) РиН)

РпЬ ) Р22 () V Рп\ ( ) Рп 2 ( )

.. Р\п

•• Р2п )

•• Рпп )

Ч\(^5) а\2 (, 5) •• • а\п (, 5Г

а(, 5)=а^. (!, 5) = а2\(, 5) а22 (, 5) • • а2п (, 5)

Уап\ (, 5) ап 2 (, 5) • • апп (, 51

' Ъ\\(!, 5 ) Ъ\2(t, 5) •• • Ъщ (!, 5 ^

Б(и 5) = Ъц (!, 5) = Ъ2\(, 5) Ъ22 (, 5) • • Ъ2п , 5)

VЪп\ (, 5) Ъп2 , 5) • • Ъпп , 5

/ (О = (Л (0) = Ш),-/п С ))т, "С) = (и,- (!)) = (и\(!),••" (!))Т,

Здесь P(t), A(t,s) и B(t,s)- данные матричные функции, f(t)-известная вектор функция, ^^-неизвестная вектор - функция.

Различные вопросы теории интегральных уравнений исследовались во многих работах. В частности, в работах [1-2] дан обзор результатов по интегральным уравнениям второго рода. В работе [3-4] для линейных интегральных уравнений Вольтерры первого и третьего рода с гладкими ядрами доказано существование многопараметрического семейства решений. В работах [5-6] для решений линейных интегральных уравнений Фредгольма первого рода построены регуляризирующие по Лаврентьеву операторы. Доказаны теоремы единственности решений и построены регуляризирующие по Лаврентьеву операторы [7-8]. Доказаны теоремы единственности решений и построены регуляризирующие по Лаврентьеву операторы для систем линейных и нелинейных интегральных уравнений Вольтерры первого рода с негладкими матричными ядрами в работах [9-10], для систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерры третьего рода в работах [11-12] и для систем линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего в работе [13-15].

Здесь методом неотрицательных квадратичных форм доказана теорема единственности решений систем линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода на полуоси.

Для матриы A=(aij) и вектора ?=(£) определим норму

III

V г=\ 1=\

\

Л2

а,.

и =

I К

1

V ,=1

Для u=(ui) , v=(vi)е Яп, определим скалярное произведение

п

(и, V) = 1 щг, .

,=1

Всюду будем предполагать, что

II*(!, е ь2 (а, ®) X [а, »)), ||/(0|| е Ь2 [а, ®). Запишем системы (1) в виде

»SI

I

I f

&

о

t œ

P(t )u(t ) + J A(t, s )u (s )ds + J B(t , s )u(s )ds = f (t ). (3)

a t

Обе части системы (3) скалярно умножим на n-мерную вектор- функцию U(t). Полученное произведение интегрируем по области a < t < œ . Тогда получим

œ œ t \

J ( P(t )u (t ), u (t )) dt + J ( J A(t, s)u (s)ds, u (t )\ dt +

0 a \a /

œ /œ \ Г (4)

+ H J B(t, s)u (s)ds, u (t )) dt + J ( f (t ), u(t )) dt.

at

Учитывая формулу

(P(t)u, u) = ^ — [p(t) + P* (t)]u, uj, Vu e Rn.

,2

и применяя формулу Дирихле, из (4) имеем

J (P(t)u(t), u (t ))dt + J J ( A(t, s)u(s), u(t))dsdt + J J (u(s)B * (t, s)u(t )^dtds

0 a a a a

œ

= J( f (t ), u(t )) dt,

т.

е.

œ t

œ / \ œ t

J( - [p(t ) + P * (t )]/ (t ), u(t )\ dt + J J ( A(t, s)u (s), u (t ))dsdt +

0 \2

0 > 1 a a

+

Обозначая

œ t œ (5)

î* ...

J J ( B * ( s, t )u (s), u(t )) dsdt = J ( f (t ), u (t )) dt.

H (t, s ) = A(t, s ) + B* (s, t ) (t, s) e G = {(t, s)\ a < s < t < œ}, (6)

из (5) получим

œ л œ t œ

J - [P(t ) + P* (t )\(t ), u(t )dt + J J ( Н (t, s)u(s), u(t )) dsdt = J ( f (t ), u(t )) dt. (7)

Предполагаем выполнение следующих условий:

а) H(t, s) имеет производные Ht (t, a), Hs (t, s), Hst (t, s) и (H(t,a))* = H(t,a), (H's(t,s))* = H's(t,s), (h"(t,s))* = H,"(t,s) где H* сопряженная матрица к матрице Hи (t,s)||, Ht(t,s)||,||Hs(t,s) ,||Hts(t,s)| e L2(G), ||P(t)|| e C[a, да)-пространство всех непрерывных и ограниченных функции в [a, да);

a

a

a

a

a a

a

lim (H(t, a)u, u) > 0, Vu =

t ^да

u

u

V un У

e Rn

т.е. H(да,a)> 0;

(и\(t, a)u, u^ < 0, Vu e Rn т.е. Ht'(t,a) < 0; Vt e [a, да); lim lHs(t,s)u,u) > 0, Vu e Rn те lim H '(t,s)>0; Vs e [a,да)•

t^-да \ ' t ^да s

H (t, s)u, u) < 0, Vu e Rn т.е. Hs"(t, s)< 0, V(t, s) e G, 1 p(t) + P* (t)]u, ^ > «(t)||u\\2, Vu e Rn, «(t) e C[a, да), a(t) > 0 при почти всех t e [a, да).

в) выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1) (H\(t, a)u,u} < 0, Vu e Rn,u * 0 т.е. Ht (t,a) < 0 при почти всех t e [a, да);

2) Hm(Hs(t,s)u,u) > 0, Vu e Rn,u * 0 т.е. H, (t,s)> 0 при почти всех s e [a,да);

3) (H"t (t, s)u, u) < 0, Vu e Rn, u * 0 т.е. Hsi (t,s)< 0 при почти

всех (t, s)e G = {(t, s): a < s < t < да};

4) «(t) > 0 при почти всех t e [a, да).

Для преобразования левой части системы (7) используем следующие

соотношения

t

z(t, s) = J u(y)dv

(8)

dsz (t, s )= -u(s )ds, u(s )ds = -dsz (t, s),

(z(t, s), u(t)) = I (z(t, s), z(t, s)) ¿t

(9)

-( H (/, 5) 5), u(t)) = ( Н[(!, 5) z(t, 5), u(t ))-((H (/, 5) z(t, 5), u(t}) )',

\ \ \ / Н(!, а)z(t, а), z| (!, а)| = - (Н(!, а)а), а)), - - (Н (!, а)а), а)

Н (^ 5)z(t, 5), z, (t, 5)) = \ Я (t, 5)z(t, 5), z(!, 5^ - \ (Н" (^ 5)z(t, 5), z(t, 5) Тогда применяя формулы Дирихле имеем следующую соотношение

s

I £

I

'I f

&

tn

да t

да t

J ( J H (t, s)u(s)ds, u (t)) dt = - J ( J H (t, s) z'(t, s)ds, u (t )\ dt =

a \a / a \a /

да да t

= J ^ H (t, a) z(t, a), zt (t, a)j dt + J J ^ H \ (t, s), z (t, s) zt (t, s)j dsdt =

a

да

aa

дада

= J (H(t, a)z(t, a), zt (t, a)}dt + J J (H\ (t, s)z(t, s), zt (t, s)}dtds. (10)

a as

Используя выше указанные соотношения, получим

да |

J ^ H (t, a) z(t, a), z't (t, afj dt = —(H (да, a) z (да, a), z (да, a)} -

a 2

хда (11)

— J ^ Ht (t, a) z (t, a), z (t, a)j dt,

2 a

да да 1 да

J J (Hs (t, s)z(t, s), zt (t, s))dtds = — J (Hs (да, s)z(да, s), z(да, s))ds -

as a

дада

- — J КH" (t, s)z(t, s), z(t, s))dtds.

(12)

да \ 1

J / J H(t, s)u(s)ds, u(t))dt = — (H(да, a)z(да, a), z(да, a)) -

a \a /

j да j да

- — J (H; (t, a)z(t, a), z(t, afjdt + — J ^Hs (да, s)z(да, s), z(да, s)}ds -

(13)

dt.

j да t

- — J К Hit (t, s) z (t, s), z (t, s)) ds

a L a

Тогда в силу (13), соотношение (7) примет вид J (— [P(t) + P* (t(t), u(tdt + J J H(t, s)u(s), u(t))dsdt

0 0

да / л \ 1

J — [p(t) + P* (t)]u(t), u(t)\dt + — (H's (да, a)z(<^, a), z(да, a)) -

дада

--J ^Ht (t, a)z(t, a), z(t, a)jdt +--J ^Hs (да, s)z(<^, s), z(<^, s')^ds -

(14)

2 J N ' ' 2

a a

да t да

- J J(H"(t, s)z(t, s), z(t, s^jdsdt = J(f(t), u(t))dt.

a a a

Пусть в (14) f (t) = 0. Тогда, в силу условий б) и в) из (14)

вытекает, что

as

a

- да

z(t, a) = 0 т.е. j и(У)dv = 0 при t e [а, да) или s) = 0 т.е. ju(v)dv = 0

при

^ е [а, да) или ) = 0, е [а, да).

Далее, в силу условия в), и() = 0, при t е [а, да) Итак доказана следующая теорема. Теорема. Пусть выполняются условия а), б), и в).

Тогда решение системы (1) единственно в пространстве ^ ([а, да), ) Пример. Рассмотрим систему (1) при п=2, а=0

P(t )

t

1 +12 - m(t )

A(t, s) =

m(t )

2t 1 +12 t

/ (t )

/1(t ï /2(t)

(15)

4

(1 +1 )(1 + s) (3 +1 )(2 + s)

2

5

(1 +1 )(1 + s2) (6 +1 )(3 + s)

B(t, s)

1

2

(1 +1 )(1 + s) (1 +12)(1 + s)

- 4

- 5

v (2 + t)(3 + s) (3 +t)(6 + s) j m(t ) g C[0, да), fx(t ), f2(t ) g L2 (0, да).

В этом случае все условия теоремы выполняются при

1 [P(t) + P* (t)] =

t

1 +1 2 0

0 2t

v

H (t, s) =

v

0 0 0 0

(t, s) e G;a(t) =

1 +1 y t

1 +1 '

, t e [0, да)

Список литературы

1. Ерышев В.А., Косков М.Ю. К методике определения момента трещинообразования изгибаемых железобетонных элементов по нелинейной деформационной модели // Вестник НГИЭИ. 2017. № 12 (79). С. 32-42.

2. Цалюк З.Б. Интегральные уравнения Вольтерра // Итоги науки и техники. Мат.анализ. Т.15. М.,1977. С 131-198

3. Кузичкин А.А. Разработка математической модели процесса каталитического риформинга // Вестник НГИЭИ. 2017. № 9 (76). С. 23-28.

4. Магницкий Н.А. Линейные интегральные уравнения Вольтера первого рода и третьего рода // Журнал вычислительной математики и математический физики. 1979.

a

s

Т.19. №4. С. 970-989.

5. Иманалиев М.И., Асанов А. О решениях систем линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода. // ДАН 2010. Т. 430. № 6. С. 734-737.

6. Нечаев Ю.Б., Борисов Д.Н., Пешков И.В. Оценка точности автокалибровочных методов определения координат источников радиоизлучения с условно-постоянной моделью амплитудно-фазовых ошибок в каналах цифровой антенной решетки // Телекоммуникации. 2011. № 5. С. 34-42.

7. Иманалиев М.И., Асанов А. О решениях систем нелинейных интегральных уравнений Вольтера первого рода. // ДАН 2007. Т. 415. № 1. С. 14-17.

8. Казиахмедов Т.Б. О проблемах интеллектуализации информационных систем // Вестник Нижневартовского государственного университета. 2013. № 1. С. 20-22.

9. Иманалиев М.И., Асанов А. О решениях систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода. // ДАН СССР. 1989. Т.309. №5. С. 1052-1055.

10. Старожилова О.В.Математическое моделирование нелинейных задач деформирования оболочек // Science, technology and life - 2014 Proceedings of the international scientific conference. 2015. С. 24-27.

11. Берман Н.Д., Кузьминых Т.С. Решение задач оптимизации транспортной логистики в Mathcad Prime 3.1 (на примере транспортной задачи) // Лучшая научно-исследовательская работа 2017 сборник статей победителей VII Международного научно-практического конкурса. 2017. С. 12-16.

12. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода. // ДАН СССР.1959. Т. 127. № 1. С. 31-33.

13. Бурков А.Ф. История электротехники до конца XIX века. - Владивосток, 2006. - 153 с.

14. Хостикоев М.З., Тюлина Н.В.Сравнение статистических методов расчета припусков на механическую обработку // Горный информационно-аналитический бюллетень (научно-технический журнал). 2012. № 12. С. 115-116.

15. Pisarev O.A., Glasova N.V. Choice of procedures for preparative chromatography // Journal of Chromatography A. 2003. Т. 1018. № 2. С. 129-136.

Информация об авторах: Information about authors:

Асанов Авыт Асанович, Asanov Avyt Asanovich,

Доктор физико-математических наук, профессор Doctor of Physics and Mathematics, Professor

Кыргызско-Турецкий университет Манас, Kyrgyz-Turkish University Manas, Bishkek, Kyrgyzstan г. Бишкек, Кыргызстан

Орозмаматова Жыпаргул Шермаматовна, Orozmamatova Zhypargul Shermamatovna,

Старший преподаватель, Ошский Senior Lecturer, Osh Technological University, Osh,

технологический университет, г. Ош, Kyrgyzstan Кыргызстан