CC BY
43
МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №1/2016 ISSN 2410-700Х_
где вектор с = (с1; с2; ...; cq)Удовлетворяет системе
Ас = Q, (16)
матрицы А, Q определены по формуле (14); 4) если для всех i = 1, ...,q
f
(tfi(x),F(x))dx = 0
и г = r(A) = r(B) < q, то в пространстве L2n(a, го)существует решение системы (1), представленное
я)
в виде (15), где вектор с = (С1;С2; ...;с„)т зависит от ц — г произвольных постоянных и удовлетворяет
системе (16).
Доказательство. В случае 1), по альтернативе Фредгольма система (5) в пространстве Ь2п(а,^)не имеет решения. Поэтому система (1) тоже в Ь2,п(а, го)не имеет решения. В случаях 2), 3) и 4) по альтернативе Фредгольма система (5) имеет решение, представленное в виде (15), где с1, ...,cqпроизвольные постоянные. Подставляя (15) в (6) имеем систему уравнений (16). Применяя теорему Кронекера-Капелли к системе (16) доказываем утверждения 2), 3) и 4) следствия 2 теоремы . Список использованной литературы
1. Цалюк З.Б. В кн.: Итоги науки и техники. Сер. Матем. Анализ, М., 1977, т.15, с.131-198.
2. Магницкий Н.А. Линейные интегральные уравнения Вольтерра I и III рода //Журн. Вычисл. Матем. и матем. физики. 1979, т.19, №4, с.970-989.
3. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980, 286 с.
4. Иманалиев М.И., Асанов А. О решениях систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода//. Доклады АН СССР, 1989, т-309, №5, с.1052-1055.
5. Иманалиев М.И., Асанов А. Регуляризация и единственность решений систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра третьего рода // Доклады РАН, 2007, т.415, №1, с.14-17.
6. Иманалиев М.И., Асанов А., Асанов Р.А. Об одном классе систем линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода // Доклады РАН, 2011, т.437, №5, с.592-596.
© А. Асанов, М.И. Иманалиев, Р.А. Асанов, 2016
а
УДК 517.926
Асанова Каныкей Авытовна
младший научный сотрудник ИТиПМ НАН КР, г. Бишкек, Кыргызская Республика E-mail: [email protected] Асанов Рухидин Авытович канд. физ-мат. наук, и.о. доцента КГТУ, г. Бишкек, Кыргызская Республика E-mail: [email protected]
ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Аннотация
В данной работе на основе разложения линейных дифференциальных операторов третьего порядка получены формулы для решения одного класса линейных дифференциальных уравнений третьего порядка с переменными коэффициентами. Показаны, что некоторые известные формулы
Ключевые слова
Формулы, решения, линейные, дифференциальные уравнения, третьего порядка.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
у'" + а1(Ь)у" + а2(Ъ)у' + а3(Ь)у = Г(1), (1)
где £ е С, С = или С = , ^ < , аг(Ь), а2(Ь), а3(Ь) и /(Ь) - известные непрерывные
функции на С.
Многие работы посвящены к нахождению формулы для решения дифференциальных уравнений. В частности, работах [1-6] получены формулы для решения линейных и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Но в общем случае формулы для решения линейных дифференциальных уравнений второго и выше второго порядка не были получены. В данной работе получены формулы для решения одного класса линейных дифференциальных уравнений третьего порядка с переменными коэффициентами.
Теорема 1. Пусть Ь0е С функции а^(Ь),а2(Ь) и а3(Ь) представимы в виде
АО
a1(t) =к (t) + 2K(t) —
ß(t)'
2K(t) -
ß'(t)
ß(t)
+
a2(t) = 3K'(t)—ß"(t)ß-1(t) + (ß'(t))2ß-2(t)+x (t)
+K2(t)+ß2(t)—^K(t),
ß'(t) , ß"(t) a3(t) = 2K(t)K'(t) + 2ß(t)ß'(t) + K"(t) -^H-K'(t) -^rrK(t) +
ß(t)
ß(t)
+(ß'(t)) ß-2(t)K(t)+K (t)
ß'(t)
K2(t) + ß2(t) + K'(t) -^H-K(t)
ß(t)
где £ е С и f(t), К''(Ь),Р''(£), <х (Ь)е С(в), при всех £ е С. Тогда общее решение
дифференциального уравнения (1) записывается в виде
3
y(t)=yo(t) + ^ciyi(t), t е G, i=i
(2)
где сг,С2 и с3 - произвольные постоянные Уо(0 = I ехР { — I К(т^)й,т
V 5
ß(s)
s
е
f(r)dr} sin
L f
ß(r)dr
ds,
y1(t) = exp {— f K(s)ds } cos f ß(s)ds
I to ) k
N Wf
y2(t) = exp{— I K(s)ds>sin I ß(s)ds
to
t s
y3(t) = f j exP { — f K(t)dT — f к (r)dr} sin f ß(r)dr
ds,
£о V 5 ^о
Доказательство. В этом случае, в силу условия теоремы 1 дифференциальное уравнение (1) можно записать в виде
(t) ) [у" + p(t)y' + q(t)y] = f(t), t e (ti, t2)
где
t
s
o
t
o
t
t
p(t) = 2K(t)
ß'(t) ß(t) '
q(t)=K2(t)+ß2(t) + K'(t)
ß'(t) ß(t)
т.
Из (3) имеем
у" + p(t)y' + q(t)y = e h<>
- 0-LK(s)ds
I
c3 + I eft>(s)dsf(s)ds
где £ е С,с3 - произвольная постоянная. Учитывая (4) и на основе работы [6], общее решение дифференциального уравнения (5) записывается в виде (2). Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Пусть е С и функции а1 (Ь), а,2 (О и а3 (Ь) представимы в виде
Р'(!)
а^О =к (0 + 2К(0—^, а2(0 = 2 к'(I)+ 2 к (ОВД — [к (0 + ВД] + К2(1) + /32(1) + К'(Ь),
а3(Ь) =к'' (Ь) + 2 к' (Ь)К(Ь) — [к' (1)+к (Ь)К(Ь)] + К2(1) + /32(1) + К'(Ц
где £ е в и f(t), к'' (Ь),К'(Ь), Р'(£)е С(в), Ф 0 для всех £ е в. Тогда общее решение дифференциального уравнения (1) записывается в виде
y(t) = yo(t) + ^ciyi(t), t e G,
1=1
где с1, С2 и С3 - произвольные постоянные,
г ( г Ш
Уо(0 = I ехр<— I к (1)йт>< I ехр
¿0 V ^ ) ^о
а
I
K(r)dr
№ . sin
ß(T)
■ ь
I
ß(r)dr
dr} ds,
y^t) = exp { — I ^ (t)dr},
(4)
(5)
(6)
y2(t) = I exp { — I ^ (T)dT — I K(r)dr} sin I ß(r)dr t0 у s t0 J Lio
t i t s \ s
y3(t) = I exP { — I K (r)dx — I K(r)dr} cos I ß(r)dr
ds,
ds,
Доказательство. В силу условия теоремы 2 дифференциальное уравнение (1) можно записать в
виде
d2
d
äi+pv-ä+iv
\y'(t)+K (t)y(t)]=f(t),t e G,
где р(Ь) и q(t) определены по формуле (4). Вводя обозначения
2(0 = у'(0+к (Ь)у(О, дифференциальное уравнения (7) запишем в виде
г'' + р(ф' + ц(£)г = /(Ь), £ е в. Учитывая (4) и на основе работы [ 3], общее решение уравнения (9) записывается в виде
г(0 = го(0 + ¿2^(0 + Сзг2(Ь), £ е в, где С2 и С3 - произвольные постоянные
(7)
(8) (9)
V
t
t
o
X
Т
t
o
t
t
s
s
t
t
t
s
o
o
o
zt(t) = exp {— j K(s)ds } cos j
to t
ß(s)ds
z2(t) = exp\— j K(s)dsisin j ß(s)ds
to )
(11)
Zo(t)
= jexp\-j
K(r)dr
f(s) ß(s)
sin
L j
ß(r)dr
ds, t e G.
Учитывая (10) и (11), из (8) получим
y(t) = c1 exp
L j
к (s)ds
+
+
t Л r s s
j exp { — j к (r)dr} { j exp — j K(r)dr
№ ß(r)
sin
j
ß(r)dr
dr +
s s
+ c2 exp — j K(r)dr sin j ß(r)dr +
. to to
s s
+ c3 exp — j K(r)dr COS j ß(r)dr
J . to J to
(12)
■ ds =
= УоЮ + С1у1(р) + С2У2(£) + С3у3(р).
Теорема 2 доказана.
Приведем формулы из [2] являющимся частными случаями результатов теоремы 1 и 2. Пример 1. В 11 стр.438 рассмотрена дифференциальные уравнение:
у'" + №)у" + ау' + а/Юу = 0, где /(Ь) - известная для непрерывная функция на С, а е Я,а> 0. Частными решениями уравнение (12) являются
у^(Ь) = соБ^^а) ,у2(Ь) = Бт^^а)^ е С. Тогда для дифференциального уравнения (12) выполняются все условия теоремы 1 при К(Ь) = 0,р(€) = ^а и к (0 = [(^ - а,Ь е в.
Пример 2. В 14 рассмотрена дифференциальное уравнение
У''' + ¡(Оу" + а№)у' + а2(/(Ь) - а)у = 0, (13)
где /(Ь) - известная непрерывная функция на С, а е К. Частными решениями уравнения (13) являются
y-i(t) = exp
at
У
а^3
cos I — t ),У2(0 = exp
at
У
a^3
sin ),t £ G.
Тогда для дифференциального уравнения (13) выполняются все условия теоремы 1 при
а а^3
K(t) = ^,P(t) = —•* (О = 1 е
Пример 3. В 24 рассмотрена дифференциальное уравнение
у'" + tf(t)y'' + (at2 - f(t))y' + at(t2f(t) + 3)y = 0, (14)
где a e R,a > 0,f(t) - известная непрерывная функция на G. Частными решениями уравнения (14) являются
y1 (t) = cos (i t24a), y2 (t) = sin (i t24a) ,t e G.
t
o
t
t
V
s
s
o
t
o
t
t
s
T
-T
o
o
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №1/2016 ISSN 2410-700Х_
Тогда для дифференциального уравнения (14) выполняются все условия теоремы 1 при K(t) = 0,ß(t) = Jät, к (t) = tf(t) +1,t e G.
Пример 4. В 38 рассмотрена дифференциальное уравнение
ут + (f(t) + 3) У" + (Щ^ + а)у' + а (f(t) + 1) у = 0, (15)
ЬГ V £ / X£ где /(О - известная непрерывная функция на С, а е Я,а> 0. Частными решениями уравнения (15) являются
1 1 у1(Ь) = — соз{ьУа),у2(Ь) = е С.
Тогда для дифференциального уравнения (15) выполняются все условия теоремы 1 при К (О = 1,Р(Ь) = ^а и к (Ь) = ¡(0 +1,Ь £ С.
Пример 5. В 39 рассмотрена дифференциальное уравнение
У''' + (/(О + 3) У'' + (а + 2) №у' + а (а№ + ^(Ь) — а2)у = 0, (16)
где /(0 - известная непрерывная функция на С, а е К. Частными решениями уравнения (16) являются
1
Vi(t) =~ехр
at
У
. W3 \ 1
cos[—t ),У2(0 = —ехр
at
У
)
sin [ t ),t е G.
Тогда для уравнения (16) выполняются все условия теоремы 1 при К (О = 1 + ^,0(0 = к
1
(г) = + - — а,Ь £ С.
Пример 6. В 60 стр.442 рассмотрена дифференциальное уравнение
1 1 1 у''' + -Г(*)у'' + -2 (1(0 — 1)у' + ¿3 (1(0 — 3)У = о, (17)
где /(О - известная непрерывная функция на С. Частными решениями уравнения (17) являются
у1(Ь) = cos(lnt),y2(t) = sin(lnt), £ е С.
1
Тогда для уравнения (17) выполняются все условия теоремы 1 при К(0 = 0,^(0 = -, к (0 =
1
\(Г(0 — 1),1 £ с.
Пример 7. В 1 стр.388 рассмотрена уравнение
у''' + Ху = 0,ХФ0,Ь £ С. (18)
частными решениями уравнения (18) являются
^ ^ (к^З \ к (к^3 \
У1(0 = е-к*,у2(0 = е2*со5 1—1),уз(0 = е2*5т1—1),1 £ С, где к = . Тогда для уравнения (18) выполняются все условия теоремы 1 при
№ = *г, К(0 = —\ и к(0 = к,1 £ с.
Пример 8. В 30 стр.391 рассмотрена уравнение
у''' — (3Ь2Ь2 + а + 3Ь)у' + 2Ы(Ь2Ь2 — а)у = 0,Ь £ С, (19)
где а < 0. Частными решениями уравнения (19) являются
у1(Ь) = ехр (^ЬЬ2^) cos(t^—a),y2(t) = ехр (¿ЬЬ2') эт^—а), £ £ С.
Тогда для уравнения (19) выполняются все условия теоремы 1 при Р(0 = у—а, К(0 = —ЪЬ, к (0 = 2Ы, £ £ С.
Пример 9. В 61 стр.393 рассмотрена уравнение
у''' + аЬп — Ьу' — аЫпу = 0,х £ С, (20)
где а,Ь £ Я,Ь < 0. Частными решениями уравнения (20) являются
у-^(Ь) = cos(Ы—b),y2(t) = зт(рУ—Ь), £ £ С.
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» №1/2016 ISSN 2410-700Х_
Тогда для уравнения (20) выполняются все условия теоремы 1 при fi(t) = ^—b, K(t) = 0 и<х.(Ь) = atn, t e G.
Список использованной литературы:
1.Камке Э. Справочник по обыкновенным уравнениям, СПб.: Издательство «Лань», 2003, с. 576.
2. Зайцев В.Ф.,Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным уравнениям, Москва, 2001, с. 576.
3. Walter W. Ordinary Differential Equations, Graduate Texts in Mathematics, Springer,1998.
4. Tada T., Saiton S. A method by separation of variables for the first order nonlinear ordinary differential equations, Journal of Analysis and Applications, 2004, 2, pp. 51-53.
5. Tada T., Saiton S. A method by separation of variables for the second order ordinary differential equations, International Journal of Mathematical Sciences, 2005, volume 3,No.2, pp. 285-296.
6. Avyt Asanov, M. Haluk Chelik, Ruhidin Asanov. One formula for solution of the linear differential equations of the second order with the variable coefficients // Journal of Pure and Applied Mathematics, 2012, volume 8,number 3, pp. 321-328.
© К.А. Асанова, Р.А. Асанов, 2016
УДК 330
Аюпова Венера Казбековна
канд. пед. наук, доцент, г.Набережные Челны, РФ Е-шай: [email protected]
ОБОСНОВАНИЕ НЕОБХОДИМОСТИ РАЗРАБОТКИ ЦЕЛЕВОЙ ПРОГРАММЫ «РЕФОРМИРОВАНИЕ ЖИЛИЩНО-КОММУНАЛЬНОГО ХОЗЯЙСТВА ГОРОДА НАБЕРЕЖНЫЕ
ЧЕЛНЫ НА 2016-2018 Г.»
Аннотация
Для повышения инвестиционной привлекательность ЖКХ, предлагается перечень мероприятий, необходимых для активизации привлечения частных инвесторов и направленных на обеспечение устойчивого функционирования жилищно-коммунального комплекса. Конечный результат этих мероприятий - переход предприятий системы ЖКХ на безубыточное функционирование, оказание администрацией города помощи обслуживающим и управляющим организациям в разработке проектов и привлечении инвестиций для реализации этих проектов и пополнения оборотных средств.
Ключевые слова
Жилищно-коммунальное хозяйство; Программа реформирование жилищно-коммунального хозяйства города Набережные Челны; инвестиционную привлекательность ЖКХ
Программа реформирования жилищно-коммунального хозяйства города Набережные Челны на 20162018 гг. (далее - Программа) направлена на совершенствование системы оплаты за жилищно-коммунальные услуги, совершенствование системы профессиональной подготовки и переподготовки руководителей и специалистов и на формирование условий для привлечения инвестиций в жилищно-коммунальный комплекс[1].
Программа является основой муниципального регулирования в сфере жилищно-коммунальных услуг населения на 2016-2018 годы, определяет соответствующие цели, основные задачи и перечень мероприятий, подлежащих исполнению на территории муниципального образования города Набережные Челны.
Жилищно-коммунальное хозяйство (в дальнейшем ЖКХ) представляет собой отрасль сферы услуг и
